Practico-V---2013

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Álgebra I – 2013
Práctico N◦5: Aritmética entera
¿Cuál es el mayor número primo conocido? Sabemos que existen infinitos números primos
pero sólo se conocen explícitamente una cantidad finita de ellos. El mayor de todos es el
número de Mersenne 243112609− 1 que tiene 12.978.189 de dígitos. Este fue descubierto en
el año 2008 gracias a GIMPS (ver http://www.mersenne.org/), un proyecto de computa-
doras en red que se dedica a buscar números primos grandes. Por el descubrimiento GIMPS
obtuvo el premio ofrecido por la EFF de u$s 100.000. Aún se halla vacante el premio de
u$s 250.000 a quien descubra el primer número primo con más de 1.000.000.000 de dígitos,
ver https://www.eff.org/awards/coop.
Ejercicio 1. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ∀a, b, c ∈ Z.
(i) ab | c =⇒ a | c y b | c.
(ii) 4 | a2 =⇒ 2 | a.
(iii) 2 | ab =⇒ 2 | a ó 2 | b.
(iv) 9 | ab =⇒ 9 | a ó 9 | b.
(v) a | b+ c =⇒ a | b ó a | c.
(vi) a | c y b | c =⇒ ab | c.
(vii) a | b =⇒ a ≤ b.
(viii) a | b =⇒ | a | ≤ | b | .
(ix) a | b+ a2 =⇒ a | b.
Ejercicio 2. Calcular el cociente y el resto de la división de a por b en los casos:
(i) a = 133, b = 14.
(ii) a = 133, b = −14.
(iii) a = −133, b = 14.
(iv) a = −133, b = −14.
(v) a = 13, b = 111.
(vi) a = 3b+ 7, b 6= 0.
(vii) a = b2 − 6, b 6= 0.
(viii) a = n2 + 5, b = n+ 2, n ∈ N.
(ix) a = n+ 3, b = n2 + 1, n ∈ N.
Ejercicio 3. Sean a y b enteros positivos. Si la división de a por b tiene cociente q y resto r, hallar el
cociente y el resto de ...
(i) ... dividir a por −b. (ii) ... dividir −a por b. (iii) ... dividir −a por −b.
Ejercicio 4. Probar que para todo a impar, a2 + (a+ 2)2 + (a+ 4)2 + 1 es divisible por 12.
Ejercicio 5. Probar que para todo n ∈ Z, n2 + 2 no es divisible por 4.
Ejercicio 6. Probar que (3n)!(3!)n es entero, para todo n natural.
Ejercicio 7. (i) Probar que la suma de siete enteros consecutivos siempre es divisible por 7.
(ii) ¿Es verdad que la suma de n enteros consecutivos siempre es divisible por n?
Ejercicio 8. Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo n natural.
(i) 8 | 52n + 7. (ii) 15 | 24n − 1. (iii) 5 | 33n+1 + 2n+1. (iv) 24 | 2·7n+3·5n−5.
Sugerencia: usar inducción.
Ejercicio 9. (i) Calcular el conjunto de divisores de 14, -15, 100, 1050.
Práctico N◦5 Álgebra I - 2013
(ii) Describir el conjunto de múltiplos de 14, -15, 100, 1050.
(iii) Calcular (14,−15), (−15, 100), (100, 1050).
(iv) Calcular [14,−15], [−15, 100], [100, 1050].
Ejercicio 10. Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes pares
de números.
(i) a = 12, b = 15.
(ii) a = 11, b = 13.
(iii) a = 140, b = 150.
(iv) a = 32 · 52, b = 22 · 11.
(v) a = 2 · 3 · 5, b = 2 · 5 · 7.
Ejercicio 11. (i) Mostrar que 725 y 441 son coprimos y encontrar enteros m y n tales que 1 =
m · 725 + n · 441.
(ii) Calcular d = (725,−441), y encontrar enteros m y n tales que d = m · 725 + n · (−441).
(iii) Calcular d = (138, 1422), y encontrar enteros m y n tales que d = m · 138 + n · 1422.
(iv) Calcular d = (−125, 635), y encontrar enteros m y n tales que d = m · (−125) + n · 635.
Ejercicio 12. (i) Probar que (m,n) = (m+ qn, n) para toda terna de enteros m, n, q.
(ii) Probar que si (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2 entonces (a+ b, 4) = 4.
(iii) Probar que si (a, b) = 1 entonces (a+ b, a− b) = 1 ó 2.
(iv) Probar que si (a, b) = 1 y n+ 2 es un número primo, entonces (a+ b, a2 + b2 − nab) = 1 ó n+ 2.
Ejercicio 13. Sean a y b enteros coprimos. Probar que:
(i) (2a+ b, a+ 2b) = 1 ó 3 (ii) (a+ b, a2 + b2) = 1 ó 2. (iii) (a+ b, a2−ab+ b2) = 1 ó 3.
Ejercicio 14. Demostrar que ∀n ∈ Z, n > 2, existe p primo tal que n < p < n!. (Ayuda: pensar qué
primos dividen a n!− 1.)
Ejercicio 15. Sea n un número natural. Probar que en todo conjunto de n + 2 números enteros hay
dos tales que su suma o su diferencia es divisible por 2n. Probar también que el resultado no es cierto
si se toman n+ 1 enteros.
Ejercicio 16. Probar que
√
6 es irracional.
Ejercicio 17. ¿Existen enteros n y m tales que ...
(i) ... m4 = 27? (ii) ... m2 = 12n2? (iii) ... m3 = 47n3?
Ejercicio 18. Un entero se dice “libre de cuadrados“ si no es divisible por el cuadrado de ningún entero
distinto de 1. Probar que:
(i) Si n es libre de cuadrados entonces n se escribe como producto de primos, todos distintos.
(ii) Todo número entero se escribe como producto de un cuadrado y un entero libre de cuadrados.
Ejercicio 19. (i) Expresar 1810, 1816, 1972 y 2013 en las bases s = 3, 5, 7, 11.
(ii) Expresar en base 10 los siguientes enteros:
(1503)6, (1111)2, (1111)12, (123)4, (12121)3, (1111)5.
Ejercicio 20. Hallar todos los números n tales que
(i) 230 ≤ n ≤ 250, (n)3 = 22a22 para algún a ∈ {0, 1, 2}.
(ii) su expresión en base 7 tiene 5 cifras y comienza con 1234, y su expresión en base 2 es 110011a00001,
a = 0 o 1.
(iii) es divisible por 3, su expresión en base 8 termina en 172 y tiene 4 cifras.
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Ejercicios complementarios
Ejercicio 21. Sabiendo que el resto de la división de un entero a por 18 es 5, calcular el resto de ...
(i) ... la división de a2 − 3a+ 11 por 18.
(ii) ... la división de a por 3.
(iii) ... la división de 4a+ 1 por 9.
(iv) ... la división de a2 + 7 por 36.
(v) ... la división de 7a2 + 12 por 28
(vi) ... la división de 1− 3a por 27.
Ejercicio 22. Hallar todos los n ∈ N para los cuales el resto de la división de n3 + 4n + 5 por n2 + 1
es n− 1.
Ejercicio 23. Si n es un entero impar, probar que n4 + 4n2 + 11 es divisible por 16.
Ejercicio 24. Dado un entero a > 0 fijo, caracterizar aquellos números que al dividirlos por a tienen
cociente igual al resto.
Ejercicio 25. Probar que, para todo n > 1, nn−1 − 1 es divisible por (n− 1)2.
Ejercicio 26. Hallar todas las formas de escribir 2013 como suma de dos o más enteros consecutivos.
Hallar también todas las formas de escribirlo como suma de dos o más enteros positivos.
Ejercicio 27. Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo n ∈ N.
(i) 99 | 102n + 197
(ii) 9 | 7 · 52n + 24n+1
(iii) 56 | 132n + 28n2 − 84n− 1
(iv) 256 | 72n + 208n− 1
Ejercicio 28. Probar que si d es un divisor común de a y b, ambos no nulos, entonces
(i)
(a, b)
d
=
(
a
d
,
b
d
)
(ii)
[a, b]
d
=
[
a
d
,
b
d
]
(iii)
(
a
(a, b)
,
b
(a, b)
)
= 1
Ejercicio 29. En cada uno de los siguientes casos calcular el máximo común divisor entre a y b y
escribirlo como combinación lineal entera de a y b.
(i) a = 2532,
b = 63.
(ii) a = 5335,
b = 110.
(iii) a = 131,
b = 23.
(iv) a = n2 + 1,
b = n+ 2, n ∈ N.
Ejercicio 30. Sean a, b ∈ Z. Sabiendo que el resto de dividir a a por b es 27 y que el resto de dividir a
b por 27 es 21, calcular (a, b).
Ejercicio 31. Sean a y b enteros coprimos. Probar que:
(i) (a · c, b) = (b, c) para todo entero c.
(ii) am y bn son coprimos, para todo m,n ∈ N.
(iii) a+ b y a · b son coprimos.
Ejercicio 32. Sea n ∈ N. Probar que:
(i) (2n + 7n, 2n − 7n) = 1
(ii) (2n + 5n+1, 2n+1 + 5n) = 3 ó 9.
(iii) (3n + 5n+1, 3n+1 + 5n) = 2 ó 14.
Ejercicio 33. Sea n ∈ N. Probar que:
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(i) si n 6= 1 y n | (n− 1)! + 1 entonces n es primo.
(ii) si 2n − 1 es primo entonces n es primo.
(iii) si 2n + 1 es primo entonces n es una potencia de 2.
Ejercicio 34. Probar que 1 + 12 +
1
3 + ...+
1
n no es entero, para todo n natural.
Ejercicio 35. Hallar el menor múltiplo de 168 que es un cuadrado.
Ejercicio 36. Probar que, para todo natural n, 22n − 1 es divisible por al menos n primos distintos.
Ejercicio 37. Encontrar una sucesión de cien números naturales consecutivos tales que todos sean
compuestos. Generalizar a una sucesión de n naturales consecutivos.
Ejercicio 38. ¿Cuál es la mayor potencia de 3 que divide a 100!? ¿En cuántos ceros termina el desarrollo
decimal de 100!?
Ejercicio 39. Determinar todos los p ∈ N tales que p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12 y p + 14 sean todos
primos.
Ejercicio 40. Sea n ∈ N. Probar que:
(i) n es divisible por 9 si y sĺo si su desarrollo en base 9 termina con dos 0.
(ii) n es divisiblepor 7 si y sólo si la suma de las cifras de su expresión en base 8 es divisible por 7.
(iii) n es compuesto si y sólo si existe s tal que la expresión s-ádica de n termina en 0 y es distinta
de 10.
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