Singularidades y Series de Laurent

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MATEMATICAS ESPECIALES I - 2017
PRACTICA 9
Singularidades - Series de Laurent - Teorema de los residuos
Teorema. Sean r y R números reales tales que 0 < r < R <∞. Sea f una función holomorfa en
A(z0, r, R) = {z ∈ C : r < |z − z0| < R}. Entonces para todo z ∈ A(z0, r, R) se cumple
f(z) =
∑
n≥0
an(z − z0)n +
∑
n≥1
bn
(z − z0)n
,
donde, si ρ es cualquier número r < ρ < R,
an =
1
2πi
∫
|z−z0|=ρ
f(w)
(w − z0)n+1
dw y bn =
1
2πi
∫
|z−z0|=ρ
f(w)
(w − z0)−n+1
dw.
A esta serie se la conoce como serie de Laurent de f con centro en z0. Sus coeficientes están
uńıvocamente determinados por f . La serie converge absolutamente en A(z0, r, R) y uniformemente
en cualquier corona cerrada contenida en A(z0, r, R). Al igual que ocurre con los desarrollos en series
de potencias, los desarrollos en series de Laurent son únicos.
Definición. Un punto z0 es una singularidad aislada de una función f si f es holomorfa en un entorno
reducido de z0 pero no en z0.
Definición. Sea z0 una singularidad aislada de una función holomorfa f y consideremos el desarrollo
en series de Laurent de f alrededor de z0 y convergente en un entorno reducido de z0. Decimos que
a) z0 es una singularidad evitable de f si bn = 0 para todo n ≥ 1,
b) z0 es un polo de orden k de f si bk 6= 0 y bn = 0 para todo n ≥ k + 1,
c) z0 es una singularidad esencial de f si bn 6= 0 para infinitos valores de n.
Teorema. Sea D un abierto en C, sea f una función holomorfa en D y sea z0 una singularidad aislada
de f . Entonces
a) f tiene una singularidad evitable en z0 si, y solo si, existe lim
z→z0
f(z) en C,
b) f tiene un polo en z0 si, y solo si, lim
z→z0
f(z) =∞,
c) f tiene una singularidad esencial en z0 si, y solo si, no existe lim
z→z0
f(z) en C∞.
Los casos considerados son mutuamente excluyentes y agotan las posibilidades para las singularidades
aisladas.
Definición. Si z0 es una singularidad aislada de una función holomorfa f , se llama residuo de f
en z0, y se representa por Res (f, z0), al coeficiente b1 de la serie de Laurent de f con centro en z0 y
convergente en un entorno reducido de z0.
Proposición. Supóngase que f tiene una singularidad aislada en z0. Sea k el número entero más
chico tal que lim
z→z0
(z−z0)kf(z) existe. Entonces f tiene un polo de orden k en z0. Además, si hacemos
φ(z) = (z − z0)kf(z), φ puede definirse de forma única en z0 de modo que
φ es holomorfa en z0 y Res (f, z0) =
φ(k−1)(z0)
(k − 1)! .
Teorema (de los residuos). Sea D un abierto en C y f una función tal que si z ∈ D entonces f
es holomorfa en z o bien f tiene una singularidad aislada en z. Sea γ una curva cerrada y simple
contenida en D que no pasa por ninguna singularidad de f . Si z1, z2 · · · zp son las singularidades de f
en el interior de C, entonces ∫
C
f(z) dz = 2πi
p∑
i=1
Res (f, zi).
 
Ejemplos.
1. Encontrar todos los desarrollos en series de Laurent alrededor de z0 = i de la función f(z) =
z
z2 + 1
e indicar las regiones donde son válidos.
La función f(z) es anaĺıtica en C−{−i, i}. Con centro en z0 = i, se pueden definir dos coronas en las
que f(z) será anaĺıtica en cada uno de sus puntos.
i
−i
i
−i
0 < |z − i| < 2 2 < |z − i| <∞
•
•
•
•
Las fórmulas que definen los coeficientes an y bn no son muy prácticas para realizar los cálculos.
Gracias a la unicidad de la representación en series, podemos usar otras técnicas para obtener el
desarrollo de Laurent de f(z) en cualquiera de las coronas de convergencia con centro en z0. Para
ello, es conveniente descomponer a f(z) en fracciones simples; tendremos
z
z2 + 1
=
z
(z + i)(z − i) =
1
2
1
z − i +
1
2
1
z + i︸ ︷︷ ︸
g(z)
.
La idea, entonces, es expresar a g(z) en potencias (positivas o negativas) de z− i utilizando resultados
válidos para la serie geométrica.
En la región 0 < |z − i| < 2,
1
z + i
=
1
(z − i) + 2i =
1
2i
1
1− (−z − i
2i
)
=
1
2i
∑
n≥0
(
− z − i
2i
)n
.
Por lo tanto, el desarrollo en series de Laurent de f(z) será
z
z2 + 1
=
1
2
1
z − i +
1
2
∑
n≥0
(−1)n (z − i)
n
(2i)n+1
.
Por definición, f(z) tiene un polo simple en z0 = i. El coeficiente b1 de este desarrollo determina el
residuo de f(z) en z0; tendremos Res (f, z0) = 1/2.
En la región 2 < |z − i| <∞,
1
z + i
=
1
(z − i) + 2i =
1
z − i
1
1− (− 2i
z − i)
=
1
z − i
∑
n≥0
(
− 2i
z − i
)n
.
Luego, tendremos
z
z2 + 1
=
1
2
1
z − i +
1
2
∑
n≥0
(−1)n (2i)
n
(z − i)n+1 =
1
z − i +
1
2
∑
n≥1
(−1)n (2i)
n
(z − i)n+1 .
2. Encontrar el desarrollo en series de Laurent alrededor de z0 = i de la función h(z) =
1
(z − i)(z + i)2
válido en la región 0 < |z − i| < 2.
Obsérvese que esta función es anaĺıtica en C−{−i, i}; por lo tanto, la región 0 < |z− i| < 2 es una de
las coronas con centro en z0 = i en las que h(z) resulta anaĺıtica. Descomponiendo a h(z) en fracciones
simples, tendremos
1
(z − i)(z + i)2 = −
1
4
1
z − i +
1
4
1
z + i
+
i
2
1
(z + i)2
.
Razonando como en el ejercicio anterior, si z ∈ {z : |z − i| < 2},
1
z + i
=
1
2i
∑
n≥0
(−1)n (z − i)
n
(2i)n+1
.
A partir de este desarrollo y de los resultados de convergencia válidos para series de potencias, para
todo z ∈ {z : |z − i| ≤ 2− ε, ε > 0},
1
(z + i)2
= − d
dz
1
z + i
= − 1
2i
d
dz
∑
n≥0
(−1)n (z − i)
n
(2i)n+1
= − 1
2i
∑
n≥1
(−1)nn(z − i)
n−1
(2i)n+1
.
Finalmente,
1
(z − i)(z + i)2 = −
1
4
1
z − i +
1
8i
∑
n≥0
(−1)n (z − i)
n
(2i)n+1
− 1
4
∑
n≥1
(−1)nn(z − i)
n−1
(2i)n+1
= −1
4
1
z − i +
1
8i
∑
n≥0
(−1)n(n+ 2)(z − i)
n
(2i)n+1
.
3. Encontrar el residuo de las siguientes funciones en los puntos indicados.
a) f(z) =
ez − 1
sin z
; z0 = 0 b) f(z) =
z2
(z − 1)3(z + 1); z0 = 1 c) f(z) = e
1/z; z0 = 0.
a) Tanto ez − 1 como sin z, se anulan en z0 (más aún, ambas funciones tienen un cero de orden 1 en
el origen). Luego, usando la regla de L’Hopital, tendremos
lim
z→0
ez − 1
sin z
= lim
z→0
ez
cos z
= 1.
Entonces, f tiene en z0 una singularidad evitable; por lo tanto, Res (f, 0) = 0.
b) Definiendo φ(z) =
z2
z + 1
, anaĺıtica y no nula en un entorno de z0 = 1, tendremos φ(z) = (z−1)3f(z).
Luego, f tiene en z0 un polo de orden 3. En efecto,
lim
z→1
(z − 1)3f(z) = lim
z→1
z2
z + 1
=
1
2
.
Entonces, para calcular el residuo hacemos
Res (f, 1) =
1
2
φ′′(1) =
1
2
2
(z + 1)3
∣∣∣
1
=
1
8
.
c) El desarrollo en series de potencias de ew convergente en |w| <∞ es
ew = 1 + w +
w2
2!
+
w3
3!
+ · · ·+ w
n
n!
+ · · ·
Obsérvese que, si w =
1
z
, |w| <∞⇒ |z| > 0. Entonces, si z 6= 0,
e1/z = 1 +
1
z
+
1
z22!
+
1
z33!
+ · · ·+ 1
znn!
+ · · ·
Luego, f tiene en z0 = 0 una singularidad esencial y
Res (f, 0) = b1 = 1.
4. Calcular
∫
γ
1 + z
1− cos z dz; γ es la circunferencia centrada en el origen de radio 2.
La función 1 − cos z tiene un cero de orden 2 en z0 = 0 y ceros de orden 1 en los puntos zk = 2kπ;
k ∈ Z y k 6= 0. Por lo tanto, la función f(z) = 1 + z
1− cos z tendrá un polo doble en z0 y un polo simple
en cada zk. De todas las singularidades de f(z), solamente z0 pertenece la interior de γ. Entonces,
por el Teorema de los residuos ∫
γ
1 + z
1− cos z dz = 2πiRes (f, 0).
El residuo de f en z0 = 0 viene dado por
lim
z→0
d
dz
z2f(z) = lim
z→0
d
dz
z2
1 + z
1− cos z = limz→0
(2z(1 + z) + z2)(1− cos z)− z2(1 + z) sin z
(1− cos z)2 .
Aplicando la regla de L’Hopital, obtendremos
Res (f, 0) = 2.
? ? ?
Singularidades.
1. Hallar los puntos singulares de las siguientes funciones y determinar en cada caso si son aisladas
o no aisladas.
(a) f(z) =
1
z − z3
(b) f(z) = Log (1− z)
(c) f(z) = sec
(π
z
)
(d) f(z) =
√
z(z − 1)
2. Mostrar que las siguientes funciones tienen singulares evitables y definir su prolongación a C.
(a) f(z) =
z − sin z
z3
(b) f(z) =
z3 − 3z2 + 2z
z − 1
(c) f(z) =
1− ez2
z2
(d) f(z) =
1− cos z
z
3. Supongamos que h(z) y g(z) son funciones anaĺıticas en un entorno de z0; que z0 es un cero de
orden p para h(z) y un cero de orden k para g(z). Sea f(z) =
h
g
(z). Probar que:
(a) si p− k ≥ 0, f(z) tieneuna singularidad evitable en z0,
(b) si p− k < 0, f(z) tiene un polo de orden k − p en z0.
4. Mostrar que todos los puntos singulares de las siguientes funciones son polos y determinar el
orden de los mismos.
(a) f(z) =
1− ez
z3
(b) f(z) = tan z
(c) f(z) =
1
z2(1− cos z)
(d) f(z) =
sinπz
z4(z − 1)2
5. Sea f(z) una función definida sobre el plano complejo extendido. Haciendo w = 1/z en f(z)
se obtiene la función F (w) = f(1/w). Entonces, la naturaleza de la singularidad de f(z) en
z =∞ queda determinada por la naturaleza de la singularidad de F (w) en w = 0. Investigar el
comportamiento de las siguientes funciones en z =∞.
(a) f(z) = z3 + 2z
(b) f(z) =
1
z2
+ sin
(
1
z
)
(c) f(z) =
z4
1 + z4
(d) f(z) = ze1/z
6. Probar que las funciones enteras ez y sin z carecen de ĺımite cuando z →∞. Conclusión ?
7. Demostrar que si f(z) es anaĺıtica y no idénticamente nula, todo punto de acumulación de ceros
de f(z) es un punto singular esencial de f(z) (Lo mismo sucede si existen infinitos puntos de
nivel; es decir, soluciones de la ecuación f(z) = c, o sea ceros de la función g(z) = f(z)− c).
8. Examinar el conjunto de ceros de la función
(a) f)z) = cos
(
1 + z
1− z
)
z0 = 1,
(b) f(z) = z sinh
(
1
z
)
z0 = 0,
(c) f(z) = 1− cos
(
1
z
)
z0 = 0.
Luego, aplicar el resultado del ejercicio anterior para probar que z = z0 es un punto singular
esencial de la misma.
Series de Laurent - Cálculo de residuos
9. Probar que, si 0 < |z| < 4, 1
4z − z2 =
1
4z
+
∑
n≥0
zn
4n+2
.
10. Probar que, si 0 < |z| <∞, sinh(z)
z3
=
1
z2
+
∑
n≥0
z2n
(2n+ 3)!
.
11. Obtener los desarrollos en series de Laurent alrededor del punto z0 para las siguientes funciones
(a) f(z) =
1
z2(1− z) , z0 = 0,
(b) f(z) =
sin z
z5
, z0 = 0,
(c) f(z) = z2e1/z, z0 = 0,
(d) f(z) =
1
z(z − 1)(z + 2)2 , z0 = 1.
Especificar las regiones en las que estos desarrollos son válidos. Luego, clasificar la singularidad
que la función presenta en z0 y determinar el residuo correspondiente.
12. Hallar el desarrollo en series de Laurent de la función f(z) =
1
(z − 1)(z − 2) que sea convergente
en la corona 1 < |z| < 2.
13. Considérese la función g(z) =
3z − 1
(z − 1)(z2 − 1) .
(a) Hallar el radio del mayor ćırculo con centro en z0 = i en el que g(z) puede desarrollarse en
series de Taylor.
(b) Indicar todas las coronas con centro en z0 = 1 en las que g(z) puede desarrollarse en series
de Laurent.
(c) Encontrar el desarrollo en series de Laurent alrededor de z0 = 1 que converja en z1 = 3+2i.
(d) Se puede determinar el residuo de g(z) en z0 = 1 usando el desarrollo hallado en el inciso
anterior?
14. Analizar si las siguientes funciones admiten un desarrollo en series de Laurent en un entorno
reducido de z0.
(a) cos
(
1
z
)
, z0 = 0
(b) sec
(
1
1− z
)
, z0 = 1
(c) Log (z), z0 = 0
(d) z2 csc
(
1
z
)
, z0 = 0
15. Calcular los residuos de las siguientes funciones respecto de todos sus puntos singulares aislados.
(a) f(z) =
z + 1
z2 − 2z
(b) f(z) =
z2
(z2 + 1)2
(c) f(z) =
sin z
z(z2 − 1)
(d) f(z) =
z
cos z
(e) f(z) =
1− e2z
z4
(f) f(z) =
ez
z3(z2 + 4)
Teorema de los residuos.
16. Calcular las siguientes integrales considerando que el recorrido de los contornos se realiza en
sentido positivo.
(a)
∫
γ
ez
z2(z2 − 9) dz γ : |z| = 1
(b)
∫
γ
cosπz
z(z2 + 1)
dz γ : |z| = 2
(c)
∫
γ
z3
sin z(1− cos z) dz γ : |z| = 5
(d)
∫
γ
tan z dz γ : |z| = 2
(e)
∫
γ
dz
z(ez − 1) γ : |z| = 2
(f)
∫
γ
z2 + 2
(z + 1)(z2 − 4) dz γ : |z| = 4
17. Calcular las integrales
(a)
∫
C
z5e2/z dz
(b)
∫
C
z cos
(
1
z
)
dz
(c)
∫
C
sin2
(
1
z
)
dz
donde C es un contorno simple y orientado positivamente que encierra al punto z0 = 0.
18. Evaluar
∫
γ
Log z
1 + ez
dz, donde γ es el contorno que se indica en la figura.
5 + 5i
5− 5i−5− 5i
−5− 2i 10− 2i
10 + 10i−5 + 10i
−5 + 5i •
••
• •
••
•
19. Sea γ un contorno cerrado simple que limita un recinto Ω que contiene al punto z = 0. Sean f(z)
y g(z) dos funciones anaĺıticas en Ω; supongamos que la función g(z) no se anula en el contorno
γ y tiene n ceros simples en Ω, ninguno de los cuales coincide con el origen de coordenadas.
Calcular
1
2πi
∫
γ
f(z)
zg(z)
dz.
20. Sean ϕ(z) y f(z) dos funciones anaĺıticas en todo punto de un dominio simplemente conexo D.
Si z0 es el único cero de f(z) en D, demostrar que si C es un contorno cerrado simple orientado
positivamente en D que encierra a z0, se cumple
1
2πi
∫
C
ϕ(z)
f ′(z)
f(z)
dz = mϕ(z0),
donde m es el orden del cero z0.
21. Sea D un dominio simplemente conexo en todo punto del cual la función f(z) es anaĺıtica. Se
denota por C un contorno cerrado simple en D, orientado positivamente, tal que f(z) 6= 0 en
cualquier punto sobre C. Entonces, si f(z) tiene N ceros interiores a C, demostrar que
N =
1
2πi
∫
C
f ′(z)
f(z)
dz.
22. Sea f(z) una función anaĺıtica dentro y sobre un contorno simple y cerrado C excepto por un
número finito de polos interiores a C. Si f(z) no tiene ceros sobre C pero tiene un número finito
de ceros interiores a C, se tiene
1
2πi
∫
C
f ′(z)
f(z)
dz = N − P,
donde N es el número total de ceros y P es el número total de polos dentro de C.
El número de ceros o el número de polos se establece teniendo en cuenta sus respectivos órdenes.