Ecuaciones en Derivadas Parciales y Problemas de Física

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Matemáticas Especiales (Qúımica) - Curso 2020
Práctica 9: Ecuaciones en derivadas parciales
y aplicaciones a problemas con condiciones de
contorno
1. Dadas las siguientes ecuaciones en derivadas parciales
Indicar si son de tipo hiperbólico, parabólico o eĺıptico.
Reducir a la forma canónica.
Hallar las curvas caracteŕısticas.
a)
∂2u
∂x2
+ 2
∂2u
∂x∂y
− 3∂
2u
∂y2
+ 2
∂u
∂x
+ 6
∂u
∂y
= 0
b)
∂2u
∂x2
+ 4
∂2u
∂x∂y
+ 5
∂2u
∂y2
+
∂u
∂x
+ 2
∂u
∂y
= 0
c)
∂2u
∂x2
− 2 ∂
2u
∂x∂y
+
∂2u
∂y2
+ α
∂u
∂x
+ β
∂u
∂y
+ cu = 0
d)
∂2u
∂x2
− 2 cos (x) ∂
2u
∂x∂y
−
(
3 + sin2 (x)
) ∂2u
∂y2
− y∂u
∂y
= 0
e)
y2
∂2u
∂x2
+ 2xy
∂2u
∂x∂y
+ 2x2
∂2u
∂y2
+ y
∂u
∂y
= 0
f )
tan2 (x)
∂2u
∂x2
− 2y tan (x) ∂
2u
∂x∂y
+ y2
∂2u
∂y2
+ tan3 (x)
∂u
∂x
= 0
g)
∂2u
∂x2
+ 2 sin (x)
∂2u
∂x∂y
− cos2 (x)∂
2u
∂y2
+ cos (x)
∂u
∂x
+
1
2
sin (2x)
∂u
∂y
= 0
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h)
x2
∂2u
∂x2
+ 2xy
∂2u
∂x∂y
− 3y2∂
2u
∂y2
− 2x∂u
∂x
+ 4y
∂u
∂y
+ 16x4u = 0
2. Una cuerda homogénea fija en los extremos x = 0 y x = L, tiene en
el instante inicial la forma de una parábola simétrica con respecto a la
perpendicular trazada por el punto x = 1
2
L. Determinar el desplaza-
miento de los puntos de la cuerda respecto a la posición de equilibrio,
suponiendo que la velocidad inicial es nula.
3. Una cuerda homogénea de longitud L está fija en el extremo x = 0. El
otro extremo está sujeto a un anillo (de masa despreciable) que puede
resbalar por una varilla lisa. El anillo está desviado a una pequeña
distancia h respecto de la posición de equilibrio y en el instante inicial
se deja libre. Hallar el desplazamiento u(t, x) respecto de la posición de
equilibrio para cualquier instante posterior.
4. Hallar la solución de la ecuación
∂u
∂t
= D
∂2u
∂x2
(t > 0, 0 < x < L)
que satisface las condiciones:
u(t, 0) = u(t, a), t > 0
u(0, x) =
{
x si 0 < x ≤ L
2
L− x si L
2
≤ x < L.
5. Una solución de cierta sustancia se encuentra contenida entre los planos
x = 0 y x = h, siendo la concentración inicial C0 uniforme. En un
momento dado, la sustancia comienza a difundir hacia un disolvente
situado entre los planos x = h y x = L. Encontrar la concentración
C(x, t) para todo instante posterior sabiendo que los planos x = 0 y
x = h son impermeables a dicha sustancia (condición de contorno de
flujo nulo).
6. Hallar el potencial electrostático φ(x, y) dentro del rectángulo
(0 < x < Lx, 0 < y < Ly)
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suponiendo que a lo largo de (x = 0, 0 < y < Ly) el potencial es φ0 y
que los tres lados restantes están conectados a tierra.
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