PAU-MT-U4-T2-Contenido-v06

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Funciones y cálculo infinitesimal: Cálculo de derivadas.
Aplicaciones
Matemáticas
Funciones y cálculo infinitesimal: Cálculo de derivadas. Aplicaciones
Imagen en Flickr de dullhunk bajo CC
1. Concepto de derivada
Fotografía en Flick de nickicolleen bajo CC
En el siglo XVII junto a la geometría analítica
surge el cálculo infinitesimal, este consta de
dos partes principales:
El cálculo diferencial.
El cálculo integral.
El primero aparece en relación a problemas
que se venían planteando desde hacía siglos,
similares a los siguientes:
Determinación de la velocidad instantánea
de un móvil en un punto de su trayectoria.
Obtención de la recta tangente a una curva
en uno de sus puntos.
Ambos problemas, si bien muy distintos, tienen
un mismo planteamiento matemático a la hora de su resolución. Para entenderlo vamos a utilizar la siguiente
animación de GeoGebra. La misma la puedes poner en marcha o parar pulsando sobre el botón que figura en la
parte inferior izquierda.
Fuente propia bajo Dominio público
Si no puedes ver la anterior escena pulsa sobre el siguiente enlace.
En la animación de arriba podemos observar la gráfica espacio-tiempo que recoge la distancia que recorre un móvil
en función del tiempo. Si hallamos las posiciones que ocupa el móvil en los puntos A y B, podemos determinar la
velocidad media que ha llevado entre esos dos puntos a partir de la fórmula de la tasa de variación media (TVM),
esta a su vez es la pendiente de la recta secante que figura en azul. Cuando activamos el botón de ejecución de la
animación podemos observar que si el punto B se va acercando al punto A, los valores de la tasa de variación
media van variando y se van aproximando a la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto A la cual
figura en color rojo. A este valor se le conoce como tasa de variación instantánea (TVI), y constituye la velocidad
instantánea del móvil en dicho punto.
Si hacemos abstracción en la animación de arriba del significado de las variables. El mismo planteamiento nos
permite también hallar la recta tangente a una curva en cualquiera de sus puntos. Si activamos la animación
podemos observar que a medida que el punto B se va aproximando al A, la secante (en azul), se va acercando
cada vez más a la tangente (en rojo), analíticamente esto lo indica el hecho de que el valor de la tasa de variación
media se va aproximando cada vez más a la pendiente de la recta tangente, la cual constituye la tasa de variación
instantánea.
Tanto en el caso del móvil como en el de la recta tangente en el punto A, encontramos como denominador común
que existe una magnitud h, que se va haciendo "tan pequeña como se quiera" o "infinitamente pequeña" la cual a
su vez ocasiona que otra magnitud (el cociente c/h en la animación) tienda hacia un valor concreto. La
determinación de este valor matemáticamente se realiza mediante una operación de obtención de un límite o dar el
"paso al límite". Las expresiones: "tan pequeña como se quiera" o "infinitamente pequeña" se utilizaron durante
siglos hasta que en el siglo XIX se procedió a una definición más formal y rigurosa por parte de Cauchy de ese
"hacerse infinitamente pequeño".
La tasa de variación instantánea en un punto se conoce como derivada de la función en un punto. A partir de la
derivada de la función en un punto podemos dar un paso más y hallar la derivada de la función para un punto
genérico x cualesquiera, la expresión obtenida se le conoce como función derivada.
Por último, al alumno/a le debe quedar claro que la derivada de la función en un punto es igual al valor de la
función derivada en dicho punto.
1.1. Tasa de variación media y variación instantánea
Si tenemos una función f, la tasa de variación media de la función entre dos puntos a y b viene
dada por:
Geométricamente, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a,b] es la pendiente de
la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).
Observemos la siguiente escena de GeoGebra. En ella, podemos calcular distintas TVM para la función f(x)=x2+2x
en cualquier intervalo y ver qué relación guarda con la recta secante.
Calcula la tasa de variación media de la función f(x)=x2+3x+1 en el intervalo [-2,1]
Importante
Caso de estudio
Si ahora volvemos a las funciones y, teniendo en cuenta que b es mayor que a, se puede expresar b como a+h,
donde h sería un número real y positivo, y de esta forma la tasa de variación media se podría expresar con la
siguiente fórmula:
Si h se aproxima a cero, el punto b=a+h se aproximará al punto a y la tasa de variación media tenderá entonces a
un valor que denominamos tasa de variación instantánea de la función f en el punto a. Que si hablamos en
términos de velocidad, sería justo la que marca el velocímetro de nuestro coche en un determinado momento.
La tasa de variación instantánea de una función f en un punto viene dada por:
Importante
Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x)=x2 en x=2
La tasa de variación instantánea es 4.
1.- La tasa de variación media entre los valores 1 y 3 es .
2.- La tasa de variación media entre los valores 4 y 8 es .
3.- La tasa de variación instantánea en el valor 3 es .
4.- La tasa de variación instantánea en el valor 5 es .
Ayúdales completando los valores.
Enviar
Unos diseñadores informáticos han estado trabajando durante varios meses para poder acercar, a
través de Internet, una visita a la Capilla Sixtina. El movimiento que se puede realizar en cada una
de las direcciones dentro de la recreación virtual de la Capilla, lo han conseguido a través de una
función plana que se aplica en la dirección en la que se mueve el ratón del ordenador, de forma
que pueda seguir ofreciendo una perspectiva próxima a la realidad. La función utilizada es:
De esta función han realizado las siguientes anotaciones en su estudio:
La empresa de motores MOTORESA ha diseñado un nuevo motor de gasolina que pretende
introducir en el mercado. Los ingenieros de la empresa saben que el consumo de gasolina
Caso de estudio
Actividad de rellenar huecos
Caso de estudio
Fotografía en Flick de williamcho bajo CC
la velocidad es
Para contrastar lo bueno que es el motor frente a
sus competidores, han decidido basarse en la
tasa de variación instantánea del consumo del
motor a velocidad 1.
Calcula esa tasa de variación instantánea.
La tasa de variación instantánea es la derivada
de la función en el punto (esto
se verá en el siguiente apartado). En el
siguiente vídeo podemos comprobar cómo se
calcula:
1.2. Derivada de una función y función derivada
Fotografía en Flick de Wonderlane bajo CC
Si tenemos una función 
llamamos derivada de la función en
un punto a la tasa de
variación instantánea de la función en
el punto y se denota . Así,
según la definición tenemos que:
Recuerda que para que exista este
límite, deben existir los límites
laterales y coincidir. Así, de la misma
forma, podemos definir las derivadas
laterales como:
Derivada por la derecha:
Derivada por la izquierda:
Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en dicho punto.
Podemos comprobar en la escena de GeoGebra del apartado anterior, cómo efectivamente si hacemos coincidir a
y b, la recta secante se convertirá en la recta tangente.
x -2 -1 0 1 2 3 4
f'(x)
Completa en la siguiente tabla las derivadas en los puntos de abscisas -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4 de la
función f(x)=x2-2x.
Importante
Actividad de rellenar huecos
Debes aplicar la definición de derivada en un punto.
Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
En el punto de abscisa x=-2.
Para ello tenemos que recurrir a la definición de derivada y calcular f'(1):
Luego la pendiente de la recta tangente en x=-2 es
Caso de estudio
Actividad
nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A lafunción derivada de f(x) la denotaremos f'(x), aunque también la puedes ver representada como
 . De esta forma tenemos que:
Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, la
pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.
La derivada de la función en un punto es un número el cual es igual al valor que adopta la
función derivada en dicho punto.
Los valores de la tabla que rellenamos en el primer ejercicio de este apartado corresponden a la recta y=2x-2.
¿Será entonces f'(x)=2x-2?
Para probarlo, vamos a obtener la derivada de f(x)=x2-2x en un punto cualquiera, x.
En la siguiente escena de Geogebra, distinguimos cómo va surgiendo la derivada de la función f(x)=x3 de la
manipulación de su pendiente. 
Si no puedes ver la anterior escena pulsa sobre el siguiente enlace.
Actividad de Espacios en Blanco
f'(x) le asocia a cada valor x la en el punto x, que es la
de la recta tangente en x.
2. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada
x -1 0 1 2
f'(x)
3. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las potencias las insertaremos utilizando ^,
por ejemplo x5 lo expresamos x^5)
Enviar
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo,
no son derivables.
Observa, la siguiente animación de GeoGebra. En ella puedes hacerte una idea intuitiva y gráfica de lo que es una
función continua pero no derivable. Está relacionado con la "suavidad" de sus curvas.
Si no puedes ver la anterior escena pulsa sobre el siguiente enlace.
Por cierto, efectivamente f(x)=|x| es continua en x=0 pero no derivable.
Importante
1. 
2. 
3.
Enviar
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones en el punto que se indica:
Actividad de rellenar huecos
2. Cálculo de derivadas
Conociendo la función derivada de otra resulta sencillo conocer la derivada de una función en un punto, lo único
que hay que hacer es darle a la x de la función derivada el valor de la abscisa de dicho punto. Dado que en
ocasiones la obtención de la función derivada mediante límites resulta engorroso, se crearon una serie de reglas
que permiten de forma, en ocasiones muy rápida, obtener la función derivada de otra. En este apartado se va a
explicar cuáles son esas reglas y como aplicarlas para hallar funciones derivadas. El primer paso consiste en
conocer las derivadas de las funciones elementales más sencilla. Como son:
y= k (función constante)
y=x
A partir de ahí se estudian las reglas de la suma, producto y cociente de funciones y el resto de derivadas de
funciones elementales. El paso siguiente será hallar la derivada de las funciones compuestas mediante la
aplicación de la regla de la cadena. Aquí el alumno/a que necesite repasar el concepto de función compuesta
puede leer el contenido del siguiente enlace.
2.1. Reglas de derivación. Aplicaciones al cálculo de
derivadas
A continuación en el siguiente documento te ofrecemos un listado en el que aparece una función y
al lado aparece su función derivada. Todos los resultados que aparecen en esta tabla son fruto de
aplicar la definición de derivada de una función. Esta otra tabla que te presentamos a continuación
más abajo hace referencia a como se obtiene la derivada de la suma, resta, producto, producto
por un número y cociente de funciones.
Suma
La derivada de la suma de funciones es la
suma
de las derivadas de estas funciones.
Resta
La derivada de la diferencia de funciones es la
diferencia de las derivadas de estas
funciones.
Producto
La derivada del producto de dos funciones es
igual
a la derivada de la primera por la segunda sin
derivar
más la segunda derivada por la primera sin
derivar.
Cociente
La derivada del cociente de dos funciones es
igual a la
derivada del numerador por el denominador
sin derivar
menos la derivada del denominador por el
numerador sin
derivar, y todo ello dividido por el denominador
al cuadrado.
Producto por un
número
La derivada del producto de un número real
por la función
es igual al número real por la derivada de la
función.
Para no tener que recurrir una y otra vez a la definición, es conveniente aprenderse las reglas
contenidas en esta tabla y el documento que te enlazamos más arriba, la mejor manera no es
aprendérselas de memoria, sino familiarizarse con la mismas a base de practicar el cálculo de
derivadas, para ello en este apartado te vamos a ofrecer unos cuantos ejemplos.
Veamos unos ejemplos en la siguiente presentación de Patricia_Perez.
Actividad
1 of 9
La mejor forma de aprender a derivar es derivando, así que aquí tienes unos videos del Profesor de la Escuela
Técnica Superior de Ingeniería Juan Medina Molina en su canal de YouTube. Quizás sea una buena idea que
pinches para verlos en pantalla completa o pinchando sobre ellos para verlos en la página de youtube:
Derivada de un monomio Derivada de una exponencial
Derivada de un polinomio Derivada de un producto
Derivada de un cociente Derivada de una composición
Derivada de una composición (II) Derivada de una composición (III)
Aquí te ofrecemos información sobre la derivada de algunas funciones. Pulsando sobre el nombre de cada una de
ellas te mostraremos la derivada resultante y la gráfica en la que puedes comprobar que la función derivada es
aquella que de cada punto nos proporciona la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
Derivada de una constante
Derivada del logaritmo
neperiano
Derivada de la identidad
Derivada de la
exponencial natural 
Derivada de la
proporcionalidad inversa
Derivada del seno
Derivada de la raíz
cuadrada
Derivada del coseno
Derivada de la potencia
Derivada de la
tangente
Otras derivadas
En la ventana interactiva, a la que accedes desde el siguiente enlace, vas a poder practicar
realizando distintas derivadas.
Reflexión
Derivadas de funciones
Aplica las reglas de derivación que te proporcionamos en el apartado anterior. En esta parte
es importante la práctica. Cuantos más ejercicios realices mejor dominarás las técnicas de
derivación.
A la derivada de una función también se la denomina derivada primera. Si volvemos a derivar la
derivada primera de una función, obtenemos la llamada derivada segunda; la derivada de la
derivada segunda se denomina derivada tercera; y así sucesivamente. Estas son las llamadas
derivadas sucesivas de una función:
¿Existen otras funciones que a partir de alguna de sus derivadas sucesivas siempre se repitan?
Todas las funciones potenciales de exponente entero positivo, por ejemplo x2, x3,... Observa
que en la tabla de las derivadas la derivada siempre eleva su exponente a una unidad menos,
llegará un momento que este exponente sea 0, es decir, se convierta la derivada en una
constante, por la tanto la sucesiva será 0.
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a.
b.
c.
Actividad
Caso de estudio
Reflexión
Solamente tienes que aplicar los contenidos de la tabla de derivadas y obtendrás los valores:
a.
b.
c.
d. Quizá sea la más complicada, pero es fácil si la pones primero como una potencia.
Veamos:
Dadas las funciones Calcula la derivada de la suma y
el producto de ambas.
Todos sabemos que la caída de pelo es mayor en unas épocas que en otras, pero... ¿y su
velocidad de crecimiento? ¿nos crece más el pelo en unos meses que en otros? Supongamos que
la longitud de nuestro pelo viene determinada por la función:
donde t, indica el tiempo en meses.
¿Cuál será la velocidad de crecimiento en febrero (mes 2)? ¿Y en julio? ¿Cuál es la función que
nos da la velocidad de crecimiento en función del tiempo?
Para calcular la velocidad dada la longitud tenemos que calcular la derivada de esta función
Reflexión
Ejemplo o ejercicio resuelto
que sería la velocidad de crecimiento
Ahora necesitamos saber v(2) y v(7)
v(2)=1,06
v(7)=0,56
Si te fijas la velocidad va disminuyendo, por lo queeste estudio no es muy de fiar...
2.2. Derivación de funciones compuestas. Regla de la
cadena
Normalmente, las
funciones que solemos
encontrarnos no son
funciones simples como
las que vemos en la
tabla de derivadas, sino
que son funciones que
se obtienen como
composición de
funciones simples.
Por ejemplo
, en este caso vamos a aplicar lo que se conoce con el nombre de regla
de la cadena.
Si llamamos tenemos que 
La regla de la cadena nos dice quela derivada de una función compuesta es
En nuestro caso
Ponemos a tu disposición dos tablas de derivadas tabla 1, tabla 2. Ambas recogen tanto la
derivación de las funciones elementales como las compuestas. Utiliza la que te resulte más
cómoda. 
Importante
Reflexión
a.
b.
c.
a. En este caso aplicamos la regla del cociente de funciones:
Si calculamos las derivadas del numerador h(x) y el denominador g(x), tenemos
Por tanto: 
b. Para hallar esta derivada, aplicamos la regla de la cadena.
Si calculamos las derivadas de la función h(x) y u(x), tenemos
Por tanto:
c. Nuevamente, usamos la regla de la cadena
Por tanto:
Aplica la regla de la cadena para obtener la función derivada de 
La solución la puedes ver en el siguiente vídeo:
Una aplicación de la regla de la cadena para las funciones trigonométricas la observamos en el siguiente vídeo: 
Caso de estudio
En los siguientes enlaces puedes encontrar una relación de ejercicios de derivadas resueltos con los cuales
puedes practicar.
Ejercicios de derivadas resueltos de vitutor
Ejercicios de derivadas resueltos por niveles
Por último en el siguiente cuadro puedes observar un resumen de casi todo lo tratado a lo largo del tema. Pulsa
sobre los botones que aparecen que te guiarán por el mismo:
Animación en wikispaces de Salvador Hurtado bajo CC
3. Interpretación geométrica de la derivada
La derivada de una función en un punto tiene una interpretación geométrica. Observa la siguiente ventana e
interactúa con ella moviendo los puntos A y B. Si dejas fijo el B y vas acercando el A a este punto, podrás
comprobar que la pendiente de la recta tangente (en color verde) a la gráfica de la función se va aproximando a la
de la secante (en azul). Por tanto, las ecuaciones de ambas rectas se van haciendo cada vez más semejantes ya
que geométricamente ambas se van acercando.
Cuando coinciden prácticamente los puntos A y B, ambas rectas son la misma, de ahí que la derivada de la función
en el punto B coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto.
Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo Dominio público.
Si tenemos una función f(x), la derivada de la función en x=a,
es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=a.
De esta forma, si tenemos una función f(x), su función derivada f'(x) es la función que en cada
punto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en ese punto.
Importante
Por tanto, la recta tangente a la función en el punto es:
A la recta perpendicular a esta recta tangente en el punto se le llama recta normal. Así, la
ecuación de la recta normal es:
Hemos aplicado que la pendiente de una recta, m, y la de una recta perpendicular a ella, m',
verifican que m·m'=-1.
En la siguiente ventana interactiva (recursos didácticos de Descartes) puedes observar para distintas funciones en
un punto concreto la recta tangente (en verde) y la recta normal (en violeta).
En la siguiente escena de GeoGebra está representada en rojo la gráfica de la función y=sen(x) y en verde, la recta
tangente a la gráfica de y=sen(x) en el punto A.Vemos también que la longitud del cateto opuesto del triángulo fijo
en el punto A, nos da la pendiente de la recta tangente.
Si mueves con el cursor del ratón el punto A podrás apreciar cómo va desplazándose la tangente por la gráfica de
y=sen(x). Su ecuación, que figura en la parte superior izquierda, va cambiando de forma continua cuando mueves
el punto A.
Puedes observar cómo cambia la pendiente de la recta tangente y a su vez va surgiendo una gráfica en azul, la
cual se trata de la representación de la función derivada de y=sen(x), en la parte superior derecha se va indicando
en todo momento el valor de esta función para cada punto del dominio de y=sen(x), y se puede comprobar que el
valor de la función derivada en todo momento coincide con el valor de la pendiente de la recta tangente cuando se
desplaza esta.
Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo Dominio público.
 El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es
en los puntos máximos.
 El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es
en los puntos mínimos.
 La función que resulta como función derivada es la función .
 La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x = 0 es .
 La pendiente de la recta normal a la función en el punto x = 0 es .
Enviar
Responde ahora a las siguientes preguntas:
Calcula el valor de para que la recta sea tangente a la función
.
Sabemos que la pendiente de la tangente, en nuestro caso m=6, es igual que la derivada de la
función en ese punto.
Hallamos la derivada de la función y la igualamos a la pendiente, de aquí obtenemos el valor
de la abscisa para la cual la función derivada vale 6.
Por tanto, el punto de tangencia tiene de ordenada
Como la tangente también debe pasar por el punto (1,8), se tiene que verificar que
Dada la función
Caso de estudio
Caso de estudio
a. Calcula la ecuación de la recta tangente en un punto .
b. Calcula el valor de para que dicha recta pase por el punto 
a. Nos están pidiendo que calculemos la recta tangente en x=a:
Si lo hacemos paso a paso, obtenemos:
Luego si sustituimos en la primera fórmula, se nos queda de la siguiente manera:
Si despejamos y sacamos factor común, encontramos la expresión de la recta tangente que
estabamos buscando.
b. Sabemos que la recta pasa por el punto P(1,0), luego lo que tenemos que hacer es
sustituir en la ecuación de la recta tangente que hemos calculado en el apartado anterior
la x por 1 y la y por 0:
Si pasamos dividiendo el término y resolvenos la ecuación:
El valor que buscamos es a = 4/3.
En la construcción de una carretera, uno de los
puntos con los que hay que tener especial
cuidado es en las curvas. Dependiendo de lo
cerrada que sea la curva, debe tener más peralte
o menos para evitar que los coches se salgan de
la misma. En la construcción de una carretera,
una de las curvas se adapta perfectamente a la
función . Los técnicos desean tener
una función que les proporcione en cada uno de
los puntos de la curva la pendiente que tendrá la
recta tangente a la misma. ¿Puedes ayudarles?
Para obtener lo que desean los técnicos
únicamente debemos calcular la derivada de la
Caso de estudio
Por tanto la función buscada es
4. Aplicaciones de la derivada
Fotografía en Flick de Mike Licht bajo CC
El cálculo diferencial y el integral es el
esqueleto fundamental de todos los
modelos matemáticos que se utilizan
en todas las disciplinas científicas.
En el campo de las matemáticas
vamos a ver tres de las aplicaciones
principales, todas ellas relacionadas
con el estudio de funciones. Estos son:
La monotonía.
El cálculo de extremos
relativos.
El estudio de puntos singulares
puntos de inflexión
la concavidad y
convexidad de la gráfica de
una función en distintos
intervalos de su dominio.
4.1. Monotonía
Imagen de elaboración propia
 Decimos que una función es
creciente si al dibujar su gráfica de
izquierda a derecha el trazo cada vez es
más alto. Por tanto, es creciente si al tomar
dos valores y cualesquiera, si
 entonces .
 Decimos que una función es
decreciente si al dibujar su gráfica de
izquierda a derecha el trazo cada vez es
más bajo. Por tanto, es decreciente si al
tomar dos valores y cualesquiera,si
 entonces .
Lo normal es que la función no sea siempre
creciente o decreciente sino que se alternen los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ahora nos interesa que observes la siguiente ventana en la que hay representada una función y la tangente en un
punto cualquiera. Como recuerdas del tema anterior la pendiente de la tangente en un punto coincide con la
derivada de la función en ese punto. Queremos que recorras la función y observes el signo que tiene la pendiente
de la tangente cuando la función crece y cuando decrece.
Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo dominio público.
Importante
A partir de lo anterior podemos deducir lo siguiente:
Si la función f(x) verifica en un punto x=a que su derivada es positiva, f'(a)>0, la función es
creciente en dicho punto.
Analogamente, si la derivada es negativa, f'(a)<0, la función es decreciente en x=a.
Por lo tanto, para saber cuándo una función es creciente o decreciente basta estudiar los
intervalos en los que la función derivada es positiva o negativa.
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función .
Importante
Caso de estudio
Hallamos su derivada.
.
Tenemos que hallar su signo. Para ello tenemos en cuenta que el denominador es una
expresión al cuadrado, luego será positivo siempre que la función exista. Por tanto vamos a
estudiar el signo del numerador. Para ello estudiamos los valores en los que se hace cero el
polinomio.
Basta ahora estudiar el signo de la derivada en los intervalos que nos indican esos valores. La
forma más rápida es darle valores a la derivada y estudiar su signo.
Debemos recordar que en el punto -1 la función no existe.
Por lo tanto la función es creciente en el intervalo .
Es decreciente en el intervalo .
Imagen en INTEF bajo CC
A veces, contactan con la empresa de
Ángela y Andrés para que se
encarguen del estudio de una parte de
un proyecto más grande. Eso les
ocurrió cuando se construyó la nueva
terminal del aeropuerto de Barajas en
Madrid: la T4.
Le pidieron que hicieran un estudio
sobre el recorrido de las brisas creadas
por los aires acondicionados en lo que
iban a ser los techos de la terminal.
Para ello tenían que estudiar los
intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función que,
inicialmente, iban a seguir las volutas
del techo.
Si la función se acercaba a la de expresión , halla los intervalos en los
que crece y decrece.
Caso de estudio
Imagen de elaboración propia
En el tema anterior has aprendido a derivar una función, pero
¿para qué sirve derivar? Como has visto a lo largo de todo el
curso, hemos intentado enseñarte las aplicaciones prácticas
de todo lo que estás estudiando, y esta vez no iba a ser
menos.
Ya conoces alguna de las aplicaciones, como puede ser
averiguar la ecuación de la velocidad de un móvil derivando
la del espacio que recorre, o la ecuación de la aceleración a
partir de la velocidad. En este tema veremos otras
aplicaciones.
Si ves la gráfica de la derecha, podrás decirme
aproximadamente cuándo crece, cuándo decrece, o en qué
puntos alcanza los valores más altos o más bajos. Es algo
relativamente sencillo si tenemos la gráfica delante.
Pero, ¿y si no tuviéramos la gráfica?, ¿y si solo te dijera que
esa gráfica corresponde a la función
y te pidiera exactamente el momento en el que se alcanzará
el máximo valor?
Para ello utilizaremos las derivadas.
El crecimiento y el decrecimiento de una función es algo que ya hemos estudiado antes ¿lo recuerdas?
Básicamente una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, también aumenta el valor de la
función, f(x). Es decreciente, si al aumentar el valor de x, disminuye el de f(x). No olvides que las gráficas se "leen"
de izquierda a derecha.
Imagen de elaboración propia
Veamos un ejemplo real: las siguientes gráficas representan la velocidad y la aceleración de un coche. Si te fijas en
la primera gráfica, la velocidad aumenta hasta el minuto 10 y comienza a disminuir desde entonces.
Imagen de elaboración propia
Mira ahora la gráfica de la aceleración ¿qué ocurría hasta el minuto 10? Que la aceleración era positiva (pues su
gráfica queda por encima del eje de abscisas), y si la aceleración es positiva quiere decir que el coche acelera y
por tanto su velocidad aumenta.
A partir del minuto 10, la aceleración es negativa (su gráfica queda por debajo del eje de abscisas), por tanto está
decelerando y la velocidad disminuye.
Seguro que en física has estudiado que la aceleración es la derivada de la velocidad. Acabamos de ver una
relación entre el signo de la aceleración, y el crecimiento y el decrecimiento de la velocidad. Esta misma relación se
da entre cualquier función derivable, y su derivada.
Cuando hablamos de monotonía, nos estamos refiriendo al comportamiento de una función
respecto a su crecimiento o decrecimiento.
Sea f una función derivable en un intervalo (a, b), entonces es:
Creciente en el intervalo (a,b) si f'(x) ≥ 0 en todo el intervalo (a,b)
Decreciente en el intervalo (a,b) si f'(x) ≤ 0 en todo el intervalo (a,b)
En la siguiente escena de GeoGebra de Saúl Valverde Pérez tienes dos ejemplos, una función polinómica y una
racional, en las que puedes comprobar que se cumple lo que acabamos de ver.
f(x)
función
(continua)
f ' (x)
función derivada
(discontinua)
Creciente (azul) Positiva (azul celeste)
Decreciente (rojo) Negativa (rojo)
Importante
Monotonía
Saúl Valverde, Creación realizada con GeoGebra
Como ya hemos comentado, lo relevante del importante anterior, es que ya no es necesario dibujar la gráfica para
estudiar la monotonía. A continuación tienes un ejercicio resuelto por Saúl Valverde Pérez para que veas cómo
hacerlo. Después hay uno que tendrás que resolver tú.
1 of 7
Monotonia from saulvalper
Función derivada.
Para comenzar, calcula la derivada de la función f(x) y completa los espacios en blanco (incluye
los signos correspondientes):
f ' (x) = x x x 
Obtener las raíces de la derivada.
Resuelve la ecuación f ' (x) = 0 para obtener las raíces. Como es un polinomio de grado mayor
que dos, tendrás que resolver con la Regla de Ruffini.
Las soluciones son (de menor a mayor) x= , x= , x= .
En una empresa están teniendo pérdidas económicas, por lo que deciden poner en marcha una
serie de medidas a lo largo de los próximos 6 meses con las que pretenden remontar y obtener
beneficios al finalizar dicho periodo.
Según sus cuentas, los beneficios obtenidos por la empresa al poner en marcha el plan vienen
dados por la función
donde x es el número de meses.
Vamos a comprobar si con este plan de medidas la empresa mejorará los beneficios. Para ello
tendrás que estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios de la
empresa.
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Hemos obtenido cuatro intervalos. Estudia el signo de la función derivada en cada intervalo:
En el intervalo (-∞, ) la derivada es (positiva/negativa) .
En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .
En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .
En el intervalo ( ,+∞) la derivada es (positiva/negativa) .
Estudiar la monotonía.
Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, podemos decir que en (-∞, )U( ,
) la función es (creciente/decreciente) , y que en ( , 
)U( ,+∞) la función es .
Solución del problema.
Como estamos en una situación real, donde el estudio se ha hecho para ver los resultados en 6
meses, podemos decir que la empresa comienza (disminuyendo/aumentando)
beneficios. A la vista de cómo evolucionan los beneficios al
finalizar los 6 meses ¿Crees que las medidas tomadas han sido efectivas? (sí/no) .
Enviar
Puedes comprobar tus resultados con la gráfica de la función
Imagen de elaboración propia
4.2. Extremos relativos
Imagen de elaboración propia
Máximos
Una función tiene un máximo
relativo en el puntosi en todos los
valores próximos a este punto, el valor de la
función es más pequeño que o lo que es
lo mismo, hasta el valor la función es
creciente y después de este valor la función es
decreciente.
Si para todos los valores se cumple
que , entonces se dice que
tiene un máximo absoluto en .
Mínimos
Una función tiene un mínimo relativo
en el punto si en todos los valores
próximos a este punto, el valor de la función es
más grande que o lo que es lo mismo, hasta el valor la función es decreciente y
después de este valor la función es creciente.
Si para todos los valores se cumple que , entonces se dice que
tiene un mínimo absoluto en .
Ahora regresa a la escena que manejaste en el apartado anterior y observa qué ocurre con la pendiente de la
tangente en los extremos relativos que ves dibujados, es decir en x=1 y en x=-1.
Si una función tiene un extremo relativo en el punto x=a y, en él,
existe la derivada, entonces se cumple que f'(x)=0.
Los puntos que anulan la primera derivada reciben el nombre de
puntos críticos y, entre ellos, pueden estar los extremos relativos
de una función.
Importante
Importante
Imagen de elaboración propiaEl problema se plantea en que no siempre se cumple lo contrario de lo que aparece anteriormente. Una función
puede anular su derivada en un punto y sin embargo no tener en él un extremo relativo. Por ejemplo, la función
f(x)=x3 siempre es creciente, mientras mayor es x mayor es la función, por tanto, no tiene extremos. Sin embargo,
su derivada en el punto x=0 vale cero. Por ello vamos a ampliar las condiciones anteriores con nuevos datos.
Si la función f(x) tiene derivada nula en el punto x=a, f'(a)=0, y existe la segunda derivada en dicho
punto se cumple:
Si f''(a)<0, la función tiene (o alcanza) un máximo relativo en x=a.
Si f''(a)>0, la función tiene (o alcanza) un mínimo relativo en x=a.
Imagen de elaboración propia
Como puedes observar seguimos dejándonos casos atrás,
porque en lo anterior no se dice nada sobre qué ocurre si
f''(a)=0. Además puede haber funciones que tengan extremos
relativos y su derivada primera no se anule porque no exista la
derivada de la función en ese punto. Por ejemplo, eso le ocurre
a la función f(x)=|x2-3x| en los puntos en los que tiene mínimos
relativos, como puedes apreciar en la imagen.
Por ello, en general, lo más cómodo es estudiar el signo de la
primera derivada (en aquellos puntos en los que exista) y tener
presente las siguientes definiciones:
 Una función alcanza un máximo relativo en un punto si en
él pasa de ser creciente a decreciente.
 Una función alcanza un mínimo relativo en un punto si en
él pasa de ser decreciente a creciente.
Halla los extremos relativos de la función que estudiamos en el ejemplo del apartado anterior
Vamos a estudiarlo de las dos formas posibles. En primer lugar utilizando la segunda derivada.
Habíamos hallado la primera derivada
y habíamos estudiado que se anula en x=0 y en x=-2.
Hallamos la segunda derivada.
Importante
Caso de estudio
Debemos observar que solo nos interesa el signo de la segunda derivada, no su valor.
f''(0)>0, por tanto tenemos un mínimo relativo en el punto (0,f(0))=(0,0). Recuerda que
para obtener la segunda componente siempre se sustituye el valor de x en la función, no
en las derivadas.
f''(-2)<0, por tanto tenemos un máximo relativo en el punto (-2,f(-2))=(-2,-4).
Sin embargo creemos que es más fácil estudiando la variación del signo de la primera
derivada. Recuerda lo que hicimos en el apartado anterior.
Podemos observar claramente que en el puntos x=-2 pasa de ser creciente (f'(x)>0) a ser
decreciente (f'(x)<0), luego hay un máximo relativo. Y en el punto x=0 pasa de ser decreciente
a convertirse en creciente, por lo que existe un mínimo relativo.
El máximo absoluto se consigue en el punto ( , ).
El mínimo absoluto corresponde al punto ( , ).
Enviar
En la función que estudiaron Ángela y Andrés en el apartado anterior, ,
interesa saber dónde están los extremos relativos pues suelen coincidir con lugares en los que se
instalan luces ambientales.
La potencia f(x) en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia (x)
en ohmios viene dada por la expresión:
Actividad de rellenar huecos
Ejemplo o ejercicio resuelto
Hallar la potencia máxima y el correspondiente valor de x.
Calculamos la derivada de la función f(x)
Igualando a 0 para calcular el punto crítico, obtenemos:
Habría que calular la segunda derivada y comprobar el signo de f''(12). Si es positivo
tendremos un mínimo relativo y si es negativo un máximo relativo.
Como f''(12) es negativo, tenemos en (12,f(12)) existe un máximo relativo. Por tanto la
potencia máxima que es el dato que nos solicita el problema es f(12). Esto es:
Estamos acostumbrados a oír hablar de temperaturas máximas y mínimas todos los días en las noticias. De hecho,
es una frase muy habitual la de "se ha alcanzado una máxima de 40 grados de temperatura". En la siguiente
gráfica, de la AEMET, en la que podemos ver la temperatura que ha hecho en Málaga desde las 19 h del 13 de
abril a las 18 h del día siguiente. Puedes comprobar que:
La temperatura máxima se alcanza a las 14 h del 14 de abril (25,6 ºC)
La temperatura mínima se alcanza a las 6 h y a las 8 h del 14 de abril (13 ºC)
A las 7 h del 14 de abril hay un máximo relativo, pues es la temperatura más alta en un pequeño periodo
de tiempo (de las 6 a las 8 h).
Para poder averiguar la temperatura máxima o mínima necesitamos una tabla de datos observados o una gráfica
como la anterior, pues la temperatura local no la podemos expresar con una función derivable.
Veamos por tanto qué ocurre en la siguiente función, y comparemos con su derivada:
Imágenes de elaboración propia
A la izquierda tenemos una función f(x) y a la derecha su derivada f'(x).
Mínimo. Si te fijas en los dos mínimos, a su izquierda la función es decreciente y a la derecha es
creciente.Pero, ¿qué quiere decir eso para la derivada? Como vimos en el apartado anterior, equivale a que a
la izquierda la derivada es negativa y a la derecha positiva (como puedes ver en la gráfica de la derivada).
Pues si en ese punto la derivada pasa de negativa a positiva, quiere decir que debe ser nula.
Máximo: en el máximo pasa algo parecido, pero en este caso pasamos de función creciente a decreciente,
es decir, de derivada positiva a negativa. Al igual que antes, en ese punto la derivada debe ser nula.
Una función f, continua y derivable en un intervalo (a,b), alcanza sus máximos y mínimos relativos
en los puntos del intervalo (a,b) en los que f'(x)=0. Además, si estudiamos la segunda derivada:
Máximo relativo: f'(x)=0 y f''(x)<0.
Mínimo relativo: f'(x)=0 y f''(x)>0.
Para que veas cómo podemos hallar máximos y mínimos con la derivada, mira el siguiente ejercicio resuelto por
Saúl Valverde Pérez.
Importante
1 of 9
Extremos from saulvalper
Solución
1. Correcto
2. Incorrecto
3. Correcto
4. Incorrecto
Una conocida compañía de telefonía va a poner a la venta un nuevo modelo de teléfono móvil
para el que prevé unas ventas para los primeros años que vienen dadas por la función
, donde x es el número de meses transcurridos desde que se saca a la venta y
f(x) se mide en millones de unidades vendidas.
a. Determina los posibles máximos o mínimos de la función.
x = -1
x = 0
x = 1
x = 2
AV - Pregunta de Selección Múltiple
Solución
1. Incorrecto
2. Correcto
3. Incorrecto
Solución
1. Incorrecto
2. Correcto
3. Incorrecto
Solución
1. Incorrecto
2. Correcto
3. Incorrecto
Al ponerlo en venta.
El primer mes.
El segundo mes.
c. La función tiene un mínimo, pero no aporta información relevante a nuestro
problema, porque:
No es un dato necesario para la empresa.
El punto en el que se alcanza no pertenece al dominio del problema.
El punto en el que se alcanza no pertenece al dominio de la función.
d. ¿Qué número de unidadesse prevé vender en el momento de máximas ventas?
10 millones de unidades.
20 millones de unidades.
40 millones de unidades.
JUNIO 2010 ANDALUCÍA
Actividad tomada de http://www.iesayala.com/selectividadmatematicas/
4.3. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Cóncavo Cóncavo (abajo) y convexo (arriba) Convexo
Fotografía en Flick de Tutty bajo CC Fotografía en Flick de senroy bajo CC Fotografía en Flick de jackace bajo CC
Mira las curvas de las fotos. Otra de las características de las funciones es su curvatura, y los objetos que
aparecen en las imágenes de arriba tienen diferente curvatura.
Si coges dos puntos de la parte superior del puente y los unes con una cuerda, esta quedará por debajo de la
curva (es cóncavo). En el caso de la rampa, si unimos dos puntos la cuerda queda por encima (es convexa).
La curvatura de una función también se puede estudiar a partir de las derivadas. En la siguiente escena de
geogebra, mueve el punto P a lo largo de la función para ver cómo varía la monotonía y la curvatura de la función.
Observa el cambio en la primera y segunda derivada en los puntos de abscisa x=-1, x=0, x=1, x=2 y x=3, e intenta
averiguar la relación. Pulsando las casillas de monotonía y curvatura verás los intervalos en los que cambian estas
dos características.
Curvatura
La curvatura de una función estudia la forma en que esa función se curva y se mide por su
relación con la tangente. Hay dos tipos de curvatura.
Una función se dice que es cóncava en un punto si al trazar la tangente a la función en dicho
punto, la función queda por debajo de la tangente en los alrededores de ese punto.
Una función se dice que es convexa en un punto si al trazar la tangente a la función en dicho
punto, la función queda por encima de la tangente en los alrededores de ese punto.
Imágenes de elaboración propia
En el apartado 1 del tema hemos visto como el signo de la primera derivada nos indica la monotonía de una
función. Ahora veremos como la curvatura viene determinada por el signo de la segunda derivada. Recorre la
función de la siguiente ventana y observa el signo de la segunda derivada.
Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo CC.
Importante
Si tenemos una función que admite, al menos, hasta la segunda derivada en un punto x=a
tenemos el siguiente resultado.
Si , la función es convexa (U) en el punto a.
Si , la función es cóncava (∩) en x=a.
Luego para estudiar los intervalos de concavidad y convexidad de una función, basta estudiar
donde es positiva y negativa la segunda derivada.
Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la función
Hallamos la segunda derivada de la función
Igualamos a cero, simplificamos y resolvemos la ecuación de segundo grado
Estudiamos el signo de la segunda derivada en los intervalos que nos indican esos valores.
Por tanto la función es cóncava en el intervalo y convexa en
Importante
Caso de estudio
Reflexión
Imagen en INTEF bajo CC
tipo de planta. Es interesante estudiar
cuando crece más y cuando menos, por
ello, los científicos quieren estudiar la
curvatura de la función que han
aproximado al crecimiento de la planta
en las primeras semanas. Esa función
viene dada por la expresión
Ayúdales hallando los intervalos de
concavidad y convexidad de esa
función.
Como suponemos que partimos desde cero en el estudio, la función será cóncava en el
intervalo y convexa en el intervalo .
Imagen de elaboración propia
Un punto de inflexión es aquel en el que la función cambia
de curvatura, es decir, en el que pasa de cóncava a convexa
o viceversa.
Si trazamos una tangente a la función en ese punto se puede
apreciar que a un lado del punto la función queda por encima
de la recta tangente y al otro lado por debajo.
Como en el punto de inflexión la función pasa de cóncava a convexa , lo normal es
que en ese punto la función se anule. Compruébalo en la siguiente ventana observando que pasa en los puntos
x=-3, x=0 y x=2, que son puntos de inflexión de la función.
Importante
Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo CC.
Si una función f cumple en un punto x=a que entonces la función
tiene en x=a un punto de inflexión.
Si es complicado el cálculo de la derivada tercera, lo usual es estudiar el signo de la segunda
derivada antes y después del punto x=a. Si cambia su signo entonces es punto de inflexión.
Determina los puntos de inflexión de la función 
Ya estudiamos en el apartado anterior los intervalos de concavidad y convexidad de esta
función.
Su derivada segunda es , que se anulaba en los puntos
 y los intervalos de signo son:
Importante
Caso de estudio
Por tanto tenemos dos puntos de inflexión, en concreto en los valores
 y 
Los puntos de inflexión de esa función se obtienen en:
(1 , )
( , 7/2 )
( , )
Enviar
Imagen en INTEF bajo CC
En una compañía petrolífera están
estudiando el número de miles de
bidones de combustible que han
servido en las cuatro primeras semanas
del mes. Les interesa conocer si el
aumento o disminución ha sido muy
rápido o no y para ello quieren localizar
los puntos de inflexión en ese reparto.
Después del estudio realizado han
aproximado la entrega de combustible a
la función siguiente:
Observa el siguiente ejercicio resuelto por Saúl Valverde Pérez en donde se hace el estudio de la curvatura de una
función.
Actividad de rellenar huecos
1 of 7
Curvatura from saulvalper
Necesitamos estudiar la curvatura de la función para un proyecto que
estamos realizando. Completa los campos en blanco con los resultados que obtengas:
La primera derivada de la función es f '(x) = (x4+ x3) / 
La segunda derivada es f ''(x) = x3+ x2
La función f(x) es cóncava en (-∞, )
La función f(x) es convexa en ( ,+∞)
Tiene un punto de inflexión en P=( , )
¿Existe punto de inflexión en x=-3? (sí/no) 
Enviar
Observa que en x=-3 se cumple que f ''(-3)=0, pero como no cambia la curvatura, no hay punto
de inflexión en dicho punto.
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Sea la función definida por .
a. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los extremos
relativos o locales de f.
b. Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f.
Hallamos la primera derivada fr f
Calculamos los puntos donde se anula
La derivada cumple que para por lo tanto la función es decreciente
en . Para los restantes valores, si y, por eso, en el
intervalo la función es creciente.
En el valor x=0 la función pasa de decreciente a creciente, luego hay un mínimo relativo en
(0,1).
La segunda derivada vale y como la función exponencial siempre es
positiva, la segunda derivada siempre es positiva y por tanto la función siempre es convexa.
Sea la función definida por , siendo Ln la función logaritmo
neperiano.
a. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la
función f.
b. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de
abscisa negativa.
a. Hallamos la derivada de la función
El signo de f' solo depende del signo de x, pues el denominador es siempre positivo. Por
tanto, la función es decreciente en y creciente en . Luego en el
punto (0,f(0))=(0,0) la función pasa de decreciente a creciente y hay por lo tanto un
Caso de estudio
Caso de estudio
b. La derivada segunda es
y se anula en x=-1 y en x=1 (compruebalo tú).
Comprobamos que x=-1 (que es el punto al que se refiere el apartado b.) es un punto de
inflexión verificando que f'''(-1) es distinto de 0 (hazlo tú).
Para calcular la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa -1
utilizamos la ecuación:
Sea la función definida por .
a. Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
a. La función tiene unmínimo local en el punto .
b. El punto de inflexión es y la tangente en ese punto es .
Reflexión
5. Ejercicios resueltos de pruebas de acceso anteriores
Para finalizar este primer tema, vamos a resolver los ejercicios que se han preguntado sobre este tema en
exámenes de la PAU en cursos anteriores.
Es recomendable que antes de mirar la solución, los intentes previamente, por si no hubieran salido del todo
correctos, aprender del error y coger práctica.
Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2007
Calcule f '(1) sabiendo que 
Nota: En este ejercicio se utilizarán conocimientos básicos relacionados con las derivadas.
Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2008
Ejemplo o ejercicio resuelto
Ejemplo o ejercicio resuelto
Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2007
Halle los máximos y mínimos relativos de la función f(x)=x3-9x. Determine también en qué
intervalos es creciente y decreciente la función. 
Ejemplo o ejercicio resuelto
Dada la función f definida para los números reales, x≠-1, por:
Caso práctico
pruebe que su función derivada es constante
Nota: En este ejercicio se utilizarán conocimientos básicos relacionados con las derivadas.
6. Apéndice
Fotografía en Flickr de S@Z bajo CC
aaa
6.1. Curiosidades
Como la derivada de una función en un punto también representa la pendiente de la recta
tangente a la función en ese punto, la monotonía y los extremos de una función se pueden
explicar a partir de la pendiente de la recta tangente. Si quieres saber más, visita la web de
Manuel Sada.
Es necesario aprender a derivar manualmente, pero en la actualidad hay multitud de programas
que nos simplifican y nos ayudan a realizar comprobaciones. A continuación, tenemos dos enlaces
a una página del intef, donde podemos encontrar un pequeño manual de cómo derivar con ambos
programas y algunos ejercicios:
Derivar con:
¿Nos animamos a comprobar los resultados de los videos anteriores en ambos programas?
Aquí tienes otros enlaces a recursos online para cálculo de derivadas.
Calculadora de derivadas
Diferenciación paso a paso
Calculador de derivadas
Cálculo de derivadas con Wolfram Alpha
Curiosidad
Curiosidad
Curiosidad
6.2. Para saber más
En este enlace a la página vitutor, puedes encontrar algunos ejercicios resueltos sobre la relación
existente entre continuidad y derivabilidad.
Imagen en Wikimedia Commons
de Bemoeial2 bajo Dominio Público
Regla de L´Hopital
El cálculo diferencial nos aporta una nueva
herramienta para calcular los límites de
funciones. Esta regla la puedes utilzar
siempre que se cumplan las condiciones que
indica el teorema, teniendo en cuenta que el
valor para el cual se va a calcular el límite
puede ser cualquier número real, o
.
Por otra parte, indicarte que también puedes
utilizar la regla de L'Hopital para las
indeterminaciones del tipo y , es
decir, se cumple en los siguientes casos:
Para saber más
Para saber más