Tarea 04_Ecuaciones Homogéneas

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
Tarea 04: Ecuaciones Homogéneas 
28/02/2023 
 
 
Grupo: 3MV2 
 
Alumnos: 
Hernández Leyva Luis Alfredo 
Montoya Carreón Emilio 
Flores Mendoza Javier Alejandro 
Materia: Ecuaciones diferenciales 
 
Prof. De Paz Peña Miguel Ángel 
Resolver usando el método de ecuaciones homogéneas visto en 
clase y comprobar la solución encontrada. 
 
 
 
 
 
𝒀′ =
𝑿 + 𝒀
𝑿
 
𝒄𝒐𝒏 𝒀 = 𝑽𝑿 ; 𝑽 =
𝒀
𝑿
 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx” y comprobamos si se cumple la homogeneidad M(X, Y)dx + 
N(X,Y)dy=0: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑋 + 𝑌
𝑋
 
dy = (
𝑋 + 𝑌
𝑋
) dx 
(
𝑋 + 𝑌
𝑋
) dx − dy = 0 
𝐒𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐌(𝐗, 𝐘)𝐝𝐱 + 𝐍(𝐗, 𝐘)𝐝𝐲 = 𝟎 
Sustituimos 𝑌 = 𝑉𝑋 
𝐶𝑜𝑛 𝑋 𝑦 𝑉 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 
𝑌 = 𝑉𝑋 ; 𝑉 =
𝑌
𝑋
 
𝑑𝑦 = 𝑉𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑣 
Sustituimos en la ecuación homogénea: 
(
𝑋 + 𝑌
𝑋
) dx − dy = 0 
 
(
𝑋 + 𝑉𝑋
𝑋
) dx − (Vdx + Xdv) = 0 
Factorizamos y agrupamos: 
(
𝑋(1 + 𝑉)
𝑋
) dx − Vdx − Xdv = 0 
(1 + 𝑉)𝑑𝑥 − 𝑉𝑑𝑥 − 𝑋𝑑𝑣 = 0 
𝑑𝑥 + 𝑉𝑑𝑥 − 𝑉𝑑𝑥 − 𝑋𝑑𝑣 = 0 
𝑑𝑥 − 𝑋𝑑𝑣 = 0 
𝑑𝑥 = 𝑋𝑑𝑣 
𝑑𝑥
𝑋
= 𝑑𝑣 
 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫
𝑑𝑥
𝑋
= ∫ 𝑑𝑣 
ln(𝑋) + 𝐶 = 𝑉 + 𝐶 
ln(𝑋) + 𝐶 = 𝑉 
Sustituimos 𝑉 =
𝑌
𝑋
 
ln(𝑋) + 𝐶 = 𝑉 
ln(𝑋) + 𝐶 =
𝑌
𝑋
 
𝑋(ln(𝑋) + 𝐶) = 𝑌 
𝑌 = 𝑋(ln(𝑋) + 𝐶) 
𝒀 = 𝑿𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪𝑿 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
COMPROBACIÓN 
Obtenemos la primera derivada de la solución general: 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
EJERCICIO N°1 
𝒀 = 𝑿𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪𝑿 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ln(𝑋) + 1 + 𝐶 
Sustituimos en la ecuación original: 
𝒀′ =
𝑿 + 𝒀
𝑿
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑋 + 𝑌
𝑋
 
𝑙𝑛(𝑋) + 1 + 𝐶 =
𝑋 + 𝑋𝑙𝑛(𝑋) + 𝐶𝑋
𝑋
 
 𝑙𝑛(𝑋) + 1 + 𝐶 =
𝑋
𝑋
+
𝑋(ln(𝑋) + 𝐶)
𝑥
 
𝑙𝑛(𝑋) + 1 + 𝐶 = 1 + 𝑙𝑛(𝑋) + 𝐶 
𝒍𝒏(𝑿) + 𝟏 + 𝑪 = 𝒍𝒏(𝑿) + 𝟏 + 𝑪 
 
𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑼𝑵𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 ∴ 𝒀 = 𝑿𝒍𝒏(𝑿) + 𝑪𝑿 
𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵. 
 
 
 
𝑿(𝑿 + 𝟑)𝒅𝒚 − 𝒀(𝟐𝑿 + 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎 
𝑪𝒐𝒏 𝒀 = 𝑽𝑿 ; 𝑽 =
𝒀
𝑿
 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx” y comprobamos si se cumple la homogeneidad M(X, Y)dx + 
N(X,Y)dy=0: 
((𝑋2 + 3𝑋)𝑑𝑦 = (2𝑋𝑌 + 3𝑌)𝑑𝑥) (
1
𝑋2 + 3𝑋
) (
1
𝑌
) 
𝑑𝑦
𝑌
= (
2𝑋 + 3
𝑋2 + 3𝑋
) 𝑑𝑥 
(
2𝑋 + 3
𝑋2 + 3𝑋
) 𝑑𝑥 −
𝑑𝑦
𝑌
= 0 
𝑀(𝑋, 𝑌)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑋, 𝑌)𝑑𝑦 = 0 
Sustituyendo 𝑌 = 𝑉𝑋: 
𝐶𝑜𝑛 𝑋 𝑦 𝑉 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 
𝑌 = 𝑉𝑋 ; 𝑉 =
𝑌
𝑋
 
𝑑𝑦 = 𝑉𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑣 
Sustituimos en la ecuación homogénea: 
(
2𝑋 + 3
𝑋2 + 3𝑋
) 𝑑𝑥 −
𝑉𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑦
𝑉𝑋
= 0 
Factorizamos y agrupamos: 
(
2𝑋 + 3
𝑋(𝑋 + 3)
) 𝑑𝑥 −
𝑑𝑥
𝑋
−
𝑑𝑦
𝑉
= 0 
(
2𝑥}𝑋 + 3
𝑥}𝑋2 + 3𝑋
−
1
𝑋
) 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑉
 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
EJERCICIO N°2 
(
2𝑋2 + 3𝑋 − 𝑋2 − 3𝑋
𝑋2(𝑋 + 3)
) 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑉
 
(
𝑋2
𝑋2(𝑋 + 3) 
) 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑉
 
(
1
𝑋 + 3 
) 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑉
 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫ (
1
𝑋 + 3 
) 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑦
𝑉
 
ln(𝑋 + 3) + 𝐶 = ln(𝑉) + 𝐶 
ln(𝑋 + 3) + 𝐶 = ln(𝑉) 
ln(𝑋 + 3) + ln(𝐶) = ln(𝑉) 
𝑙𝑛𝐶(𝑋 + 3) = ln(𝑉) 
 
Aplicamos ley de logaritmos en ambos lados de la igualdad: 
𝑒𝑙𝑛𝐶(𝑋+3) = 𝑒ln(𝑉) 
𝐶(𝑋 + 3) = 𝑉 
Sustituimos el valor de 𝑉 =
𝑌
𝑋
 
𝐶(𝑋 + 3) = 𝑉 
𝐶(𝑋 + 3) =
𝑌
𝑋
 
𝑋(𝐶(𝑋 + 3)) = 𝑌 
𝒀 = 𝑪𝑿(𝑿 + 𝟑) → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
COMPROBACIÓN: 
Obtenemos la primera derivada de la Solución General primero: 
𝒀 = 𝑪𝑿(𝑿 + 𝟑) → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝐶𝑋 + 3𝐶 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐶(2𝑋 + 3) 
𝑑𝑦 = (𝐶(2𝑋 + 3))𝑑𝑥 
Sustituimos en la ecuación original: 
𝑿(𝑿 + 𝟑)𝒅𝒚 − 𝒀(𝟐𝑿 + 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎 
𝑋(𝑋 + 3)𝑑𝑦 = 𝑌(2𝑋 + 3)𝑑𝑥 
(𝑋2 + 3𝑋)(𝐶(2𝑋 + 3))𝑑𝑥 = (𝐶𝑋(𝑋 + 3))(2𝑋 + 3)𝑑𝑥 
𝟐𝑪𝑿𝟑 + 𝟗𝑪𝑿𝟐 + 𝟗𝑪𝑿 = 𝟐𝑪𝑿𝟑 + 𝟗𝑪𝑿𝟐 + 𝟗𝑪𝑿 
 
𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺 𝑼𝑵𝑨 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑫𝑨𝑫 
∴ 𝒀 = 𝑪𝑿(𝑿 + 𝟑) 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳 
 
 
 
𝑿𝟒 − 𝒀𝟒 + 𝑿𝒀𝟑𝒀′ = 𝟎 
𝑪𝒐𝒏 𝒀 = 𝑽𝑿 ; 𝑽 =
𝒀
𝑿
 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx” y comprobamos si se cumple la homogeneidad M(X, Y)dx + 
N(X,Y)dy=0: 
EJERCICIO N°3 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
𝑋4 − 𝑌4 + (𝑋𝑌3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
 
Multiplicamos todo por dx: 
(𝑋4 − 𝑌4 + (𝑋𝑦3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0) (𝑑𝑥) 
(𝑋4 − 𝑌4)𝑑𝑥 + (𝑋𝑌3)𝑑𝑦 = 0 
𝑀(𝑋, 𝑌)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑋, 𝑌)𝑑𝑦 = 0 
Sustituyendo 𝑌 = 𝑉𝑋: 
𝐶𝑜𝑛 𝑋 𝑦 𝑉 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 
𝑌 = 𝑉𝑋 ; 𝑉 =
𝑌
𝑋
 
𝑑𝑦 = 𝑉𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑣 
Sustituimos en la ecuación homogénea: 
(𝑋4 − (𝑉𝑋)4)𝑑𝑥 + (𝑋(𝑉𝑋)3)(𝑉𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑣) = 0 
(𝑋4 − 𝑉4𝑋)𝑑𝑥 + (𝑋(𝑉3𝑋3))(𝑉𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑣) = 0 
(𝑋4 − 𝑉4𝑥4)𝑑𝑥 + (𝑋4𝑉4)(𝑉𝑑𝑥 + 𝑋𝑑𝑣) = 0 
(𝑋4 − 𝑉4𝑋4)𝑑𝑥 + (𝑋4𝑉4)𝑑𝑥 + (𝑋5𝑉3)𝑑𝑣 = 0 
Simplificar y factorizar: 
(𝑋4 − 𝑉4𝑋4)𝑑𝑥 + (𝑋4𝑉4)𝑑𝑥 = −(𝑋5𝑉3)𝑑𝑣 
(𝑋4 − 𝑉4𝑋4 + 𝑋4𝑉4)𝑑𝑥 = −(𝑋5𝑉3)𝑑𝑣 
(𝑋4)𝑑𝑥 = −(𝑋5𝑉3)𝑑𝑣(
1
𝑋5
) 
𝑑𝑥
𝑋
= −𝑉3𝑑𝑣 
Integramos ambos lados de la igualdad: 
∫
𝑑𝑥
𝑋
= − ∫ 𝑉3𝑑𝑣 
ln(𝑋) + 𝐶 = −
𝑉4
4
+ 𝐶 
ln(𝑋) = −
𝑉4
4
+ 𝐶 
ln(𝑋) +
𝑉4
4
= 𝐶 
𝐶 = ln(𝑋) +
𝑉4
4
 
 
Sustituimos el valor de 𝑉 =
𝑌
𝑋
 
𝐶 = ln(𝑋) +
(
𝑌
𝑋)
4
4
 
𝐶 = ln(𝑋) +
𝑌4
𝑋4
4
 
𝐶 = ln(𝑋) +
𝑌4
4𝑋4
 
𝐥𝐧(𝑿) +
𝒀𝟒
𝟒𝑿𝟒
= 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
 
 
 
 
 
𝟐𝑿𝟑𝒀𝒅𝒙 + (𝑿𝟒 + 𝒀𝟒)𝒅𝒚 = 𝟎 
𝑪𝒐𝒏 𝑿 = 𝑽𝒀 ; 𝑽 =
𝑿
𝒀
 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx” y comprobamos si se cumple la homogeneidad M(X, Y)dx + 
N(X,Y)dy=0: 
2𝑋3𝑌𝑑𝑥 + (𝑋4 + 𝑌4)𝑑𝑦 = 0 
𝐒𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐌(𝐗, 𝐘)𝐝𝐱 + 𝐍(𝐗, 𝐘)𝐝𝐲 = 𝟎 
Sustituimos 𝑋 = 𝑉𝑌 
𝐶𝑜𝑛 𝑌 𝑦 𝑉 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 
𝑋 = 𝑉𝑌 ; 𝑉 =
𝑋
𝑌
 
𝑑𝑥 = 𝑉𝑑𝑦 + 𝑌𝑑𝑣 
Sustituimos en la ecuación homogénea: 
2𝑌(𝑉𝑌)3(𝑉𝑑𝑦 + 𝑌𝑑𝑣) + ((𝑉𝑌)4 + 𝑌4)𝑑𝑦 = 0 
2𝑌(𝑉3𝑌3)(𝑉𝑑𝑦 + 𝑌𝑑𝑣) + (𝑉4𝑌4 + 𝑌4)𝑑𝑦 = 0 
2𝑉3𝑌4(𝑉𝑑𝑦 + 𝑌𝑑𝑣) + 𝑉4𝑌4𝑑𝑦 + 𝑌4𝑑𝑦 = 0 
2𝑉4𝑌4𝑑𝑦 + 2𝑉3𝑌5𝑑𝑣 + 𝑉4𝑌4𝑑𝑦 + 𝑌4𝑑𝑦 = 0 
3𝑉4𝑌4𝑑𝑦 + 2𝑉3𝑌5𝑑𝑣 + 𝑌4𝑑𝑦 = 0 
𝑌4(3𝑉4 + 1)𝑑𝑦 + 2𝑉3𝑌5𝑑𝑣 = 0 
𝑌4(3𝑉4 + 1)𝑑𝑦 = −2𝑉3𝑌5𝑑𝑣 
 
Dividimos por (
𝟏
𝒀𝟓
)(
𝟏
𝟑𝑽𝟒+𝟏
) 
(𝑌4(3𝑉4 + 1)𝑑𝑦 = −2𝑉3𝑌5𝑑𝑣) (
1
𝑌5
) (
1
3𝑉4 + 1
) 
1
𝑌
𝑑𝑦 = −
2𝑉3
3𝑉4 + 1
𝑑𝑣 
Integramos en ambos lados de la igualdad: 
∫
1
𝑌
𝑑𝑦 = ∫ −
2𝑉3
3𝑉4 + 1
𝑑𝑣 
Integral 1.- 
∫
1
𝑌
𝑑𝑦 
𝑙𝑛(𝑌) + 𝐶 
Integral 2.- 
∫ −
2𝑉3
3𝑉4 + 1
𝑑𝑣 
𝑢 = 3𝑉4 + 1 
𝑑𝑢 = 12𝑉3 
−
1
6
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
EJERCICIO N°4 
RESOLVER “Y” DE 
LA EC. 
 
−
1
6
ln(𝑈) + 𝐶 
−
ln(3𝑉4 + 1) + 𝐶
6
 
Unimos ambos resultados de la igualdad: 
(𝑙𝑛(𝑌) + 𝐶 = −
ln(3𝑉4 + 1) + 𝐶
6
) (6) 
6 ln(𝑌) = − ln(3𝑉4 + 1) + 6𝐶 
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 6𝐶 = 𝐶 
ln(𝑌)6 + ln(3𝑉4 + 1) = ln(𝐶) 
𝑙𝑛𝑌6(3𝑉4 + 1) = ln (𝐶) 
Aplicamos ley de los logaritmos a ambas partes de la igualdad: 
𝑒𝑙𝑛𝑌
6(3𝑉4+1) = 𝑒ln(𝐶) 
𝑌6(3𝑉4 + 1) = 𝐶 
Sustituimos el valor de 𝑉 =
𝑋
𝑌
 
𝐶 = 𝑌6(3𝑉4 + 1) 
𝐶 = 𝑌6 (3 (
𝑋
𝑌
)
4
+ 1) 
𝐶 = 𝑌6 ((
3𝑋4
𝑌4
) + 1) 
𝐶 =
3𝑋4𝑌6
𝑌4
+ 𝑌6 
𝐶 = 3𝑋4𝑌2 + 𝑌6 
𝑪 = 𝟑𝑿𝟒𝒀𝟐 + 𝒀𝟔 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳. 
 
COMPROBACIÓN 
Derivamos implícitamente la solución general: 
𝑪 = 𝟑𝑿𝟒𝒀𝟐 + 𝒀𝟔 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳 
0 = 3𝑋4 (2𝑌
𝑑𝑥
𝑑𝑦
) + 𝑌2(12𝑋3) + 6𝑌5 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) 
6𝑋4𝑌 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) + 12𝑋3𝑌2 + 6𝑌5 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 0 
(6𝑋4𝑌 + 6𝑌5)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 12𝑋3𝑌2 = 0 
 
𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒙: 
((6𝑋4𝑌 + 6𝑌5)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 12𝑋3𝑌2 = 0) (𝑑𝑥) 
(6𝑋4𝑌 + 6𝑌5)𝑑𝑦 + (12𝑋3𝑌2)𝑑𝑥 = 0 
 
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟔: 
((6𝑋4𝑌 + 6𝑌5)𝑑𝑦 + (12𝑋3𝑌2)𝑑𝑥 = 0)
6
 
(𝑋4𝑌 + 𝑌5)dy + (2𝑋3𝑌2)𝑑𝑥 = 0 
 
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒀: 
((𝑋4𝑌 + 𝑌5)dy + (2𝑋3𝑌2)𝑑𝑥 = 0)
𝑌
 
(𝑋4 + 𝑌4)𝑑𝑦 + (2𝑋3𝑌)𝑑𝑥 = 0 
 
𝑨𝒄𝒐𝒎𝒐𝒅𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 
(𝟐𝑿𝟑𝒀)𝒅𝒙 + (𝑿𝟒 + 𝒀𝟒)𝒅𝒚 = 𝟎 
𝑪𝑶𝑴𝑶 𝑶𝑩𝑻𝑼𝑽𝑰𝑴𝑶𝑺𝑳𝑨 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 
 𝑪 = 𝟑𝑿𝟒𝒀𝟐 + 𝒀𝟔 𝑬𝑺 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑬 𝑬𝑺𝑻𝑨 𝑴𝑰𝑺𝑴𝑨. 
 
 
(𝑿 − 𝒀)𝒅𝒙 + (𝑿 + 𝒀)𝒅𝒚 = 𝟎 
𝑪𝒐𝒏 𝑿 = 𝑽𝒀 ; 𝑽 =
𝑿
𝒀
 
RESPUESTA 
Despejamos “dy” y “dx” y comprobamos si se cumple la homogeneidad M(X, Y)dx + 
N(X,Y)dy=0: 
(𝑋 − 𝑌)𝑑𝑥 + (𝑋 + 𝑌)𝑑𝑦 = 0 
𝐒𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐌(𝐗, 𝐘)𝐝𝐱 + 𝐍(𝐗, 𝐘)𝐝𝐲 = 𝟎 
Sustituimos 𝑋 = 𝑉𝑌 
𝐶𝑜𝑛 𝑌 𝑦 𝑉 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 
𝑋 = 𝑉𝑌 ; 𝑉 =
𝑋
𝑌
 
𝑑𝑥 = 𝑉𝑑𝑦 + 𝑌𝑑𝑣 
Sustituimos en la ecuación homogénea: 
(𝑉𝑌 − 𝑌)(𝑉𝑑𝑦 + 𝑌𝑑𝑣) + (𝑉𝑌 + 𝑌)𝑑𝑦 = 0 
Factorizamos y agrupamos: 
𝑉2𝑌𝑑𝑦 − 𝑉𝑌𝑑𝑦 + 𝑌2𝑉𝑑𝑣 − 𝑌2𝑑𝑣 + 𝑉𝑌𝑑𝑦 + 𝑌𝑑𝑦 = 0 
(𝑉2𝑌 − 𝑉𝑌 + 𝑉𝑌 + 𝑌)𝑑𝑦 + (𝑌2𝑉 − 𝑌2)𝑑𝑣(𝑉2𝑌 + 𝑌)𝑑𝑦 + (𝑌2𝑉 − 𝑌2)𝑑𝑣 = 0 
𝑌(𝑉2 + 1)𝑑𝑦 = −𝑌2(𝑉 − 1)𝑑𝑣 
−
𝑑𝑦
𝑌
=
(𝑉 − 1)
(𝑉2 + 1)
𝑑𝑣 
Integramos en ambos lados de la igualdad: 
− ∫ 𝑌𝑑𝑦 = ∫(𝑉 − 1)(𝑉2 + 1)𝑑𝑣 
−ln (𝑌) + 𝐶 = ∫ 𝑉𝑉2 + 1 −
1
𝑉2
+ 1(𝑑𝑣) 
−ln (𝑌) + 𝐶 = ∫
𝑉
𝑉2
+
1
𝑑𝑣
− ∫ 1𝑉2 + 1(𝑑𝑣) 
−ln (𝑌) + 𝐶 = ln(𝑉2 + 1) 2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑉 + 𝐶 
𝐶 = ln
𝑉2 + 1
2
+ ln (𝑌) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑉 + 𝐶 
ln(𝑉2 + 1) + ln(𝑌)2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑉 = 𝐶 
ln(𝑉2 + 1) 𝑌2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑉 = 𝐶 
Sustituimos el valor de 𝑉 =
𝑋
𝑌
 
ln((𝑋𝑌)2 + 1) 𝑌2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑋𝑌 = 𝐶 
ln(𝑋2𝑌2 + 1) 𝑌2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑋𝑌 = 𝐶 
ln(𝑋2𝑌2 + 𝑌2) 𝑌2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑋𝑌 = 𝐶 
EJERCICIO N°5 
RESOLVER “Y” 
DE LA EC. 
 
ln(𝑋2 + 𝑌2) 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑋𝑌 = 𝐶 
ln(𝑋2 + 𝑌2) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑋𝑌 = 2𝐶 
𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝟐𝑪 = 𝑪 
𝐥𝐧(𝑿𝟐 + 𝒀𝟐) − 𝟐 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (
𝑿
𝒀
) = 𝑪 → 𝑺𝑶𝑳. 𝑮𝑹𝑨𝑳.