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VARIACIÓN DE PARAMETROS
Luis Alfredo Hernández Leyva
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EC. HOMOGÉNEA Alumno: Hernández Leyva Luis Alfredo Fecha de entrega: 12/12/2002 Grupo: 3MM6 ECUACIONES DIFERENCIALES TAREA 2.- VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Resuelva las siguientes EDO’s mediante variación de parámetros. 𝟏. 𝒚´´ + 𝟒𝒚´ + 𝟒𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙 𝒙𝟐 Resolvemos la Homogénea: 𝜆2 + 4𝜆 + 4 = 0 (𝜆 + 2)(𝜆 + 2) = 0 𝜆1 = −2 ; 𝜆2 = −2 𝒚𝒉 = 𝑪𝟏𝒆 −𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆 −𝟐𝒙 𝑜´ 𝒚𝒉 = 𝒆 −𝟐𝒙(𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙) Solución Particular: 𝑦𝑝 = 𝐶1(𝑥)𝑒 −2𝑥 + 𝐶2(𝑥)𝑥𝑒 −2𝑥 𝑦1 = 𝑒 −2𝑥 ; 𝑦2 = 𝑥𝑒 −2𝑥 Wronskiano=W 𝑊 = [ 𝑒 −2𝑥 𝑥𝑒−2𝑥 −2𝑒−2𝑥 𝑒−2𝑥 − 2𝑥𝑒−2𝑥 ] 𝑊 = (𝑒−2𝑥(𝑒−2𝑥 − 2𝑥𝑒−2𝑥)) − (−2𝑒−2𝑥(𝑥𝑒−2𝑥)) 𝑊 = 𝑒−4𝑥 − 2𝑥𝑒−4𝑥 − (−2𝑥𝑒−4𝑥) 𝑊 = 𝑒−4𝑥 − 2𝑥𝑒−4𝑥 + 2𝑥𝑒−4𝑥 𝑾 = 𝟏 𝟑𝟒𝒙 𝑊1 = [ 0 𝑥𝑒−2𝑥 𝑒−2𝑥 𝑥2 𝑒−2𝑥 − 2𝑥𝑒−2𝑥 ] = (−𝑥𝑒−2𝑥) ( 𝑒−2𝑥 𝑥2 ) 𝑊1 = (−𝑥𝑒 −2𝑥) ( 𝑒−2𝑥 𝑥2 ) 𝑊1 = −𝑒 −2𝑥 ( 𝑒−2𝑥 𝑥 ) 𝑾𝟏 = − 𝒆−𝟒𝒙 𝒙 𝐶´1(𝑥) = 𝑊1 𝑊 = − 𝑒−4𝑥 𝑥 𝑒−4𝑥 𝐶´1(𝑥) = − 1 𝑥𝑒4𝑥 𝑒−4𝑥 𝐶´1(𝑥) = − 𝑒−4𝑥 𝑥𝑒−4𝑥 𝑪´𝟏(𝒙) = − 𝟏 𝒙 𝐶1(𝑥) = ∫ − 1 𝑥 𝑑𝑥 = − ln(𝑥) 𝑪𝟏(𝒙) = −𝐥𝐧 (𝒙) 𝑊2 = [ 𝑒−2𝑥 0 −2𝑒−2𝑥 𝑒−2𝑥 𝑥2 ] 𝑊2 = (𝑒 −2𝑥)( 𝑒−2𝑥 𝑥2 ) 𝑾𝟐 = 𝒆−𝟒𝒙 𝒙𝟐 𝐶´2(𝑥) = 𝑊2 𝑊 = − 𝑒−4𝑥 𝑥2 𝑒−4𝑥 𝐶´2(𝑥) = 𝑒−4𝑥 𝑥2𝑒−4𝑥 𝑪´𝟐(𝒙) = 𝟏 𝒙𝟐 𝐶2(𝑥) = ∫ 1 𝑥2 𝑑𝑥 = − 1 𝑥 𝑪𝟐(𝒙) = − 𝟏 𝒙 𝑦𝑝 = 𝐶1(𝑥)𝑒 −2𝑥 + 𝐶2(𝑥)𝑥𝑒 −2𝑥 𝑦𝑝 = − ln(𝑥) ( 𝑒 −2𝑥 − 1 𝑥 ) (𝑥𝑒−2𝑥) 𝑦𝑝 = 𝑒 −2𝑥 (− ln(𝑥) − 1 𝑥 (𝑥)) 𝑦𝑝 = 𝑒 −2𝑥 (ln(𝑥−1) − 1 𝑥 (𝑥)) 𝒚𝒑 = 𝒆 −𝟐𝒙 (𝐥𝐧 ( 𝟏 𝒙 ) − 𝟏) LA SOLUCIÓN ES LA SIGUIENTE: 𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑 𝑦 = 𝐶1𝑒 −2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 −2𝑥 − ln(𝑥) ( 𝑒−2𝑥 − 1 𝑥 ) (𝑥𝑒−2𝑥) 𝑦 = 𝐶1𝑒 −2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 −2𝑥 − ln(𝑥) ( 𝑒−2𝑥 − 𝑒−2𝑥) Ya que contamos con términos semejante procedemos a factorizar la solución, de tal forma que quede lo más sinplificada posible. LA SOLUCIÓN FINAL ES: 𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙(𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙 + 𝒍𝒏 ( 𝟏 𝒙 ) − 𝟏) 𝟐. 𝒚´´ + 𝟑𝒚´ + 𝟐𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒆𝒙) Resolvemos la Ecuación Diferencial: LA SOLUCIÓN FINAL ES: 𝟑. 𝒚´´ + 𝟗𝒚 = 𝟏 𝟒 𝒄𝒔𝒄(𝟑𝒙) Resolvemos la Ecuación Diferencial: Encontramos la Solución Particular: 𝒚𝒑 = − 𝟏 𝟏𝟐 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟏 𝟑𝟔 𝐥𝐧 (𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) Y como consecuencia encontramos la solución de la Ecuación Diferencial: 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) − 𝟏 𝟏𝟐 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟏 𝟑𝟔 𝒍𝒏 (𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) SOLUCIÓN DE LA EDO. HERNÁNDEZ LEYVA LUIS ALFREDO N° DE LISTA: 17 3MM6
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