EDO´S LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES, POR COEFICIENTES INDETERMINADOS CON EL OPERADOR ANULADOR.

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Alumno: Hernández Leyva Luis Alfredo 
Fecha de entrega: 01/12/2002 
Grupo: 3MM6 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
TAREA 1.- 
EDO´S LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES, POR COEFICIENTES 
INDETERMINADOS CON EL OPERADOR ANULADOR. 
Encuentre los siguientes operadores anuladores de las siguientes funciones: 
1.- 𝑞(𝑥) = 1 + 7𝑒𝑥 
2.- 𝑞(𝑥) = cos⁡(2𝑥) 
3.- 𝑞(𝑥) = 3 + 𝑒𝑥cos⁡(2𝑥) 
 
1.- 𝒒(𝒙) = 𝟏 + 𝟕𝒆𝒙 
EL OPERADOR ANULADOR ES: 𝑳 = 𝑫(𝑫 − 𝟐) 
𝑳(𝒒(𝒙)) = 𝑫(𝑫 − 𝟐)𝑞(𝑥)(1 + 7𝑒𝑥) 
𝐷(0 + 14𝑒2𝑥 − 2 − 14𝑒2𝑥) = 0 
𝐷(14𝑒2𝑥 − 2 − 14𝑒2𝑥) = 0 
𝑫(−𝟐) = 𝟎 
 
 
2.- 𝒒(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬⁡(𝟐𝒙) 
𝑏 = 2 por lo tanto: 𝐿 = (𝐷2 + 22) 
 
EL OPERADOR ANULADOR ES: 𝑳 = (𝑫𝟐 + 𝟒) 
𝑳(𝒒(𝒙)) = (𝑫𝟐 + 𝟒)(𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)) 
(𝐷)(−2𝑠(2𝑥)) + 4cos⁡(2𝑥)) = 0 
−𝟒𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝟒 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) = 𝟎 
 
 
 
 
3.- 𝒒(𝒙) = 𝟑 + 𝒆𝒙𝐜𝐨𝐬⁡(𝟐𝒙) 
𝒂 = 𝟏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒚⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃 = 𝟐 
𝐿 = 𝐷(𝐷2 − 2𝑎𝐷 + (𝑎2 + 𝑏2)) 
Evaluamos "𝒂 = 𝟏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒚⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃 = 𝟐" 
𝐿 = 𝐷(𝐷2 − 2𝐷 + (12 + 22)) 
EL OPERADOR ANULADOR ES: 𝑳 = 𝑫(𝑫𝟐 − 𝟐𝑫+ 𝟓) 
𝐿(𝑞(𝑥)) = 𝐷(𝐷2 − 2𝑎𝐷 + 5)(3 + 𝑒𝑥 cos(2𝑥)) 
𝐷[(𝐷)(⁡𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 2𝑒𝑥 sen(2𝑥)) − 2(0) − (2)(𝑒𝑥 cos(2𝑥) − (2)2𝑒𝑥 sen(2𝑥)) + 15 + 5𝑒𝑥 cos(2𝑥)] 
𝐷(⁡−3𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 4𝑒𝑥 sen(2𝑥) − 2𝑒𝑥 cos(2𝑥) + 4𝑒𝑥 sen(2𝑥) + 15 + 5𝑒𝑥 cos(2𝑥)) 
Ahora hacemos reagrupación de terminos 
(−5𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 4𝑒𝑥 sen(2𝑥) + 4𝑒𝑥 sen(2𝑥) + 15 + 5𝑒𝑥 cos(2𝑥) = 0 
𝑫(𝟏𝟓) = 𝟎 
 
Resuelva las siguientes EDO´S: 
1. 𝑦´´ − 3𝑦´ = 8𝑒3𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
2. 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − cos⁡(𝑥) 
3. 𝑦´´ + 6𝑦´ + 9𝑦 = −𝑥𝑒4𝑥 
 
𝟏. 𝒚´´ − 𝟑𝒚´ = 𝟖𝒆𝟑𝒙 + 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝒙) 
y′′ − ⁡3y′ = ⁡0 
λ2⁡ − ⁡3λ⁡ = ⁡0⁡ 
λ(λ⁡ − ⁡3) = ⁡0 
λ1 = 0;⁡λ2 = 3 
La solución homogénea es la siguiente; 
 𝒚𝒉⁡ = ⁡𝒄𝟏⁡ + ⁡𝒄𝟐𝒆𝟑𝒙 
 𝐷⁡(𝐷⁡ − ⁡3)(𝑦) ⁡= ⁡8𝑒3𝑥⁡ + ⁡4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
EL OPERADOR ANULADOR ES: 𝑳 = (𝑫 − 𝟑)(𝑫𝟐 + 𝟏) 
𝐷(𝐷⁡ − ⁡3)(𝐷⁡ − ⁡3)(𝐷2⁡ + ⁡1) ⁡
= ⁡ (𝐷⁡ − ⁡3)(𝐷2⁡ + ⁡1)(8𝑒3𝑥⁡ + ⁡4𝑠𝑒𝑛(𝑥)) ⁡= ⁡0⁡𝜆1⁡
= ⁡0, 𝜆2⁡ = ⁡𝜆3⁡ = ⁡3, 𝜆4⁡ = ⁡𝑖, 𝜆5⁡ = ⁡−𝑖 
𝑦ℎ𝑠⁡ = ⁡𝑐1⁡ + ⁡𝑐2𝑒3𝑥⁡ + ⁡𝑐3𝑥𝑒3𝑥⁡ + ⁡𝑐4⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡+ ⁡𝑐5𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑦𝑝⁡ = ⁡𝑐3𝑥𝑒3𝑥⁡ + ⁡𝑐4⁡ + ⁡𝑐5𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑦′𝑝⁡ = ⁡3𝑐3𝑥𝑒3𝑥⁡ + ⁡𝑐3𝑒3𝑥⁡ − ⁡𝑐4𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⁡+ ⁡𝑐5⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝑦′′𝑝⁡ = ⁡9𝑐3𝑥𝑒3𝑥⁡ + ⁡6𝑐3𝑒3𝑥⁡ − ⁡𝑐5𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⁡− ⁡𝑐4⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
Sustituimos en la EDO´S original y así obtenemos: 
𝑦′′ − ⁡3𝑦′ = ⁡8𝑒3𝑥⁡ + ⁡4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
9𝑐3𝑥𝑒3𝑥⁡ + ⁡6𝑐3𝑒3𝑥⁡ − ⁡𝑐5𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⁡− ⁡𝑐4⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡− ⁡3(3𝑐3𝑥𝑒3𝑥⁡ + ⁡𝑐3𝑒3𝑥⁡ − ⁡𝑐4𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⁡+ ⁡𝑐5⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥)) ⁡
= ⁡8𝑒3𝑥⁡ + ⁡4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
Así obtenemos el siguiente sistema de Ecuaciones: 
6𝑐3⁡ − ⁡3𝑐3⁡ = ⁡8 → ⁡𝑐3⁡ =
8
3
 
−𝑐4⁡ − ⁡3𝑐5⁡ = ⁡0⁡ → ⁡𝑐4⁡ = ⁡−3𝑐5⁡ =
6
5
 
−𝑐5⁡ + ⁡3𝑐4⁡ = ⁡4 
𝑃𝑒𝑟𝑜⁡𝑐𝑜𝑚𝑜⁡𝑐4⁡ = ⁡−3𝑐5, 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
−10𝑐5⁡ = ⁡4⁡ → ⁡𝑐5⁡ = −
2
5
 
Entonces se obtiene la solución de la EDO: 
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆
𝟑𝒙 +
𝟖
𝟑
𝒙𝒆𝟑𝒙 +
𝟔
𝟓
𝐜𝐨𝐬(𝒙) −
𝟐
𝟓
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 
 
𝟐. 𝒚´´ + 𝒚 = 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝐜𝐨𝐬⁡(𝒙) 
𝑦′′⁡ + ⁡𝑦⁡ = ⁡𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡− ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝜆2⁡ + ⁡1⁡ = ⁡𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡− ⁡𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥) 
𝜆2⁡ + ⁡1⁡ = ⁡0 
𝜆⁡ = ⁡√−1 
𝑦ℎ⁡ = ⁡𝐶1⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡+ ⁡𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑦ℎ =⁡ (𝐷⁡ + ⁡1)(𝐶1⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) + ⁡𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑥)) ⁡= ⁡0 
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡− ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
(𝐷2⁡ + ⁡1)2(𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡− ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥)) ⁡= ⁡0 
⁡(𝐷⁡ + ⁡1)(𝐷2⁡ + ⁡1)2(𝐶1⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) + ⁡𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑥))
= ⁡ (𝐷2⁡ + ⁡1)2(𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡− ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥))⁡(𝐷2⁡ + ⁡1)3(𝐶1⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) + ⁡𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑥)) ⁡
= ⁡ (𝐷2⁡ + ⁡1)2(𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡− ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 
𝑦⁡ = ⁡𝐶1⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡+ ⁡𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⁡+ ⁡𝐶3𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡+ ⁡𝐶4𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⁡+ ⁡𝐶5𝑥2⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡+ ⁡𝐶6𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑦𝑝⁡ = ⁡𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡+ ⁡𝐵𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⁡+ ⁡𝐶𝑥2⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡+ ⁡𝐸𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
Sustituimos en la EDO original y obtenemos la solución de la EDO: 
𝑦𝑝
´´ + 𝑦𝑝 = 4𝐸𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 4𝐶𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + (2𝐵 + 2𝐶) cos(𝑥) + (−2𝐴 + 2𝐸)𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝒚𝒑
´´ + 𝒚𝒑 = 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝐜𝐨𝐬⁡(𝒙) 
 
 
𝟑. 𝒚´´ + 𝟔𝒚´ + 𝟗𝒚 = −𝒙𝒆𝟒𝒙 
Primero hallamos la ecuación Homogénea: 
𝜆2⁡ + ⁡6𝜆⁡ + ⁡9⁡ = ⁡0⁡ 
(𝜆⁡ + ⁡3)(𝜆⁡ + ⁡3) ⁡= ⁡0 
𝜆1⁡ = ⁡−3⁡; ⁡𝜆2⁡ =⁡−3 
Solución Homogénea: 𝒚𝒉⁡ = ⁡𝑪𝟏𝒆
𝟑𝒙
⁡
+ ⁡𝑪𝟐𝒙𝒆
𝟑𝒙 
Tenemos que encontrar el anulador de: 
𝒒(𝒙) = −𝒙𝒆𝟒𝒙 
𝐿⁡ = ⁡ (𝐷⁡ − ⁡4)2 
 (𝐷⁡ − ⁡4)2(𝑦) ⁡= ⁡−𝑥𝑒4𝑥(𝐷⁡ − ⁡4)2⁡(𝐷⁡ + ⁡3)(𝐷⁡ + ⁡3)(𝐷⁡ − 4)(𝐷 − 4) ⁡= ⁡0 
𝝀𝟏⁡ =⁡−𝟑⁡; ⁡𝝀𝟐⁡ =⁡−𝟑;⁡𝝀𝟑 = 𝟒;⁡𝝀𝟒 = 𝟒 
𝒚𝒔𝒆𝒄 = 𝐶1𝑒
−3𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
−3𝑥 + 𝐶3𝑥𝑒
4𝑥 + 𝐶4𝑒
4𝑥 
𝒚𝒑 = 𝑪𝟑𝒙𝒆𝟒𝒙 + 𝑪𝟒𝒆𝟒𝒙 
𝒚´𝒑 = 𝐶3𝑒4𝑥 + 4𝐶3𝑥𝑒4𝑥 + 4𝐶4𝑒4𝑥 
𝒚´´𝒑 = 8𝐶3𝑒4𝑥 + 16𝐶3𝑥𝑒4𝑥 + 16𝐶4𝑒4𝑥 
8𝐶3𝑒4𝑥 + 16𝐶3𝑥𝑒4𝑥 + 16𝐶4𝑒4𝑥 + (6)(𝐶3𝑒4𝑥) + 4𝐶3𝑥𝑒4𝑥 + 4𝐶4𝑒4𝑥 + (9)(𝑪𝟑𝒙𝒆𝟒𝒙 )+ 𝑪𝟒𝒆𝟒𝒙 = −𝑥𝑒4𝑥 
8𝐶3𝑒4𝑥 + 16𝐶3𝑥𝑒4𝑥 + 16𝐶4𝑒4𝑥+6𝐶3𝑒4𝑥 + 24𝐶3𝑥𝑒4𝑥 + 24𝐶4𝑒4𝑥 + 
9𝑪𝟑𝒙𝒆𝟒𝒙 + 𝟗𝑪𝟒𝒆𝟒𝒙 = −𝑥𝑒4𝑥 
𝟏𝟒𝑪𝟑𝒆𝟒𝒙 + 𝟒𝟗𝑪𝟑𝒙𝒆𝟒𝒙 + 𝟒𝟗𝑪𝟒𝒆𝟒𝒙 = −𝒙𝒆𝟒𝒙 
𝟒𝟗𝒄𝟑 = −𝟏 
𝑪𝟑 = −
𝟏
𝟒𝟗
 
𝟏𝟒𝑪𝟑 + 𝟒𝟗𝑪𝟒 = 𝟎 
Sustituimos valores: 
14 (−
1
49
) + 49𝐶4 = 0 
−
2
7
+ 49𝐶4 = 0 
49𝐶4 =
2
7
 
𝐶4 =
2
7
49
1
 
𝐶4 =
2
343
 
La solución de la EDO es: 
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
−𝟑𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆
−𝟑𝒙 −
𝟏
𝟒𝟗
𝒙𝒆𝟒𝒙 +
𝟐
𝟑𝟒𝟑
𝒆𝟒𝒙 
 
 
 
 
HERNÁNDEZ LEYVA LUIS ALFREDO 
N° LISTA: 17 
3MM6