Estudio-de-sistemas-hamiltonianos-dependientes-del-tiempo

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Universidad Nacional Autónoma
de México
Facultad de Ciencias
ESTUDIO DE SISTEMAS HAMILTONIANOS
DEPENDIENTES DEL TIEMPO
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
FÍSICO
P R E S E N TA:
Hans Cruz Prado
Dr. Octavio Héctor Castaños Garza
México; Distrito Federal - Junio, 2010
 
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Índice general
Índice general 5
Agradecimientos 7
Introducción 9
1. Representaciones en mecánica cuántica 14
1.1. Propiedades de una base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1. Representación de kets y bras . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2. Representación de operadores . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3. Cambio de representación . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Representaciones de posición y momento . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Cambio de la representación {| r⃗ ⟩} a la representación
{| p⃗ ⟩} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3. Operadores de posición y momento . . . . . . . . . . . 23
1.2.4. Relación de incertidumbre generalizada . . . . . . . . 24
1.3. Representación de estados de Fock . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1. Operadores â, ↠y n̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2. Espectro de Ĥ y n̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3. Ortonormalización y relación de cierre . . . . . . . . . 32
1.3.4. Función de onda asociada al estado estacionario . . . 33
1.4. Representación de estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.2. Operador de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.3. Valores esperados y fluctuaciones de posición y momento 41
1.4.4. Función de onda asociada al estado coherente . . . . . 42
3
4 Índice general
2. Evolución temporal de sistemas cuánticos 46
2.1. Operador de Evolución temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2. Clases de operadores de evolución temporal . . . . . . 48
2.2. Esquemas en mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1. Esquema de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.2. Esquema de Interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.3. Evolución temporal de vectores base . . . . . . . . . . 55
2.3. Operadores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1. Operador invariante para Hamiltonianos cuadráticos . 59
2.3.2. Estado coherente generalizado . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.3. Valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3. Prapagador en mecánica cuántica 67
3.1. Propagador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1. Definición, significado y propiedades . . . . . . . . . . 67
3.1.2. Propagador para sistemas estacionarios . . . . . . . . 69
3.1.3. Propagador como eigenfunción de los operadores in-
variantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2. Formulación de Feynman-Dirac de la mecánica cuántica . . . 73
3.2.1. Transformacion canónicas de contacto . . . . . . . . . 73
3.2.2. Lagrangiano en mecánica cuántica . . . . . . . . . . . 75
3.2.3. Cálculo del propagador por método recursivo . . . . . 79
3.2.4. Propagador por integrales Gaussianas . . . . . . . . . 84
4. Hamiltonianos que mantienen mı́nima la relación de incer-
tidumbre 89
4.1. Dinámica de los estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.1. Paquetes de mı́nima dispersión . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.2. Hamiltonianos que mantiene la coherencia de los es-
tados en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.3. Clases de equivalencia entre paquetes de mı́nima dis-
persión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2. Interacción con una fuente externa dependiente del tiempo . . 96
4.2.1. Sistema resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.2. Sistema no-resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3. Análisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1. Sistema resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2. Sistema no-resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Índice general 5
Conclusiones 146
Introducción
La teoŕıa desarrollada en los cursos básicos de mecánica cuántica se re-
stringe, en la mayoŕıa de los casos, a estudiar los estados estacionarios de
los sistemas cuánticos. Sin embargo en casos realistas es de esperarse que
el sistema se encuentre en un estado que es una combinación lineal de los
estados propios del Hamiltoniano del sistema. Adicionalmente el efecto de
fuentes externas o el medio ambiente ocasionan que se deba encontrar una
solución a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y estudiar la
dinámica cuántica.
Encontrar la evolución temporal de un sistema cuántico implica obtener
una descripción completa del problema que se este estudiando. Por lo tanto,
la evolución de un sistema cuántico es de vital importancia y aśı se han
desarrollado múltiples métodos, exactos y aproximados, para encontrar la
solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
El objetivo del trabajo de tesis es aprender a resolver sistemas cuánticos
no estacionarios, esto es aquellos que involucran la ecuación de Schrödinger
dependiente del tiempo. Para ésto, se revisan diferentes métodos con los
cuales se estudia la evolución temporal de sistemas cuánticos tradicionales,
aśı como de sistemas Hamiltonianos dependientes del tiempo. En particu-
lar, se consideran Hamiltonianos dependientes del tiempo que se usan en
el campo de la óptica cuántica, tales como la interacción del campo de ra-
diación electromagnética de un modo con una fuente externa dependiente
del tiempo.
En mecánica cuántica, cualquier sistema f́ısico no estacionario está car-
acterizado por un vector de estado, solución a la ecuación de Schrödinger.
Este estado evoluciona en un espacio de Hilbert definido por la base más
apropiada al sistema f́ısico considerado. Es decir, para estudiar la evolución
temporal de un sistema cuántico es importante conocer las representaciones
de los espacios de Hilbert en la mecánica cuántica.
Se realiza una revisión bibliográfica del formalismo matemático de la
mecánica cuántica. En particular, se estudia la definición de bases para el
9
10 Índice general
espacio de Hilbert y su relación con las diferentes representaciones de la
mecánica cuántica. Con respecto a los operadores que no conmutan se dis-
cute la relación de incertidumbre de Schrödinger-Robertson, la cual incluye
correlaciones.
Entre las representaciones que son estudiadas se encuentran las sigu-
ientes: de posición, de momento, de Fock o de operador de número, y de
estados coherentes. Este último caso es una base de un operador que no es
hermı́tico, sin embargo es bien reconocida su importancia tanto en el estudio
de la óptica cuántica como en la cuantización del campo electromagnético.
Iniciamos el estudio de la evolución de sistemas cuánticos determinando
el operador de evolución temporal de un sistema Hamiltoniano, este oper-
ador permite conocer la evolución en el tiempo de cualquier estado inicialdel sistema f́ısico considerado. La determinación del operador de evolución
temporal depende evidentemente de la forma del Hamiltoniano, aśı se tienen
tres casos generales que son: (i) Hamiltonianos que no dependen del tiempo,
(ii) Hamiltonianos que conmutan al ser evaluados en dos tiempos diferentes
y (iii) Hamiltonianos que no cumplen las propiedades anteriores.
En la mayoŕıa de los casos el cálculo del operador de evolución tempo-
ral no es trivial, pues depende de lo complicado que sea la expresión para
el Hamiltoniano. Aśı este problema puede simplificarse si encontramos una
transformación unitaria para la cual, al ser aplicada a nuestro Hamiltoni-
ano éste toma una expresión más simple y aśı determinar la evolución del
sistema. Lo anterior se conoce como cambio de esquema en la mecánica
cuántica. Los esquemas más utilizados en mecánica cuántica y que son estu-
diados en la tesis son: (i) el esquema de Schrödinger, (ii) de Heisenberg y (iii)
de Interacción (esté último también es conocido como esquema de Dirac).
Es importante señalar que los esquemas están relacionados y por supuesto
el estudio de un sistema cuántico en cualquiera de ellos es equivalente. En
cada uno de los esquemas se puede estudiar la evolución temporal de un sis-
tema cuántico y dependiendo de cuál de ellos es utilizado, la evolución del
sistema se puede expresar en términos de los vectores de estado (esquema
de Schrödinger), de los operadores hermiteanos asociados a las observables
(esquema de Heisenberg) o tanto en vectores de estado como las observables
(esquema de Dirac).
Otra manera de estudiar a Hamiltonianos dependientes del tiempo es
encontrando sus operadores invariantes. Un operador invariante es aquel
que, en el esquema de Heisenberg, es constante en el tiempo mientras que
en el esquema de Schrödinger su valor esperado no cambia en el tiempo. Este
formalismo permite encontrar las soluciones de la ecuación de Schrödinger
de sistemas Hamiltonianos cuadráticos en la posición y el momento. Estos
Índice general 11
incluyen a la part́ıcula libre, el oscilador armónico, y otros de interés en
óptica cuántica. Su importancia puede verse en Hamiltonianos relacionados
con la conversión paramétrica descendente.
La última parte del estudio de Hamiltonianos dependientes del tiem-
po se realiza estudiando los elementos de matriz del operador de evolución
temporal en diferentes representaciones. Estos elementos de matriz están
relacionados con la función de Green que aparece en la solución de ecua-
ciones diferenciales y el concepto de propagador. Por este motivo dedicamos
parte de la tesis en aprender formas diferentes de hallar el propagador de un
sistema cuántico dependiente del tiempo. Este no es un trabajo sencillo, por
esta razón en cursos básicos de mecánica cuántica, por lo general se encuen-
tra el propagador una vez que se tiene el problema completamente resuelto,
es decir, cuando ya se conocen las soluciones a la ecuación de Schrödinger de
estados estacionarios. Adicionalmente, por medio del propagador se puede
establecer una formulación Lagrangiana de la mecánica cuántica, que fue
desarrollada por Dirac y Feynman en los años cuarenta.
El primero en notar la importancia del desarrollo de una teoŕıa cuántica
Lagrangiana fue Dirac, además Dirac fue el primero en demostrar que el
principio de mı́nima acción puede ser deducido bajo el comportamiento del
propagador cuando h → 0, restricción que se conoce como el ĺımite clásico.
Años después Feynman establece la formulación Lagrangiana con la idea de
encontrar la descripción cuántica de cualquier sistema.
Feynman descubrió que el propagador puede considerarse como la suma
de un número infinito de amplitudes de probabilidad, asociadas con las posi-
bles trayectorias que conectan a dos puntos. Aśı encontraremos en la for-
mulación de Feynman-Dirac la forma del propagador para los casos de los
Hamiltonianos cuadráticos en los operadores de posición y momento.
En el trabajo de tesis estudiamos sistemas Hamiltonianos dependientes
del tiempo de interés en el campo de la óptica cuántica, concernientes a la
evolución y generación de estados coherentes. En la década de los años 60
debido a las publicaciones de Glauber y Sudarshan sobre la aplicación de
los estados coherentes en la cuantización de la radiación electromagnética,
aparecieron multiples publicaciones sobre las propiedades y aplicaciones de
los estados coherentes. Aśı el estudio de la dependencia temporal del oper-
ador de aniquilación en un sistema de osciladores armónicos y sus eigenvec-
tores bajo la presencia de una interacción se convirtió en un problema de
interés.
Usamos los métodos y conceptos aprendidos en este trabajo de tesis,
para estudiar la evolución de los estados coherentes y los estados de Fock en
diferentes sistemas f́ısicos. Se muestra primero que los estados coherentes son
12 Índice general
paquetes de mı́nima dispersión. Se determina la forma de los Hamiltonianos
que evolucionan estados coherentes en estados coherentes. Estos Hamiltoni-
anos están constituidos por el operador de número y términos lineales en los
operadores de creación y aniquilación, es decir, describen la interacción de
un oscilador armónico en presencia de una interacción externa.
Posteriormente se establecen las clases de equivalencia entre Hamilto-
nianos que mantienen mı́nima la relación de incertidumbre de Heisenberg,
es decir, se demuestra que existe una equivalencia unitaria entre todos los
paquetes de mı́nima dispersión con los estados coherentes. Resultado que es
muy importante pues permite encontrar algunas soluciones exactas a Hamil-
tonianos tales como los asociados a problemas de conversión paramétrica.
Para concluir el trabajo de tesis, encontramos la solución a la ecuación
de Schrödinger dependiente del tiempo para el problema de la interacción
del campo electromagnético con una fuente externa dependiente del tiempo.
Para esto primero se deduce el Hamiltoniano que describe la interacción
entre un átomo libre con una fuente de radiación libre, donde se considera
que la radiación está cuantizada. Además por simplicidad consideramos que
el átomo tiene solo dos estados atómicos posibles y el campo de radiación
es unimodal.
Aśı, encontramos tres sistemas de interés para el estudio de esta clase de
Hamiltonianos: (i) Interacción de un átomo con el campo de radiación elec-
tromagnética, (ii) Interacción de un átomo con una fuente de radiación semi-
clásica y (iii) Interacción de la radiación electromagnética con una fuente de
“materia”semi-clásica.
En la tesis consideramos el sistema de la interacción de la radiación
electromagnética con una fuente de materia semi-clásica dependiente del
tiempo. Este sistema está descrito por el Hamiltoniano:
Ĥ = h̄ωâ†â− λh̄(âeiωat + â†e−iωat).
Para encontrar la solución a la ecuación de Schrödinger se utiliza el esquema
de Interacción, que permite obtener el operador de evolución temporal del
sistema, cuando tenemos ωa = ω, caso que llamamos sistema resonante.
Mientra que para el sistema no-resonante, esto es ωa ̸= ω, el operador de
evolución temporal se expresa por una serie infinita obtenida por medio de
la serie de Dayson.
Para el sistema en resonancia, estudiamos la evolución de estados de Fock
y coherentes. Encontrando sus expresiones en la representación de posición
y las propiedades estad́ısticas, como son los valores esperados de las coor-
denadas y momentos canónicamente conjugados, del operador de número y
sus correspondientes fluctuaciones.
Índice general 13
En el sistema no-resonante debido a que el operador de evolución tem-
poral no tiene una expresión anaĺıtica, es preferible usar el método de oper-
adores invariantes lineales dependientes del tiempo para resolver la ecuación
de Schrödinger dependiente del tiempo. Aśı encontramos los vectores de es-
tado que son solución en la representaciónde posición. Para encontrar las
propiedades estad́ısticas del las observables de posición, momento, aśı co-
mo del operador de número, utilizamos el esquema de Heisenberg. Aśı, ya
conocidas las soluciones a las ecuaciones correspondientes podemos realizar
el estudio de la dinámica del sistema.
En el trabajo se caracterizan las trayectoŕıas en el espacio fase del sistema
de acuerdo a la razón de las frecuencias ωaω y del parámetro λ. En el caso del
sistema resonante las trayectoŕıas en el espacio fase, tanto para los estados
de Fock como para estados coherentes está dado por una espiral que crece
linealmente en el tiempo, mientras que el valor esparado del número de
fotones crece cuadráticamente con el tiempo.
Por otra parte para el sistema no-resonante el comportamiento de las
trayectoŕıas del espacio fase del problema depende de los valores que toma
ωa y ω. Para caracterizar las posibles trayectoŕıas en el espacio fase del
sistema, notamos que el problema; se reduce al problema geométrico de
encontrar la trayectoŕıa de un punto p sujeto sobre un ćırculo de radio b que
rueda uniformemente sin deslizarse a lo largo de otro ćırculo fijo cuyo centro
se encuentra en el origen y su radio es a, donde la distancia entre el punto
p y el centro del ćırculo rotante está dado por d.
Las curvas paramétricas solución al problema antes planteado son: (i)
Epitrocoides acortadas, cuando d < b, (ii) Epicicloides, cuando d = b y (iii)
Epitrocoides alargadas, cuando d > b, donde para los tres casos las curvas
serán periódicas solo si la razón de radios ab es racional. Adicionalmente para
el sistema resonante se obtiene que tanto los estados de Fock como los estados
coherentes el valor esperado del número de fotones oscila periodicamente.
Finalmente, en las conclusiones se hace un breve resumen de lo apren-
dido y se discuten los principales resultados obtenidos en el problema de la
interacción del campo electromagnético con un campo externo dependiente
del tiempo. Para terminar se mencionan posibles sistemas óptico cuánti-
cos de interés que pueden resolverse utilizando las diferentes formulaciones
ó métodos revisados en este trabajo.
Caṕıtulo 1
Representaciones en
mecánica cuántica
..Por eso yo hable en un poema -el antiguo alimento de los héroes- la hu-
millación, la desdicha, la discordia, todo eso nos ha sido dado para que lo
transmutemos, para que hagamos de las miserables circunstancias de nuestra
vida, cosas eternas que quieren ser eternas.
Jorge Luis Borges
Elegir una representación significa escoger una base ortonormal, ya sea disc-
reta o continua, en un espacio de estados Υ. Vectores y operadores son
entonces representados en la base por números: en componentes de vectores
y elementos de matriz para los operadores. La elección de la representación
depende del problema en particular que se desee estudiar; y generalmente la
representación apropiada se elige para que los cálculos sean más simples [1].
1.1. Propiedades de una base ortonormal
Un conjunto de kets, discreto {|ui⟩} o continuo {|wα⟩}, se dice que es
ortonormal si los kets de este conjunto satisfacen las relaciones de ortonor-
malización:
⟨ui|uj⟩ = δij , (1.1)
ó
⟨wα|wα′⟩ = δ(α− α′). (1.2)
14
1.1. Propiedades de una base ortonormal 15
Un conjunto discreto, {|ui⟩}, o uno continuo, {|wα⟩}, constituyen una base
si cada ket {|ψ⟩} que pertenece a Υ, un desarrollo único en |ui⟩ o en |wα⟩
|ψ⟩ =
∑
i
ci|ui⟩, (1.3)
|ψ⟩ =
∫
dα c(α)|wα⟩, (1.4)
donde las componentes cj y c(α
′) están dadas por:
cj = ⟨uj |ψ⟩,
c(α′) = ⟨wα′ |ψ⟩.
Substituyendo el valor de las componentes en las ecuaciones (1.3) y (1.4)
|ψ⟩ =
∑
i
⟨ui|ψ⟩|ui⟩ =
(∑
i
|ui⟩⟨uj |
)
|ψ⟩,
|ψ⟩ =
∫
dα ⟨wα′ |ψ⟩|wα⟩ =
(∫
dα |wα⟩⟨wα′ |
)
|ψ⟩,
se concluye que ∑
i
|ui⟩⟨uj | = Î , (1.5)∫
dα |wα⟩⟨wα′ | = Î , (1.6)
donde Î denota el operador identidad en Υ. Las relaciones (1.5) y (1.6)
son llamadas relaciones de cierre. Se puede demostrar fácilmente, que si
se cumple la relación de cierre, entonces cualquier vector de estado |ψ⟩,
contenido en Υ, tiene un desarrollo único en |uj⟩ o en |wα⟩.
1.1.1. Representación de kets y bras
En la base {|ui⟩}, del espacio de estados, el ket |ψ⟩, está representado por
un conjunto de números ci = ⟨ui|ψ⟩. Estos números son arreglados en forma
de una matriz con una columna (y en general con una infinidad numerable
de renglones). 
⟨u1|ψ⟩
⟨u2|ψ⟩
...
⟨ui|ψ⟩
...
 . (1.7)
16 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
En una base continua {|wα⟩}, el ket |ψ⟩ está representado por una infinidad
de números continuos c(α) = ⟨wα|ψ⟩, que son funciones de α. Aśı es posible
tener el arreglo de matriz de una sola columna en la cual cada renglón tiene
un diferente valor de α, donde cada uno de estos valores corresponde a un
número ⟨wα|ψ⟩.
Ahora consideremos a ⟨φ| un bra arbitrario. En la base {|ui⟩}, se puede
escribir como:
⟨φ| =
∑
i
⟨φ|ui⟩⟨ui|,
es decir, escribimos a ⟨φ| en su desarrollo único de bras ⟨ui|. Las componentes
de ⟨φ|, ⟨φ|ui⟩, son el complejo conjugado de la componente bi = ⟨ui|φ⟩ de
el ket |φ⟩ asociado con ⟨φ|.
De la misma manera, para una base continua {|wα⟩}, tenemos que
⟨φ| =
∫
dα⟨φ|wα⟩⟨wα|,
donde nuevamente la componente de ⟨φ|, ⟨φ|wα⟩, es el complejo conjugado
de la componente b(α) = ⟨wα|φ⟩ del ket |φ⟩ asociado con ⟨φ|. Aśı las com-
ponentes de ⟨φ|ui⟩ del bra ⟨φ| se pueden representar en forma de un matriz
renglón (teniendo un renglón y una infinidad de columnas):
(⟨φ|u1⟩, ⟨φ|u2⟩, . . . , ⟨φ|ui⟩, . . .). (1.8)
Usando estas convenciones, entonces ⟨φ|ϕ⟩, es la matriz producto de una
matriz columna representada por |ϕ⟩ y una matriz renglón representada por
⟨φ|, cuyo resultado es un número.
En la base {|wα⟩}, ⟨φ| tiene una infinidad de componentes continuas ⟨φ|wα⟩,
donde los diferentes valores de α son colocados de forma horizontal, y cada
uno de estos valores corresponden a la componente ⟨φ|wα⟩ de ⟨φ|.
1.1.2. Representación de operadores
Dado un operador lineal Â, podemos, ya sea en la base discreta {|ui⟩} o
en la base continua {|wα⟩}, asociarle una serie de números definidos por:
Aij = ⟨ui|Â|uj⟩, (1.9)
A(α, α′) = ⟨wα|Â|wα′⟩. (1.10)
1.1. Propiedades de una base ortonormal 17
Estos números dependen de dos ı́ndices, por tanto pueden ser arreglados en
forma de matriz cuadrada teniendo un número numerable o continuo infinito
de renglones y columnas según sea el caso. Usando la convención usual, el
primer ı́ndice indica los renglones y el segundo las columnas, entonces en la
base {|ui⟩} el operador  está representado por la matriz:
A11 A12 · · · A1j · · ·
A21 A22 · · · A2j · · ·
...
...
...
Ai1 Ai2 · · · Aij · · ·
...
...
...
 (1.11)
De manera análoga, para la base continua se tendrá una matriz con canti-
dad no numerable de columnas y renglones. Una manera de visualizar esto
es pensar a la matriz como un plano cartesiano, en la cual cada punto cor-
responderá a un elemento de la matriz.
Ahora usando la relación de cierre, calculamos la matriz asociada al
operador ÂB̂, en la base {|ui⟩}, entonces:
⟨ui|ÂB̂|uj⟩ =
∑
k
⟨ui|Â|uk⟩⟨uk|B̂|uj⟩ =
∑
k
AikBkj , (1.12)
por lo tanto la matriz que representa al operador ÂB̂, es el producto de las
matrices asociadas con  y B̂.
Ya conocida las componentes del ket |ψ⟩ y los elementos de matriz de Â
en una representación dada, entonces deseamos conocer en la misma repre-
sentación al ket |ψ′⟩ = Â|ψ⟩. Si en la base {|ui⟩} la componente c′i de |ψ′⟩
está dado por:
c′i = ⟨ui|Â|ψ⟩,
usando la relación de cerradura
c′i =
∑
j
⟨ui|Â|uj⟩⟨uj |ψ⟩ =
∑
j
Aijcj ,
de la misma manera en la base {|wα⟩}, tenemos que:
c′(α) = ⟨wα|Â|ψ⟩,
por la relación de cierre obtenemos:
c′(α) =
∫
dα′⟨wα|Â|wα′⟩⟨wα′ |ψ⟩ =
∫
dα′A(α, α′)c(α′),
18 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
de donde podemos concluir que la expresión del ket |ψ′⟩ es el producto de
la matriz asociada al operador  por la matriz del ket |ψ⟩, es decir:
c′1
c′2
...
c′i...
 =

A11 A12 · · · A1j · · ·
A21 A22 · · · A2j · · ·
...
...
...
Ai1 Ai2 · · · Aij · · ·
...
...
...


c1
c2
...
cj
...
 . (1.13)
Ahora calcularemos el número ⟨φ|Â|ψ⟩:
para la base {|ui⟩}
⟨φ|Â|ψ⟩ =
∑
i,j
⟨φ|ui⟩⟨ui|Â|uj⟩⟨uj |ψ⟩ =
∑
i,j
b∗iAijcj ,
y para la base {|wα⟩}
⟨φ|Â|ψ⟩ =
∫ ∫
dαdα′⟨φ|wα⟩⟨wα|Â|wα′⟩⟨wα′ |ψ⟩ =
∫ ∫
dαdα′b∗(α)A(α, α′)c(α′).
De aqúı podemos notar que el número ⟨φ|Â|ψ⟩, es el producto de tres ma-
trices; esto es:
⟨φ|Â|ψ⟩ = (b∗1, b∗2, . . . , b∗i , . . .)

A11 A12 · · · A1j · · ·
A21 A22 · · · A2j · · ·
...
...
...
Ai1 Ai2 · · · Aij · · ·
...
...
...


c1
c2
...
cj
...
 .
(1.14)
Finalmente calculamos la representación matricial del operador adjunto †
de Â. Para esto usamos que
⟨φ|†|ψ⟩ = ⟨ψ|Â|φ⟩∗,
por tanto
(A†)ij = ⟨ui|†|uj⟩ = ⟨uj |Â|ui⟩∗ = A∗ji, (1.15)
ó
A†(α, α′) = ⟨wα|†|wα′⟩ = ⟨wα′ |Â|wα⟩∗ = A∗(α′, α). (1.16)
1.1. Propiedades de una base ortonormal 19
Aśı las representaciones matriciales de  y † constituye uno el hermitico
conjugado del otro, en sentido matricial uno es el transpuesto conjugado del
otro. Ahora si  es un operador hermitico entonces:
Aij = A
∗
ji,
A(α, α′) = A∗(α′, α),
un operador hermitico está representado por una matriz hermı́tica, esto
es, para dos cualesquiera elementos simétricos con respecto a la diagonal
principal son complejos conjugados uno del otro. En particular, para i = j
o α = α′, entonces
Aii = A
∗
ii,
A(α, α) = A∗(α, α).
Los elementos de la diagonal de una matriz hermı́tica son por lo tanto siem-
pre números reales.
1.1.3. Cambio de representación
En una representación dada, un ket (o bra, u operador) es representado
por una matriz. Si cambiamos de representación, esto es, cambiamos de
base, entonces la matriz de nuestro ket (o bra, u operador) tendrá una forma
distinta.
Si consideremos dos bases ortonormales discretas {|ui⟩} y {|vk⟩}. Aśı, el
cambio de base está definido por la especificación de las componentes ⟨ui|vk⟩,
de cada unos de las kets de la nueva base en términos de cada uno de los
kets de la vieja base, entonces tenemos que
Sik = ⟨ui|vk⟩, (1.17)
constituye la matriz de cambio de base (o la matriz de transformación).
Si se quiere mantener invariante el producto escalar la matriz Ŝ es una
transformación unitaria, es decir
Ŝ†Ŝ = ŜŜ† = Î (1.18)
Aśı que para obtener las componentes ⟨vk|ψ⟩ de un ket |ψ⟩, de una nueva
base a partir de las componentes ⟨ui|ψ⟩ en la vieja base, sólo necesitamos
usar la relación de cierre
⟨vk|ψ⟩ =
∑
i
⟨vk|ui⟩⟨ui|ψ⟩ =
∑
i
S†ki⟨ui|ψ⟩. (1.19)
20 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
La expresión inversa pude derivarse de la misma manera
⟨ui|ψ⟩ =
∑
k
⟨ui|vk⟩⟨vk|ψ⟩ =
∑
k
Sik⟨vk|ψ⟩ (1.20)
Ahora también podemos encontrar la transformación de cambio de base
de los operadores; para esto usamos que los elementos de matriz del operador
Â, en la base {|vk⟩}, están dados por
Avkl =
∑
i,j
S†kiA
u
ijSjl, (1.21)
mientras en la base {|ui⟩} tenemos
Auij =
∑
k,l
SikA
v
klS
†
lj . (1.22)
1.2. Representaciones de posición y momento
En esta parte se podrá ejemplificar las propiedades de las representa-
ciones antes mencionadas por medio de las dos representaciones más impor-
tantes de la mecánica cuántica. Estas son la representación de posición y la
representación de momento, que como podremos observar se trata de dos
representaciones continuas que proporcionan información sobre la dinámica
y cinemática de problemas cuánticos.
1.2.1. Definición.
Consideremos las bases {ξr⃗0(r⃗)} y {υp⃗0(r⃗)}, del espacio de función de
ondas que designamos por F , cuyos elementos están definidos por:
ξr⃗0(r⃗) = δ(r⃗ − r⃗0), (1.23)
υp⃗0(r⃗) = (2πh̄)
−3/2e
i
h̄
p⃗0·r⃗. (1.24)
Aśı el ket asociado a ξr⃗0(r⃗) será denotado por |r⃗0⟩, mientras que el ket
asociado a υp⃗0(r⃗) será |p⃗0⟩. Usando las bases {ξr⃗0(r⃗)} y {υp⃗0(r⃗)} de F , pode-
mos definir a las representaciones {|r⃗0⟩} y {|p⃗0⟩}, donde el vector base de la
primera representación está caracterizada por tres ı́ndices continuos x, y y z,
los cuales son las coordenadas de un punto en el espacio de tres dimensiones;
para el segundo, las tres componentes px, py y pz son también componentes
1.2. Representaciones de posición y momento 21
de un vector ordinario.
Si calculamos ⟨r⃗0|r⃗ ′0⟩ obtenemos
⟨r⃗0|r⃗ ′0⟩ =
∫
d3rξ∗r⃗0(r⃗)ξr⃗ ′0(r⃗) = δ(r⃗0 − r⃗
′
0), (1.25)
donde se uso la definición de producto escalar. De la misma manera:
⟨p⃗0|p⃗ ′0⟩ =
∫
d3rυ∗p⃗0(r⃗)υp⃗ ′0(r⃗) = δ(p⃗0 − p⃗
′
0), (1.26)
por lo tanto las bases elegidas son ortonormales. Además, puesto que |r⃗0⟩ y
|p⃗0⟩ son una base, entonces cumple la relación de cierre:∫
d3r0|r⃗0⟩⟨r⃗0| = Î (1.27)
∫
d3p0|p⃗0⟩⟨p⃗0| = Î (1.28)
Si consideramos un ket arbitrario |ψ⟩, correspondiente a la función de
onda ψ(r⃗), utilizando las relaciones de cierre se tiene
|ψ⟩ =
∫
d3r0|r⃗0⟩⟨r⃗0|ψ⟩,
ó de la forma
|ψ⟩ =
∫
d3p0|p⃗0⟩⟨p⃗0|ψ⟩,
donde los coeficientes ⟨r⃗0|ψ⟩ y ⟨p⃗0|ψ⟩ se pueden calcular usando las fórmulas:
⟨r⃗0|ψ⟩ =
∫
d3rξ∗r⃗0(r⃗)ψ(r⃗)
⟨p⃗0|ψ⟩ =
∫
d3rυ∗p⃗0(r⃗)ψ(r⃗)
con lo cual encontramos que
⟨r⃗0|ψ⟩ = ψ(r⃗0)
⟨p⃗0|ψ⟩ = ψ(p⃗0)
con ψ(p⃗0) la transformada de Fourier de ψ(r⃗0).
22 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
El valor ψ(r⃗0) de la función de onda en el punto r⃗0, se interpreta como
las componentes del ket |ψ⟩ en el vector base |r⃗0⟩ de la representación de
posición. La función de onda en el espacio de momentos puede ser interpre-
tada de la misma forma.
Ya con esto podemos definir a la función de onda ψ(r⃗) y a su transfor-
mada de Fourier ψ(p⃗), para r⃗ y p⃗ arbitrarios, como:
⟨r⃗|ψ⟩ = ψ(r⃗)
⟨p⃗|ψ⟩ = ψ(p⃗)
donde los kets |r⃗⟩ y |p⃗⟩, siguen cumpliendo las relaciones (1.25) y (1.27) o
(1.26) y (1.28) respectivamente.
Finalmente si tomamos los kets |ψ⟩ y |φ⟩, el producto escalar de estos
kets en términos de las bases |r⃗⟩ y |p⃗⟩ se expresan como:
⟨φ|ψ⟩ =
∫
d3r⟨φ|r⃗⟩⟨r⃗|ψ⟩ =
∫
d3rφ∗(r⃗)ψ(r⃗),
ó
⟨φ|ψ⟩ =
∫
d3p⟨φ|p⃗⟩⟨p⃗|ψ⟩ =
∫
d3rφ∗(p⃗)ψ(p⃗).
1.2.2. Cambio de la representación {| r⃗ ⟩} a la representación
{| p⃗ ⟩}
Un ket dado |ψ⟩ es representado por ⟨r⃗|ψ⟩ = ψ(r⃗), en la representación
{|r⃗⟩} y por ⟨p⃗|ψ⟩ = ψ(p⃗) en la representación {|p⃗⟩}, como sabemos ψ(r⃗) y
ψ(p⃗), están relacionados por una transformada de Fourier, pues:
⟨r⃗|ψ⟩ =
∫
d3p⟨r⃗|p⃗⟩⟨p⃗|ψ⟩
pero
⟨r⃗|p⃗⟩ = ⟨p⃗|r⃗⟩∗ = (2πh̄)−3/2e
i
h̄
p⃗·r⃗
entonces
ψ(r⃗) = (2πh̄)−3/2
∫
d3p e
i
h̄
p⃗·r⃗ψ(p⃗)
de forma análoga llegamos a que
ψ(p⃗) = (2πh̄)−3/2
∫
d3r e−
i
h̄
p⃗·r⃗ψ(r⃗)
1.2. Representaciones de posición y momento 23
Aśı fácilmente podemos pasar de los elementos de matriz ⟨r⃗ ′|Â|r⃗⟩ =
A(r⃗ ′, r⃗) de un operador  en la representación {|r⃗⟩} a los elementos de
matriz ⟨p⃗ ′|Â|p⃗⟩ = A(p⃗ ′, p⃗) del mismo operador en la representación {|p⃗⟩}:
A(p⃗ ′, p⃗) = (2πh̄)−3
∫
d3r
∫
d3r ′e
i
h̄
(p⃗·r⃗−p⃗ ′·r⃗ ′)A(r⃗ ′, r⃗).
De la misma forma podemos obtener
A(r⃗ ′, r⃗) = (2πh̄)−3
∫
d3p
∫
d3p ′e
i
h̄
(p⃗·r⃗−p⃗ ′·r⃗ ′)A(p⃗ ′, p⃗)
1.2.3. Operadores de posición y momento
Sea |ψ⟩ un ket arbitrario, tal que su correspondiente función de onda
está dada por ⟨r⃗|ψ⟩ = ψ(r⃗) = ψ(x, y, z). Ahora consideremos al ket
|ψ′⟩ = X̂|ψ⟩,
donde X̂ es un operador, tal que en la representación {|r⃗⟩} coincide con el
operador que multiplica por x a la función de onda; entonces
⟨r⃗|ψ′⟩ = ψ′(x, y, z) = xψ(x, y, z).
Estamos caracterizando al operador X̂ por la manera en la cual transforma a
la función de onda, es decir, tenemos a un operador el cual actúa en el espacio
de estados de posición, que designamos por Γr⃗. Aśı podemos introducir a los
operadores Ŷ y Ẑ, de manera análoga. De esta manera los operadores X̂, Ŷ
y Ẑ quedan definidos por las relaciones:
⟨r⃗|X̂|ψ⟩ = x⟨r⃗|ψ⟩,
⟨r⃗|Ŷ |ψ⟩ = y⟨r⃗|ψ⟩,
⟨r⃗|Ẑ|ψ⟩ = z⟨r⃗|ψ⟩,
donde x y y z son los tres ı́ndices de los cuales depende el ket |r⃗⟩. Además
los operadores X̂, Ŷ y Ẑ pueden ser considerados como las componentes del
vector operadorR̂. Con lo anterior podemos calcular los elementos de matriz
⟨φ|X̂|ψ⟩, simplemente haciendo uso de la relación de cierre, entonces;
⟨φ|X̂|ψ⟩ =
∫
d3r⟨φ|r⃗⟩⟨r⃗|X̂|ψ⟩ =
∫
d3rφ∗(r⃗)xψ(r⃗).
De forma similar podemos definir al vector operador P̂ con componentes
P̂x, P̂y, P̂z, los cuales actuar, en la representación {|p⃗⟩}, se obtiene
24 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
⟨p⃗|P̂x|ψ⟩ = px⟨p⃗|ψ⟩,
⟨p⃗|P̂y|ψ⟩ = py⟨p⃗|ψ⟩,
⟨p⃗|P̂z|ψ⟩ = pz⟨p⃗|ψ⟩,
donde px, py, pz, son los tres indices que aparecen en el ket |p⃗⟩.
Ahora nos interesa ver cómo el operador P̂ actúa en la representation
{|r⃗⟩}. Para esto calculamos el elemento de matriz
⟨r⃗|P̂x|ψ⟩ =
∫
d3p ⟨r⃗|p⃗⟩⟨p⃗|P̂x|ψ⟩ = (2πh̄)−3/2
∫
d3p eip⃗·r⃗/h̄pxψ(p⃗)
podemos demostrar que la transformada de Fourier de pxψ(p⃗) es −ih̄ ∂∂xψ(r⃗),
por lo tanto:
⟨r⃗|P̂ |ψ⟩ = −ih̄∇⃗⟨r⃗|ψ⟩.
Aśı en la representación de posición el operador P̂ coincide con el operador
diferencial −ih̄∇⃗ aplicado a la función de onda. Entonces los elementos de
matriz toman la forma
⟨φ|P̂ |ψ⟩ =
∫
d3r ⟨φ|r⃗⟩⟨r⃗|P̂x|ψ⟩ =
∫
d3r φ∗(r⃗)
[
−ih̄ ∂
∂x
]
ψ(r⃗)
Además podemos encontrar que la relaciones de conmutación entre las com-
ponentes de los operadores R̂ y P̂ , están dadas por:[
R̂k, R̂l
]
= 0[
P̂k, P̂l
]
= 0[
R̂k, P̂l
]
= ih̄δkl
k, l = 1, 2, 3 (1.29)
las cuales se conocen como las relaciones canónicas de conmutación.
1.2.4. Relación de incertidumbre generalizada
En esta introducción a las representaciones de la mecánica cuántica debe-
mos hacer enfasis en las relaciones de incertidumbre entre las observables.
Para esto primero demostramos la desigualdad de Schwarz.
Teorema 1. (Desigualdad de Schwarz)Sean |φ1⟩ y |φ2⟩ son dos vectores
arbitrarios, entonces:
|⟨φ1|φ2⟩|2 ≤ ⟨φ1|φ1⟩⟨φ2|φ2⟩ (1.30)
donde la igualdad se realiza si y sólo si |φ1⟩ y |φ2⟩ son proporcionales.
1.2. Representaciones de posición y momento 25
Demostración:
Dados |φ1⟩ y |φ2⟩, consideramos al ket |ψ⟩ definido por:
|ψ⟩ = |φ1⟩+ λ|φ2⟩,
con λ un parámetro arbitrario. Entonces:
⟨ψ|ψ⟩ = ⟨φ1|φ1⟩+ λ⟨φ1|φ2⟩+ λ∗⟨φ2|φ1⟩+ λλ∗⟨φ2|φ2⟩ ≥ 0.
Si elegimos a λ como:
λ = −⟨φ2|φ1⟩
⟨φ2|φ2⟩
la expresión anterior es equivalente a
⟨φ1|φ1⟩ −
⟨φ1|φ2⟩⟨φ2|φ1⟩
⟨φ2|φ2⟩
≥ 0.
Multiplicando toda la desigualdad por ⟨φ2|φ2⟩, lo cual no modifica la ecuación
pues ⟨φ2|φ2⟩ > 0, por lo tanto llegamos a que:
⟨φ1|φ1⟩⟨φ2|φ2⟩ ≥ ⟨φ1|φ2⟩⟨φ2|φ1⟩
donde se concluye de inmediato (1.30).2
Es importante notar que para tener la igualdad |⟨φ1|φ2⟩|2 = ⟨φ1|φ1⟩⟨φ2|φ2⟩
ocurre si y sólo si ⟨ψ|ψ⟩ = 0, lo cual implica que |ψ⟩ = 0, por lo tanto es
claro que |φ1⟩ = −λ|φ2⟩, es decir, los kets |φ1⟩ y |φ2⟩ son entonces propor-
cionales. Ahora con ayuda de la desigualdad de Schwarz podemos demostrar
el siguiente teorema.
Teorema 2. (Relación de incertidumbre generalizada) Sean  y B̂ dos op-
eradores auto-adjuntos del espacio de Hilbert H, entonces
(∆Â)2(∆B̂)2 − (∆ÂB̂)2 ≥ 1
4
⟨
[Â, B̂]
⟩
(1.31)
donde
∆ÂB̂ =
1
2
⟨{Â, B̂}⟩ − ⟨Â⟩⟨B̂⟩
con {Â, B̂} = ÂB̂ + B̂ y (∆Â)2 = ⟨A⟩2 − ⟨A2⟩.
26 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
Demostración:
Substituyendo en la desigualdad de Schwarz los vectores
|φ1⟩ = (Â− ⟨Â⟩)|ψ⟩,
|φ2⟩ = (B̂ − ⟨B̂⟩)|ψ⟩,
obtenemos que
|⟨ψ|(Â− ⟨Â⟩)(B̂ − ⟨B̂⟩)|ψ⟩|2 ≤ (∆Â)2(∆B̂)2.
Por otra parte
(Â− ⟨Â⟩)(B̂ − ⟨B̂⟩) = 1
2
[Â, B̂] +
1
2
{Â− ⟨Â⟩, B̂ − ⟨B̂⟩},
y por lo tanto
⟨ψ|(Â− ⟨Â⟩)(B̂ − ⟨B̂⟩)|ψ⟩ = 1
2
⟨[Â, B̂]⟩+ 1
2
⟨{Â, B̂}⟩ − ⟨Â⟩⟨B̂⟩.
si ∆ÂB̂ ≡ 12⟨{Â, B̂}⟩−⟨Â⟩⟨B̂⟩ entonces la desigualdad de Schwarz se expresa
de la forma siguiente∣∣∣∣12⟨[Â, B̂]⟩+∆ÂB̂
∣∣∣∣2 ≤ (∆Â)2(∆B̂)2.
Finalmente como 14
∣∣∣⟨[Â, B̂]⟩∣∣∣2 + (∆ÂB̂)2 ≤ ∣∣∣12⟨[Â, B̂]⟩+∆ÂB̂∣∣∣2 obtenemos
(∆Â)2(∆B̂)2 ≥ 1
4
∣∣∣⟨[Â, B̂]⟩∣∣∣2 + (∆ÂB̂)2,
de donde es inmediato que
(∆Â)2(∆B̂)2 − (∆ÂB̂)2 ≥ 1
4
∣∣∣⟨[Â, B̂]⟩∣∣∣2 .2
Ahora la relación de incertidumbre más débil que se presenta comunmente
en los cursos de mecánica cuántica
(∆Â)2(∆B̂)2 ≥ 1
4
∣∣∣⟨[Â, B̂]⟩∣∣∣2
es un corolario del teorema 2. Para encontrar una interpretación f́ısica del
término ∆ÂB̂, consideremos el caso para el cual ∆ÂB̂ = 0, entonces esto
pasa si y sólo si
1
2
⟨{Â, B̂}⟩ = ⟨Â⟩⟨B̂⟩.
1.3. Representación de estados de Fock 27
Podemos concluir que las observables en cuestión son independientes entre
ellas, es decir, no están correlacionadas.
Por último si reescribimos la relación de incertidumbre (1.31) para los
operadores de posición y momento X̂ y P̂
(∆X̂)2(∆P̂ )2 − (∆X̂P̂ )2 ≥ h̄
2
4
, (1.32)
relación conocida como la desigualdad de Robertson-Schrödinger [5]
1.3. Representación de estados de Fock
Consideremos las funciones de onda {φn(r)}, con n un parámetro discre-
to, que constituye una base para F , donde ahora F es el espacio de funciones
de onda solución al problema de una part́ıcula en una dimensión bajo un
potencial de oscilador armónico, cuyo hamiltoniano está dado por:
Ĥ =
p̂2
2m
+
1
2
mω2x̂2 (1.33)
donde m es la masa y ω la frecuencia. Entonces los elementos de la base de
funciones de onda se expresan como:
φn(x) =
(
β2
π
) 1
4 1√
2nn!
e−β
2x2/2Hn(βx), (1.34)
donde β =
√
mω
h̄ y Hn(x) son los polinomios de Hermite los cuales están
definidos por la relación:
Hn(x) = (−1)nex
2 dn
dxn
(e−x
2
).
Ahora si al ket asociado a la función φn(r) lo designamos por |n⟩, entonces
podemos definir una nueva representación cuya base está dada por los vec-
tores de estado {|n⟩}, también conocidos como estados de Fock.
1.3.1. Operadores â, ↠y n̂
Si aplicamos el cambio de variable al hamiltoniano (1.33)
X̂ =
√
mω
h̄
x̂,
28 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
P̂ =
1√
mh̄ω
p̂,
es decir, utilizamos variables adimensionales, entonces (1.33) queda expre-
sado como:
Ĥ =
h̄ω
2
(
P̂ 2 + X̂2
)
. (1.35)
Definimos a los operadores:
â =
1√
2
(
X̂ + iP̂
)
, (1.36)
↠=
1√
2
(
X̂ − iP̂
)
, (1.37)
de donde inmediatamente podemos encontrar que:
X̂ =
1√
2
(
↠+ â
)
, (1.38)
P̂ =
i√
2
(
↠− â
)
. (1.39)
Es fácil mostrar que â y â†, cumplen la relación de conmutación:[
â, â†
]
= 1. (1.40)
Definamos al operador de número n̂, por:
n̂ = â†â, (1.41)
entonces:
n̂ =
1
2
(
X̂ + iP̂
)(
X̂ + iP̂
)
=
1
2
(
X̂2 + P̂ 2 − 1
)
.
Es importante notar que el operador de número es hermı́tico. Comparando
la expresión anterior y el Hamiltoniano (1.35), notamos que:
Ĥ = h̄ω
(
n̂+
1
2
)
, (1.42)
donde podemos concluir que Ĥ y n̂ comparten eigenvectores. Los conmuta-
dores entre n̂ con â y â†, son:
[n̂, â] = −â, (1.43)[
n̂, â†
]
= â†. (1.44)
1.3. Representación de estados de Fock 29
1.3.2. Espectro de Ĥ y n̂
Supongamos que |n⟩ es un eigenestado de Ĥ, entonces:
Ĥ|n⟩ = h̄ω
(
n̂+
1
2
)
|n⟩ = En|n⟩, (1.45)
si multiplicamos la relación anterior por ↠del lado izquierdo y usamos la
relación de conmutación (1.40), llegamos a que
h̄ω
(
n̂− 1
2
)
â†|n⟩ = Enâ†|n⟩
y sumando de ambos lados h̄ωâ†|n⟩ entonces
h̄ω
(
n̂+
1
2
)
â†|n⟩ = (En + h̄ω)â†|n⟩.
Con esto hemos encontrado que si |n⟩ es un eigenvector de Ĥ, entonces
â†|n⟩ también es eigenvector de Ĥ, con eigenvalor En+ h̄ω. Podemos ahora
multiplicar la ecuación (1.45) por â del lado izquierdo, y usando nuevamente
(1.40) queda que
h̄ω
(
n̂+
3
2
)
â|n⟩ = Enâ|n⟩,
y si además restamos de ambos lados h̄ωâ|n⟩, se tiene
h̄ω
(
n̂+
1
2
)
â|n⟩ = (En − h̄ω)â|n⟩.
Aśı encontramos que también â|n⟩, es eigenvector del Hamiltoniano. De esta
manera cada vez que apliquemos el operador ↠al eigenestado |n⟩ obten-
dremos un nuevo eigenestado con eigenvalor h̄ω veces mayor que el anterior,
y de forma inversa si aplicamos el operador â obtenemos un eigenestado
nuevo con eigenvalor h̄ω veces menor que el anterior, ver figura 1.1:
Ahora nos encargaremos de encontrar el espectro del operador de número
n̂, para esto demostraremos los siguientes lemas.
Lema 1. Cualquier eigenvalor n del operador n̂ es siempre mayor o igual
que cero.
Demostración:
Sea |n⟩ eigenvector del operador n̂, aśı sabemos que el cuadradode la norma
del vector â|n⟩ es mayor que cero o positivo:
∥â|n⟩∥2 = ⟨n|â†â|n⟩ ≥ 0
30 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
h̄ω
h̄ω
h̄ω
h̄ω
|n⟩
â†|n⟩
â†â†|n⟩
â|n⟩
ââ|n⟩
...
...
EnEn
En + h̄ω
En + 2h̄ω
En − h̄ω
En − 2h̄ω
Figura 1.1: La aplicación del operador â en el estado |n⟩ disminuye al eigen-
valor En en h̄ω y la aplicación de â
† en el estado |n⟩ aumenta al eigenvalor
En en h̄ω.
y además
⟨n|â†â|n⟩ = ⟨n|n̂|n⟩ = n⟨n|n⟩,
pero como ⟨n|n⟩ es siempre positivo, se concluye que:
n ≥ 0. 2
Lema 2. Sea |n⟩ eigenvector de n̂ con eigenvalor n, entonces:
1. Si n = 0 entonces el ket â|n⟩ es cero.
2. si n > 0 entonces el ket â|n⟩ es diferente de cero y además es eigen-
vector del operador n̂, con eigenvalor n− 1.
Demostración:
(1): Si n = 0, entonces el cuadrado de la norma de â|n⟩ es cero, pero la
norma de un vector es cero si y sólo si este es el vector cero, por lo tanto; si
n = 0
â|0⟩ = 0. (1.46)
(2): Si ahora consideramos que n > 0, entonces â|n⟩ es diferente del vector
cero. Usando la regla de conmutación (1.43) podemos tener la ecuación
[n̂, â] |n⟩ = −â|n⟩,
igualdad que podemos reescribir como:
n̂â|n⟩ = ân̂|n⟩ − â|n⟩ = ân|n⟩ − â|n⟩
de donde es inmediato que:
n̂â|n⟩ = (n− 1)â|n⟩, (1.47)
es decir, â|n⟩ es eigenvector del operador n̂ con eigenvalor n− 1. 2
1.3. Representación de estados de Fock 31
Lema 3. Sea |n⟩ eigenvector de n̂ con eigenvalor n, entonces:
1. El ket â†|n⟩ es siempre diferente de cero.
2. El ket â†|n⟩ es un eigenvector del operador n̂, con eigenvalor n+ 1
Demostración:
(1): Si calculamos la norma del vector â†|n⟩ tenemos que:
∥â†|n⟩∥2 = ⟨n|ââ†|n⟩ = ⟨n|n̂+ 1|n⟩ = (n+ 1)⟨n|n⟩.
Aśı por el lema 1 sabemos que n ≥ 0, por tanto el ket â†|n⟩ siempre es
diferente de cero.
(2): Mediante la regla de conmutación (1.44), se puede encontrar la relación:[
n̂, â†
]
|n⟩ = â†|n⟩
de la cual fácilmente se llega a que
n̂â†|n⟩ = (n+ 1)â†|n⟩. 2 (1.48)
Finalmente con los lemas anteriores podemos demostrar el siguiente coro-
lario.
Corolario 1. Sea n eigenvalor del operador n̂ con eigenvector |n⟩, diferente
de cero, entonces el eigenvalor n es un entero no negativo.
Demostración:
Esta demostración la realizaremos por reducción al absurdo. Aśı supóngase
que el eigenvalor n no es un entero, entonces siempre se puede encontrar un
entero m ≥ 0 tal que:
m < n < m+ 1. (1.49)
Ahora consideremos a la serie de vectores
|n⟩, â|n⟩, . . . , âm|n⟩.
Entonces de forma iterativa tenemos que: |n⟩ es diferente de cero por hipótesis;
â|n⟩ es también diferente de cero pues n > 0 y con eigenvalor n− 1 > 0 de
n̂; âp|n⟩, donde p ≤ m, se obtiene al actuar â sobre el ket âp−1|n⟩ el cual es
eigenvector de n̂ con eigenvalor n− p+ 1 > 0.
Ahora apliquemos â sobre el ket âm|n⟩. Sabemos que n−m > 0 por la de-
sigualdad (1.49) y por el lema 2, âm+1|n⟩ es eigenvector del operador n̂ con
eigenvalor n −m − 1, el cual es estrictamente negativo por la desigualdad
32 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
(1.49). Aśı si n no es entero se pudo construir un eigenvector de n̂ el cual
tiene eigenvalor estrictamente negativo, lo cual contradice el lema 1. Por lo
tanto n debe ser un entero. 2
De la demostración anterior podremos encontrar otro resultado impor-
tante. Supongamos que n = m, con m cero o cualquier número entero posi-
tivo, aśı de la demostración anterior tenemos que ân|n⟩ es eigenvector de n̂,
con eigenvalor 0, entonces por el lema 2 llegamos a que ân+1|n⟩ = 0.
Los resultados anteriores nos permiten conocer la enerǵıa de los esta-
dos del oscilador armónico. Aśı para cualquier eigenestado |n⟩, el eigenvalor
está dado por
Ĥ|n⟩ = h̄ω
(
n+
1
2
)
|n⟩ (1.50)
con n cero o cualquier entero positivo.
1.3.3. Ortonormalización y relación de cierre
Sabemos que Ĥ y n̂ son observables, esto es, sus eigenvectores consti-
tuyen una base para el espacio de estados. Además, como los eigenvalores
tanto de n̂ como de Ĥ son no degenerados, entonces n̂ ó Ĥ constituye un
conjunto completo de observables que conmutan. Además las propiedades
antes enunciadas permiten que se cumpla la ortonormalidad y relación de
cierre:
⟨n|m⟩ = δnm, (1.51)∑
n
|n⟩⟨n| = Î . (1.52)
Aśı como tenemos una base ortonormal, entonces consideremos
|n+ 1⟩ = Anâ†|n⟩,
donde An es una constante, por determinar. Podemos calcular el producto
⟨n+ 1|n+ 1⟩ = |An|2⟨n|ââ†|n⟩,
pero (Ĥ) = h̄ω
(
â↠− 12
)
, entonces
⟨n+ 1|n+ 1⟩ = |An|
2
h̄ω
⟨n|Ĥ + h̄ω
2
|n⟩,
1.3. Representación de estados de Fock 33
y usando (1.50) se obtiene
⟨n+ 1|n+ 1⟩ = |An|2(n+ 1),
de donde concluimos que |An| = 1√n+1 . Por lo tanto
â†|n⟩ =
√
n+ 1|n+ 1⟩. (1.53)
De forma similar si ahora consideramos
|n− 1⟩ = Bnâ|n⟩,
entonces el producto escalar ⟨n− 1|n− 1⟩ resulta ser
⟨n− 1|n− 1⟩ = |Bn|2
√
n.
Aśı es inmediato que |Bn| = 1√n , con lo cual llegamos a la relación
â|n⟩ =
√
n|n− 1⟩. (1.54)
Finalmente usando lo anterior, podemos expresar al estado |n⟩ en términos
del estado |0⟩ esto es
|n⟩ = 1√
n!
(â†)n|0⟩. (1.55)
1.3.4. Función de onda asociada al estado estacionario
Para obtener la función φn(x) asociada con el estado estacionario del
oscilador armónico, necesitamos la expresión (1.55) aśı como el hecho de
que en la representación de posiciones {|x⟩} el operador ↠tiene la forma
1√
2
[√
mω
h̄
x−
√
h̄
mω
d
dx
]
.
Aśı obtenemos que
φn(x) = ⟨x|n⟩ =
1√
n!
⟨x|(â†)n|0⟩ = 1√
n!
1√
2n
[√
mω
h̄
x−
√
h̄
mω
d
dx
]n
φ0(x).
Entonces para conocer a las funciones de onda sólo falta determinar a la
función φ0(x). Para esto sabemos que â|0⟩ = 0, expresión que en la repre-
sentación {|x⟩} es:
1√
2
[√
mω
h̄
x+
√
h̄
mω
d
dx
]
φ0(x) = 0,
34 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
cuya solución es:
φ0(x) =
(mω
πh̄
)1/4
e−
1
2
mω
h̄
x2 .
Por lo tanto
φn(x) =
1√
n!
1√
2n
(mω
πh̄
)1/4 [√mω
h̄
x−
√
h̄
mω
d
dx
]n
e−
1
2
mω
h̄
x2 .
Una forma más simple de escribir a la función de onda φn(x), es en términos
de los llamados polinomios de Hermite Hn(x), los cuales pueden expresarse
por la formula de Rodrigues [2]:
Hn(x) = (−1)nex
2 dn
dxn
(e−x
2
), (1.56)
mientras que para las funciones de onda
φn(x) =
(
β2
π
) 1
4 1√
2nn!
e−β
2x2/2Hn(βx), (1.57)
donde β =
√
mω
h̄ .
1.4. Representación de estados coherentes
El concepto de estados coherentes fue propuesto por primera vez en 1926
por Schrödinger en conexión con los estados clásicos del oscilador armónico
cuántico. No fue hasta 1963 que Glauber y Sudarshan mostraron la impor-
tancia del estudio del campo de estados coherentes [3]. Glauber construyó los
eigenestados del operador de aniquilación del oscilador armónico para el es-
tudio de las funciones de correlación en electromagnetismo.
Aśı desde la introducción de los estados coherentes por Glauber para el
campo electromagnético, se desarrollo la teoŕıa de éstos, los cuales ahora
son de importancia tanto histórica como pedagógica y fundamentales en el
desarrollo de la teoŕıa de la óptica cuántica.
1.4.1. Definición
La primer definición dada por Glauber de estado coherente es:
Definición 1. Los estados coherentes, que designaremos por |α⟩, son eigen-
estados del operador de aniquilación â del oscilador armónico,
â|α⟩ = α|α⟩ (1.58)
donde α es un número complejo.
1.4. Representación de estados coherentes 35
La definición anterior permite hacer una aclaración muy importante;
debido a que el operador de aniquilación â no es un operador hermı́tico
sus eigenestados {|α⟩} no cumplen las relaciones de ortonormalidad y cierre
convencionales, es decir, {|α⟩} no es una representación. Pero aún aśı se
puede normalizar y además obtener su relación de cierre como se verá más
adelante.
Ahora determinemos el ket |α⟩, solución de la ecuación (1.58), en términos
de los estados de Fock. Para esto multiplicamos ambos lados de la ecuación
(1.58) por el bra ⟨n|, entonces:
⟨n|â|α⟩ = α⟨n|α⟩,
lo cual no lleva a la relaciónde recurrencia
√
n+ 1⟨n+ 1|α⟩ = α⟨n|α⟩,
para el producto escalar ⟨n|α⟩. Aśı de la relación anterior llegamos a que:
⟨n|α⟩ = α
n
√
n!
⟨0|α⟩.
Este producto escalar corresponde a los coeficientes del desarrollo del estado
|α⟩ en términos de el conjunto completo ortonormal |n⟩, es decir
|α⟩ =
∑
n
|n⟩⟨n|α⟩ = ⟨0|α⟩
∑
n
αn√
n!
|n⟩.
Por otra parte la longitud al cuadrado del vector |α⟩ es:
⟨α|α⟩ = |⟨0|α⟩|2
∑
n
|α|2n
n!
= |⟨0|α⟩|2e|α|2 ,
por lo tanto si deseamos que el estado |α⟩ esté normalizado, esto es ⟨α|α⟩ = 1,
entonces
⟨0|α⟩ = e−|α|2/2.
Con esto el estado coherente del oscilador armónico toma finalmente la for-
ma:
|α⟩ = e−|α|2/2
∑
n
αn√
n!
|n⟩. (1.59)
Además, como ya se mencionó antes, por ser |α⟩ eigenvector de un operador
no hermı́tico, éste no cumple la relación de cierre convencional. Pero aún
36 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
aśı se puede mostrar que el conjunto de kets |α⟩ forman una base completa,
pues su relación de cierre existe y está dada por:
1
π
∫
|α⟩⟨α|d2α = Î , (1.60)
donde d2α = d(Reα)d(Imα), con Reα y Imα, la parte real e imaginaria de
α respectivamente. Para poder demostrar la relación (1.60) substituimos en
ella el resultado (1.59), entonces obtenemos que:
1
π
∫
e−|α|
2
∑
n
αn√
n!
|n⟩
∑
m
(α∗)m√
m!
⟨m|d2α.
Escribiendo α en su forma polar α = ρeiθ, entonces el elemento de volumen
toma la forma d2α = ρdρdθ y se tiene que
1
π
∫ ∞
0
∫ 2π
0
e−ρ
2
∑
n,m
ei(n−m)θ
ρn+m√
n!m!
|n⟩⟨m| ρdρdθ
La integral con respecto a θ está dada por∫ 2π
0
ei(n−m)θdθ = 2πδnm,
entonces queda
2
∑
n
∫ ∞
0
e−ρ
2 ρ2n+1
n!
|n⟩⟨n| dρ =
∑
n
Γ(n+ 1)
n!
|n⟩⟨n|,
donde se utilizó que ∫ ∞
0
e−uun du = Γ(n+ 1) = n!.
Por lo tanto (1.60) es válida.
1.4.2. Operador de desplazamiento
Consideremos que existe un operados unitario D̂ el cual actúa como un
operador de desplazamiento para â y â†. Aśı si D̂ es función del parámetro
complejo β [4], entonces:
D̂−1(β)âD̂(β) = â+ β, (1.61)
1.4. Representación de estados coherentes 37
y su correspondiente expresión hermitica conjugada. Ahora, si a la ecuación
(1.58) se aplica el operador D̂−1(β) del lado izquierdo y se introduce el
operador identidad D̂(β)D̂−1(β) entre â y |α⟩, se tiene:
D̂−1(β)âD̂(β)D̂−1|α⟩ = αD̂−1(β)|α⟩,
y usando la expresión (1.61) llegamos a que:
âD̂−1(β)|α⟩ = (α− β)D̂−1(β)|α⟩.
Por lo tanto D̂−1(β)|α⟩ es un eigenestado de â con eigenvalor α − β. En
particular si consideramos α = β encontramos que
âD̂−1(α)|α⟩ = 0.
Pero como el estado base del oscilador armónico es único, definido por la
relación (1.46), se sigue que D̂−1(α)|α⟩ = |0⟩, de donde se obtiene que el
estado coherente se puede expresar como:
|α⟩ = D̂(α)|0⟩.
Para encontrar la forma expĺıcita del operador de desplazamiento D̂(α) [6],
primero encontramos la forma de los operadores de desplazamientos en posi-
ción y momento. Aśı usaremos la convención del punto de vista activo, esto
es, utilizar siempre el mismo sistema de coordenadas para designar a la
posición. Definamos a {R} como el grupo de las transformaciones y a {P̂R}
los correspondientes operadores, definidos mediante su operación sobre una
función escalar f(x) como sigue:
P̂Rf(x) ≡ f ′(x); donde; f ′(x)
∣∣∣∣
x=x0
= f(x)
∣∣∣∣
x=R−1x0
Para entender la definición anterior consideremos f = c una curva de nivel
de la función f(x). Bajo una transformación R esta curva se convertirá en
una nueva curva de nivel que estará descrita mediante la función f ′ = c,
es decir, esta nueva función la cual es una curva de nivel del la función
f ′(x) tiene una relación punto a punto con f = c, ver figura 1.2. De manera
f́ısica quiere decir que para cualesquiera dos puntos equivalentes mediante la
transformación R, entonces la propiedad f́ısica descrita por la función f(x)
tendrá el mismo valor en ambos puntos.
También se puede demostrar que existe un isomorfismo entre el grupo
de transformaciones {R} y de operadores {P̂R}. Ahora para una traslación
38 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
f(x) = c
f ′(x) = c
x0
x
R
Figura 1.2: Definición geométrica del operador P̂R
del sistema una distancia a a lo largo del eje x, buscamos al operador P̂x0
tal que:
P̂af(x)
∣∣∣∣
x=x0
= f(x0 − a).
Si desarrollamos a f(x) en su serie de Taylor entonces:
f(x0 − a) =
∞∑
n=0
1
n!
(−a)n∂
nf
∂xn
∣∣∣∣
x=x0
= e−a
∂
∂x f(x)
∣∣∣∣
x=x0
donde
P̂a = e
−a ∂
∂x .
Identificando el operador de momento P̂x = −ih̄ ∂∂x . obtenemos
P̂a = e
−i a
h̄
P̂x . (1.62)
De forma completamente análoga podemos determinar el operador de traslación
del momento Ŝb, tal que:
Ŝbg(p)
∣∣∣∣
p=p0
= g(p0 − b).
Usando el operador de posición en la representación de momento X̂ = ih̄ ∂∂p ,
llegamos a
Ŝb = e
i b
h̄
X̂ . (1.63)
1.4. Representación de estados coherentes 39
Ahora deseamos encontrar el operador de desplazamientos en el espacio
fase, es decir, el operador D̂, tal que:
D̂h(x, t) = h(x− x0, p− p0).
Para poder encontrar este operador sabemos que los operadores adimen-
sionales de desplazamiento de posición y momento están dados por e−ix0P̂x
y eipoX̂ , entonces
h(x− x0, p− p0) = eip0X̂e−ix0P̂xh(x, t).
Además suponiendo que estos desplazamientos son infinitesimales x0 << 0
y p0 << 0 de tal manera que
h(x−x0, p−p0) ≈ (1+ ip0X̂)(1− ix0P̂x)h(x, t) ≈ (1+ i(p0X̂−x0P̂x))h(x, t)
por lo tanto
h(x− x0, p− p0) ≈ ei(p0X̂−x0P̂x)h(x, t).
Aśı lo anterior sugiere que D̂ = ei(p0X̂−x0P̂x). Si además definimos al complejo
α0 =
1√
2
(x0 + ip0) y usamos las definiciones (1.36) y (1.37) es fácil mostrar
que:
D̂(α0) = e
α0â†−α∗0â
Ahora demostraremos que el operador de desplazamiento obtenido satisface
la definición (1.61), para esto necesitamos probar el siguiente teorema.
Teorema 3. (Desarrollo en serie de operadores.) Para cualesquiera dos
operadores  y B̂, se cumple que:
eÂB̂e−Â = B̂ +
[
Â, B̂
]
+
1
2!
[
Â,
[
Â, B̂
]]
+
1
3!
[
Â,
[
Â,
[
Â, B̂
]]]
+ · · · (1.64)
Demostración.
Consideremos al operador:
F̂ (λ) = eλÂB̂eλ con λ real.
Si tomamos la serie de Taylor del operador F̂ (λ) alrededor del cero entonces
F̂ (λ) = F̂ (0) +
dF̂ (λ)
dt
∣∣∣∣
λ=0
λ+
1
2!
d2F̂ (λ)
dt2
∣∣∣∣
λ=0
λ2 +
1
3!
d3F̂ (λ)
dt3
∣∣∣∣
λ=0
λ3 + · · ·
40 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
Ahora calculando el valor de la primer derivada;
dF̂ (λ)
dt
= ÂeλÂB̂eλ − eλÂB̂ÂeλÂ,
evaluada en λ = 0 se reduce a
dF̂ (λ)
dt
∣∣∣∣
λ=0
= ÂB̂ − B̂Â =
[
Â, B̂
]
.
La segunda derivada es
d2F̂ (λ)
dt2
= Â2eλÂB̂eλ + 2ÂeλÂB̂Âeλ + eλÂB̂Â2eλÂ,
si la evaluamos para λ = 0
d2F̂ (λ)
dt2
∣∣∣∣
λ=0
= Â2B̂ − 2ÂB̂Â+ B̂Â2 = Â
(
ÂB̂ − ÂB̂
)
−
(
ÂB̂ − ÂB̂
)
Â
= Â
[
Â, B̂
]
−
[
Â, B̂
]
 =
[
Â,
[
Â, B̂
]]
.
En general
dnF̂ (λ)
dtn
∣∣∣∣
λ=0
=
[
Â,
[
Â
[
 · · ·
[
Â, B̂
]
· · ·
]]]
︸ ︷︷ ︸
n veces
Con esto la serie queda dada por:
F̂ (λ) = F̂ (0) + λ+
[
Â, B̂
]
λ
1
2!
λ2
[
Â,
[
Â, B̂
]]
+
1
3!
[
Â,
[
Â
[
Â, B̂
]]]
λ3 + · · ·
Por último evaluamos la serie anterior en λ = 1 aśı queda la expresión
buscada
eÂB̂e−Â = B̂ +
[
Â, B̂
]
+
1
2!
[
Â,
[
Â, B̂
]]
+
1
3!
[
Â,
[
Â,
[
Â, B̂
]]]
+ · · · 2
Entonces con ayuda del teorema anterior tenemos que
D̂−1(α)âD̂(α) = eα
∗â−α↠âeαâ
†−α∗â = â+
[
α∗â− αâ†, â
]
+ · · ·
pero como
[
α∗â− αâ†, â
]
= α, es inmediato que
D̂−1(α)âD̂(α) = â+ α.
De lo anterior podemos dar una segunda definición de estado coherente.
1.4. Representación de estados coherentes 41
Definición 2. El estado coherente |α⟩, se obtiene al aplicar el operador de
desplazamiento D̂(α) al estado de vacio del oscilador armónico;
|α⟩ = D̂(α)|0⟩ (1.65)
donde el operador de desplazamiento D̂(α) está definido por
D̂(α) = eαâ
†−α∗â
1.4.3. Valores esperados y fluctuaciones de posición y mo-
mento
Usando la definición de X̂ y P̂ , en términos de los operadores de creación
y aniquilación:
X̂ =
1√
2
(↠+ â),
P̂ =
i√
2
(↠− â),
podemos encontrar el valor esperado de posición y momentoen la repre-
sentación de estados coherentes, sólo necesitamos usar la definición (1.58),
aśı:
⟨α|X̂|α⟩ =
√
2 Re{α}
⟨α|P̂ |α⟩ =
√
2 Im{α}
donde Re{α} y Im{α} son la parte real e imaginaria de α, respectivamente.
Para calcular las fluctuaciones calculamos el cuadrado de los operadores:
X̂2 =
1
2
(
(â†)2 + â†â+ â↠+ â2
)
,
P̂ 2 = −1
2
(
(â†)2 − â†â− â↠+ â2
)
.
Nuevamente por la definición (1.58) llegamos a que:
⟨α|X̂2|α⟩ = 1
2
[(α+ α∗)2 + 1],
⟨α|P̂ 2|α⟩ = 1
2
[1− (α− α∗)2],
con esto obtenemos que las fluctuaciones están dadas por:
∆X̂ =
1√
2
,
42 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
∆P̂ =
1√
2
,
por lo tanto
∆X̂∆P̂ =
1
2
.
Esto nos permite dar una última definición de estado coherente (recordamos
que estamos usando unidades adimensionales).
Definición 3. El estado coherente |α⟩ es el estado cuántico que minimiza
la relación de incertidumbre
∆X̂∆P̂ =
1
2
(1.66)
donde los operadores de posición y momento están definidos como:
X̂ =
1√
2
(↠+ â),
P̂ =
i√
2
(↠− â).
1.4.4. Función de onda asociada al estado coherente
La función asociada al estado coherente |α⟩, está dada por ψα(x) = ⟨x|α⟩.
Por la definición (1.65) tenemos
ψα(x) = ⟨x|D̂(α)|0⟩
con D̂(α) = eαâ
†−α∗â. Para continuar el cálculo de la función de onda nece-
sitamos el siguiente teorema:
Teorema 4. (Identidad de Campbell-Baker-Hausdorff) Sean  y B̂ dos
operadores, entonces:
exp(Â+ B̂) = exp(Â)exp(B̂)exp
(
−
[
Â, B̂
]
/2
)
(1.67)
siempre y cuando [
Â,
[
Â, B̂
]]
=
[
B̂,
[
Â, B̂
]]
= 0
Demostración.
Considere el operador
F̂ (λ) = eλÂeλB̂
1.4. Representación de estados coherentes 43
donde λ es un número real. Derivando a este operador con respecto a λ, lo
que se obtiene lo siguiente
dF̂ (λ)
dλ
= ÂeλÂeλB̂ + eλÂB̂eλB̂ =
(
Â+ eλÂB̂e−λÂ
)
eλÂeλB̂.
Por el teorema 1 sabemos que
eλÂB̂e−λ = B̂ + λ
[
Â, B̂
]
+
λ2
2!
[
Â,
[
Â, B̂
]]
+
λ3
3!
[
Â,
[
Â,
[
Â, B̂
]]]
+ · · · .
Ahora por hipótesis [
Â,
[
Â, B̂
]]
= 0,
entonces la serie se reduce a:
eλÂB̂e−λ = B̂ + λ
[
Â, B̂
]
.
Substituyendo este resultado en la expresión para la derivada de F̂ (λ), se
obtiene la ecuación diferencial
dF̂ (λ)
dλ
=
(
Â+ B̂ + λ
[
Â, B̂
])
F̂ (λ),
cuya solución es
F̂ (λ) = F̂ (0)exp
(
λ
(
Â+ B̂
)
+
λ2
2
[
Â, B̂
])
.
Utilizando la condición inicial F̂ (0) = Î, y substituyendo λ = 1, queda la
relación buscada
exp(Â)exp(B̂) = exp
(
Â+ B̂
)
exp
(
1
2
[
Â, B̂
])
.
Por lo tanto
exp(Â+ B̂) = exp(Â)exp(B̂)exp
(
−
[
Â, B̂
]
/2
)
2
Por el teorema anterior el operador de desplazamiento se puede escribir
como:
D̂(α) = D̂(α) = e−|α|
2/2eαâ
†(t)e−α
∗â(t),
44 Caṕıtulo 1. Representaciones en mecánica cuántica
con esto escribimos la función de onda del estado coherente como sigue
ψα(x) = e
−|α|2/2⟨x|eαâ†e−α∗â|0⟩.
Ahora, como â|0⟩ = 0, entonces es inmediato que e−α∗â|0⟩ = 1, por lo tanto
la función de onda queda como:
ψα(x) = e
−|α|2/2⟨x|e
α√
2
[X̂−iP̂ ]|0⟩,
donde hemos expresado al operador de creación en términos del los oper-
adores de posición y momento. Usando nuevamente la identidad de Campbell-
Baker-Hausdorff, encontramos que
e
α√
2
[X̂−iP̂ ]
= e−α
2/4e
α√
2
X̂
e
−i α√
2
P̂
.
Además sabemos que el operador e
−i α√
2
P̂
es un operador de desplazamiento
en la dirección x, por lo tanto encontramos
ψα(x) = e
−|α|2/2e−α
2/4e
α√
2
x
φ0(x− α/
√
2),
donde φ0(x) es la función de onda del osclador armónico dado por (1.57)
con n = 0. Si substituimos φ0(x) entonces la función de onda asociada al
estado coherente se expresa finalmente como
ψα(x) =
1
π1/4
exp
{
−|α|
2
2
− α
2
2
+
√
2αx− x
2
2
}
. (1.68)
Bibliograf́ıa
[1] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu y Franck Laloë.:“Quantum Me-
chanics”, A Wiley-Interscience publication, USA 1977.
[2] George B. Arfken, Hans J. Weber.:“Mathematical Methods of Physi-
cists”, A Harcourt Science and Technology Company, five edition, USA
2001.
[3] R. J. Glauber. y Sudarshan, E. C. G. 1963, Phys. Rev. Lett. 10, 227
[4] R. J. Glauber.:“Quantum theory of optical coherence.” , Wiley-VCH,
USA, 2007.
[5] G. Esposito, G. Marmo, G. Sudarshan :“From Classical to Quantum Me-
chanics: An Introduction to the formalism, fundations and applications.”
, Cambridge University Press, USA, 2004.
[6] Elpidio Chacón.:“Introducción a la Teoŕıa de los Grupos y sus Aplica-
ciones en la Mecánica Cuántica”, Instituto de Ciencias Nucleares UNAM,
México 2008.
[7] Luis de la Peña.:“Introducción a la Mecánica Cuántica”, Fondo de Cul-
tura Económica, Tercera Edición, México 2006.
45
Caṕıtulo 2
Evolución temporal de
sistemas cuánticos
Hay ŕıos metaf́ısicos, ella los nada como esa golondrina está nadando en el
aire, girando alucinada en torno al campanario, dejándose caer para levantarse
mejor con el impulso. Yo describo y defino y deseo esos rios, ella los nada. Yo
los busco, los encuentro, los miro desde el puente, ella los nada. Y no lo sabe,
igualita a la golondrina.
Julio Cortázar
La evolución temporal de los sistemas cuánticos se puede determinar a par-
tir de la solución de a la ecuación de Schrödinger, pero en general encontrar
dicha solución es un trabajo no trivial, pero el cual debe realizarse para
describir a nuestro sistema. Por este motivo en esta sección se desarrollaran
las diferentes formas de encontrar la evolución temporal de un sistema, por
medio de los diferentes esquemas de la mecánica cuántica. Aśı nuestro es-
tudio se enfoca en determinar el operador de evolución temporal Û(t, t0),
el cual nos permite conocer la evolución del sistema y además desarrollare-
mos el estudio de los operadores invariantes para Hamiltonianos cuadráticos
en posición y momento, con lo cual se podrá encontrar la función de onda
solución a la ecuación de Schrödinger.
2.1. Operador de Evolución temporal
Sea |ψ(t0)⟩ el vector de estado en un instante inicial t0 y |ψ(t)⟩ el vec-
tor de estado en un instante arbitrario. Entonces la evolución temporal de
46
2.1. Operador de Evolución temporal 47
|ψ(t0)⟩ en |ψ(t)⟩, esta dado por:
|ψ(t)⟩ = Û(t, t0)|ψ(t0)⟩ (2.1)
donde Û(t, t0) es un operador unitario que se conoce como el operador de
evolución temporal.
2.1.1. Propiedades
1. El operador de evolución temporal tiene las siguientes propiedades:
Û(t0, t0) = Î , (2.2)
donde Î es el operador identidad, ya que si substituimos t = t0 en (2.1)
entonces:
|ψ(t0)⟩ = Û(t0, t0)|ψ(t0)⟩
por lo tanto Û(t0, t0) = Î.
2. El operador de evolución temporal Û(t, t0) esta determinado por la
ecuación:
ih̄
dÛ(t, t0)
dt
= Ĥ(t)Û(t, t0) (2.3)
donde Ĥ(t) es el Hamiltoniano del problema. Esta relación se obtiene
al substituir (2.1) en la ecuación de Schrödinger, esto es:
ih̄
dÛ(t, t0)
dt
|ψ(t0)⟩ = Ĥ(t)Û(t, t0)|ψ(t0)⟩.
Como esto se cumple para todo |ψ(t0)⟩, entonces:
dÛ(t, t0)
dt
= − i
h̄
Ĥ(t)Û(t, t0).
3. El operador de evolución temporal es unitario, es decir:
Û(t, t0)Û
†(t, t0) = Û
†(t, t0)Û(t, t0) = Î (2.4)
4. La ecuación integral del operador de evolución temporal Û(t, t0) se
obtiene integrando la ecuación (2.3) de t0 a t, aśı nos queda que:
Û(t, to) = Î −
i
h̄
∫ t
to
dt′Ĥ(t′)Û(t′, t0), (2.5)
que se prueba substituyendo en la ecuación del operador de evolución.
48 Caṕıtulo 2. Evolución temporal de sistemas cuánticos
5. El operador de evolución temporal es lineal puede escribirse de la forma
siguiente:
Û(tn, t1) = Û(tn, tn−1) · · · Û(t3, t2)Û(t2, t1) (2.6)
Esta relación se demuestra considerando
|ψ(tn)⟩ = Û(tn, tn−1) · · · Û(t3, t2)Û(t2, t1)|ψ(t1)⟩
mientras que por otro lado |ψ(tn)⟩ = Û(tn, t1)|ψ(t1)⟩, de esto podemos
concluir que:
Û(tn, t1) = Û(tn, tn−1) · · · Û(t3, t2)Û(t2, t1)
6. El inverso del operador de evolución temporal esta dado por
Û(t, t1) = Û
−1(t1, t) (2.7)
Prueba: a partir de la ecuación (2.6) tenemos que:
Û(t, t2) = Û(t, t1)Û(t1, t2)
substituyendo t2 = t y usando la propiedad (2.2) obtenemos que
Û(t, t1)Û(t1,t) = Î ,
por lo tanto
Û(t, t1) = Û
−1(t1, t).
2.1.2. Clases de operadores de evolución temporal
Iniciamos el estudio de la evolución temporal de sistemas cuánticos ex-
plicando las diferentes formas de obtener el operador de evolución temporal.
Entonces mostraremos que para determinar el operador de evolución tempo-
ral sólo debemos fijarnos en la forma del Hamiltoniano. Aśı para cualquier
sistema cuántico daremos la expresión general del operador de evolución
dependiendo del tipo de Hamiltoniano que se tenga.
Hamiltoniano independiente del tiempo.
Consideremos el Hamiltoniano Ĥ el cual es independiente del tiempo en-
tonces el operador de evolución temporal está determinado por la solución
de la ecuación diferencial (2.3), esto es
Û(t, t0) = e
− i
h̄
Ĥ(t−to). (2.8)
2.1. Operador de Evolución temporal 49
Entonces si consideramos un estado inicial arbitrario en una base {|n⟩}
definida por los eigenvectores del Hamiltoniano (para una base continua
el tratamieto es análogo) tal que:
|ψ(0)⟩ =
∑
n
cn|n⟩
con cn = ⟨n|ψ⟩, entonces la evolución temporal del estado |ψ⟩ está dada por:
|ψ(t)⟩ = Û(t)|ψ(0)⟩ =
∑
n
cne
− i
h̄
Ĥt|n⟩ =
∑
n
cne
− i
h̄
Ênt|n⟩.
Como ejemplo consideremos al Hamiltoniano del oscilador armónico (1.33),
entonces el operador de evolución temporal esta dado por:
Û(t) = e−iω(n̂+
1
2)t.
Si por otra parte el estado inicial es un estado coherente |α⟩, tenemos que la
evolución temporal de este estado bajo la acción del hamiltoniano está dada
por:
|α(t)⟩ = e−|α|2/2
∑
n
αn√
n!
e−iω(n̂+
1
2)t|n⟩ = e−iωt/2e−|α|2/2
∑
n
(αe−iωt)n√
n!
|n⟩,
por lo tanto
|α(t)⟩ = e−iωt/2|αe−iωt⟩.
Se concluye entonces que un estado inicial coherente al evolucionar en un
Hamiltoniano de oscilador armónico continúa siendo un estado coherente,
aunque su parámetro se modifica, α 7−→ αe−iωt.
Hamiltoniano dependiente del tiempo.
Si el Hamiltoniano depende del tiempo, el operador de evolución temporal
se puede calcula utilizando su forma integral de manera iterativa. Deseamos
conocer la evolución del sistema desde un tiempo t0 hasta t, es decir conocer
al operador Û(t, to). Aśı por la propiedad (2.6) podemos escribir
Û(t, to) = Û(t, tn−1) · · · Û(t2, t1)Û(t1, t0)
y sabemos que
Û(tn, tn−1) = Î −
i
h̄
∫ tn
tn−1
dt′Ĥ(t′)Û(t′, tn−1).
50 Caṕıtulo 2. Evolución temporal de sistemas cuánticos
Substituyendo esto en la primera ecuación para cada Û(tn, tn−1) obtenemos
la serie:
Û(t, to) = Î −
i
h̄
∫ t
to
dt′Ĥ(t′) +
(
− i
h̄
)2 ∫ t
to
dt′Ĥ(t′)
∫ t′
to
dt′′Ĥ(t′′)
+
(
− i
h̄
)3 ∫ t
to
dt′Ĥ(t′)
∫ t′
to
dt′′Ĥ(t′′)
∫ t′′
to
dt′′′Ĥ(t′′′) + · · · (2.9)
donde t > tn−1 > tn−2 > · · · , lo cual implica que tenemos un ordenamiento
normal. La ecuación anterior se conoce como la serie de Dayson [2] la cual
se utiliza para encontrar una forma aproximada del operador de evolución
temporal de cualquier Hamiltoniano.
Si suponemos que para cualesquiera dos instantes t1 y t2 arbitrarios[
Ĥ(t1), Ĥ(t2)
]
= 0 (2.10)
entonces la serie (2.9) converge a:
Û(t, t0) = exp
{
− i
h̄
∫ t
t0
Ĥ(t)dt
}
. (2.11)
Por lo tanto el procedimiento para encontrar al operador de evolución tem-
poral consite simplemente en observar la manera en la cual depende el Hamil-
toniano del tiempo. Ahora en los métodos anteriores no se considera que tan
complicadas puedan ser las integrales, lo cual puede involucrar un proble-
ma de cálculo no trivial. Mas adelante veremos que existen otros métodos
tales como operadores invariantes del tiempo, o el de integrales de trayec-
toŕıa introducido por Faymann que nos permiten conocer la evolución del
sistema.
2.2. Esquemas en mecánica cuántica
Los esquemas en la mecánica cuántica son formas de manipular ya sea
los estado cuánticos, las observables del problema o ambos por medio de
condiciones que se asignan sobre éstos según convenga, sin modificar sus
propiedades f́ısicas.
Los esquemas más usuales son: el esquema de Schrödinger, el esquema
de Heisenberg y el esquema de Interacción. Por tanto podemos trabajar en
el esquema más cómodo dependiendo del problema. Además, debido a que
los diferentes esquemas son equivalentes, los resultados puede ser expresados
en cualquier esquema de la mecánica cuántica.
2.2. Esquemas en mecánica cuántica 51
El esquema más usado en los cursos de mecánica cuántica es el esquema
de Schrödinger en el cual toda la información de la evolución temporal de
los sistemas está completamente contenida en los vectores de estado |ψ(t)⟩,
dados por la relación (2.1), solución a la ecuación de Schrödinger.
2.2.1. Esquema de Heisenberg
Designaremos al vector de estado en el esquema de Schrödinger como
|ψS(t)⟩. De manera análoga al operador Â(t) en esté esquema lo representa-
mos por ÂS(t).
En cambio el vector de estado en el esquema de Heisenberg se designara
por |ψH⟩, vector de estado que no dependerá del tiempo, mientras que el
operador Â(t) se representará por ÂH(t). Como nosotros deseamos que al
tiempo inicial t0 se cumpla que:
ÂS(t0) = ÂH(t0), (2.12)
y
|ψS(t0)⟩ = |ψH⟩, (2.13)
entonces de las condición inicial (2.13) definimos a |ψH⟩ como:
|ψH⟩ = Û †(t, t0)|ψS(t)⟩. (2.14)
Podemos encontrar la relación que existe entre ÂS y ÂH utilizando el
hecho de que los elementos de matriz de un operador deberán ser los mismos
en cualquier esquema de la mecánica cuántica, es decir:
⟨ψH |ÂH(t)|ψH⟩ = ⟨ψS(t)|ÂS(t)|ψS(t)⟩.
Usando la definición 2.14 la última igualdad queda escrita como:
⟨ψS(t)|Û(t, t0)ÂH(t)Û †(t, t0)|ψS(t)⟩ = ⟨ψS(t)|ÂS(t)|ψS(t)⟩
esto se cumple para todo |ψS(t)⟩ entonces
ÂS(t) = Û(t, t0)ÂH(t)Û
†(t, t0), (2.15)
o de manera análoga
ÂH(t) = Û
†(t, t0)ÂS(t)Û(t, t0). (2.16)
52 Caṕıtulo 2. Evolución temporal de sistemas cuánticos
Existen casos particulares interesantes que se obtienen si el sistema es con-
servativo (ĤS no depende del tiempo) y el operador ÂS es una constante de
movimiento. Para este caso sabemos que el operador de evolución está de-
terminado por la ecuación (2.8) ÂS conmuta con ĤS , entonces también
conmuta con Û(t, t0) y por lo tanto
ÂH = ÂS ,
es decir, los operadores se expresan de igual manera en los diferentes esque-
mas además de que ambos son independientes del tiempo.
Consideramos ÂS(t) arbitrario, entonces calculemos la evolución en el
tiempo del operador ÂH(t)
dÂH(t)
dt
=
d
dt
(Û †(t, t0)ÂS(t)Û(t, t0)),
actuando la derivada con respecto al tiempo se obtiene
dÂH(t)
dt
=
dÛ †(t, t0)
dt
ÂS(t)Û(t, t0)+Û
†(t, t0)
∂ÂS(t)
∂t
Û(t, t0)+Û
†(t, t0)ÂS(t)
dÛ(t, t0)
dt
.
Usando el resultado (2.3) e insertando entre ÂS(t) y ĤS(t) el producto
Û(t, t0)Û
†(t, t0), el cual es el operador identidad, entonces queda la expresión
dÂH(t)
dt
=
i
h̄
Û †(t, t0)ĤS(t)Û(t, t0)Û
†(t, t0)ÂS(t)Û(t, t0))
− i
h̄
Û †(t, t0)ÂS(t)Û(t, t0)Û
†(t, t0)Ĥ(t)SÛ(t, t0)) + Û
†(t, t0)
∂ÂS(t)
∂t
Û(t, t0),
por medio de la definición (2.15), finalmente llegamos a la expresión
dÂH(t)
dt
=
i
h̄
[
ĤH(t), ÂH(t)
]
+
(
∂ÂS(t)
∂t
)
H
. (2.17)
Esta ecuación determina la evolución temporal de los operadores. Es impor-
tante notar que mientras el en esquema de Schrödinger la evolución temporal
del sistema es sobre los vectores de estado que son solución a la ecuación
de Schrödinger, en el esquema de Heisenberg la información de la evolución
del sistema se encuentra en los operadores, que son solución a la ecuación
(2.17).
2.2. Esquemas en mecánica cuántica 53
2.2.2. Esquema de Interacción
Consideremos el problema de un Hamiltoniano Ĥ(t) dado por
Ĥ(t) = Ĥ0(t) + Ŵ (t),
donde a Ŵ (t) se le conoce como un potencial perturbativo o un potencial
de interacción. Si designamos por |ψI(t)⟩ al vector de estado descrito en el
esquema de interacción, entonces está definido por la expresión:
|ψI(t)⟩ = Û †0(t, t0)|ψS(t)⟩, (2.18)
donde Û0(t, t0) satisface la ecuación
ih̄
dÛ0(t, t0)
dt
= Ĥ0(t)Û0(t, t0). (2.19)
Si el operadorÂ(t) en el esquema de Dirac es ÂI , entonces éste está dado
en términos de ÂS(t) por la relación:
ÂI(t) = Û
†
0(t, t0)ÂS(t)Û0(t, t0). (2.20)
Para resolver el problema se procede como sigue: sabemos que |ψS(t)⟩ satis-
face la ecuación de Schrödinger. Substituyendo el Hamiltoniano del problema
entonces
ih̄
d|ψS(t)⟩
dt
=
(
Ĥ0(t) + Ŵ (t)
)
|ψS(t)⟩.
Ahora multiplicamos por la izquierda Û †0(t, t0) en ambos lados de la ecuación,
se introduce la identidad en la forma Û0(t, t0)Û
†
0(t, t0), es decir,
ih̄Û †0(t, t0)
d
dt
(
Û0(t, t0)Û
†
0(t, t0)|ψS(t)⟩
)
= Û †0(t, t0)Ĥ0(t)Û0(t, t0)Û
†
0(t, t0)|ψS(t)⟩
+Û †0(t, t0)Ŵ (t)Û0(t, t0)Û
†
0(t, t0)|ψS(t)⟩,
y usando las definiciones (2.18) y (2.20) la ecuación se reduce a
ih̄Û †0(t, t0)
d
dt
(
Û0(t, t0)|ψI(t)⟩
)
=
(
Ĥ0(t) + ŴI(t)
)
|ψI(t)⟩.
Desarrollando la derivada y simplificando la expresión se obtiene
Û †0(t, t0)
(
ih̄
dÛ0(t, t0)
dt
− Ĥ0(t)Û0(t, t0)
)
|ψI(t)⟩+ih̄
d|ψI(t)⟩
dt
= ŴI(t)|ψI(t)⟩.
54 Caṕıtulo 2. Evolución temporal de sistemas cuánticos
Finalmente, considerando la ecuación (2.19), se establece la ecuación de
evolución para |ψI(t)⟩
ih̄
d|ψI(t)⟩
dt
= ŴI(t)|ψI(t)⟩ (2.21)
A esta última expresión la podemos representar fácilmente en su forma in-
tegral como:
|ψI(t)⟩ = |ψI(t0)⟩ −
i
h̄
∫ t
t0
dt′ŴI(t
′)|ψI(t′)⟩ (2.22)
Podemos obtener una buena aproximación de |ψI(t)⟩ si introducimos en la
ecuación anterior la serie de Dyson, esto da como resultado
|ψI(t)⟩ =
(
Î − i
h̄
∫ t
to
dt′ŴI(t
′) +
(
− i
h̄
)2 ∫ t
to
dt′ŴI(t
′)
∫ t′
to
dt′′ŴI(t
′′) + · · ·
)
|ψI(t0)⟩,
donde el termino en paréntesis constituye el operador de evolución temporal
en el esquema de Dirac, ÛI(t).
Ahora es necesario conocer el operador de evolución en el esquema de
Schrödinger. Para esto sabemos que resolviendo (2.19) se obtiene Û0(t, t0)
y efectuando las integrales (2.21) conocemos ÛI(t, t0). Entonces el operador
ÛS(t, t0) en términos de los operadores ya conocidos Û0(t, t0) y ÛI(t, t0) se
obtienen utilizando las relaciones
|ψS(t)⟩ = Û0(t, t0)|ψI(t)⟩,
y
|ψI(t)⟩ = ÛI(t, t0)|ψI(t0)⟩.
Entonces
|ψS(t)⟩ = Û0(t, t0)ÛI(t, t0)|ψI(t0)⟩,
como el vector de estado inicial es el mismo para todo esquema, es decir,
|ψI(t0)⟩ = |ψS(t0)⟩ se tiene
|ψS(t)⟩ = Û0(t, t0)ÛI(t, t0)|ψS(t0)⟩,
por lo tanto el operador de evolución en el esquema de Schrodinger es
ÛS(t, t0) = Û0(t, t0)ÛI(t, t0). (2.23)
2.2. Esquemas en mecánica cuántica 55
2.2.3. Evolución temporal de vectores base
En esta sección estudiaremos cómo es la evolución de temporal de los
vectores base en cada uno de los esquemas anteriormente estudiados.
Consideremos al conjunto de eigenestados {|φ⟩} de una observable  como
la base de kets para el espacio de Hilbert. Entonces tenemos el problema de
eigenvalores
Â|φ⟩ = a|φ⟩ (2.24)
el cual deseamos conocer su evolución en el tiempo. Para el esquema de
Schrödinger la obserbable  no cambia en el tiempo entonces los estados
base solución a la ecuación de eigenvalores (2.24) a tiempo t = 0, será la
misma para todo tiempo. Por lo tanto a diferencia de los estados, los vectores
base en el esquema de Scrödinger no cambian en el tiempo.
Ahora considerando el mismo problema pero en el esquema de Heisenberg,
sabemos que la observable evoluciona en el tiempo y está dada por
ÂH(t) = Û
†(t)Â(0)Û(t).
Aplicamos el operador de evolución temporal en ambos lados de la ecuación
(2.24) por el lado izquierdo e introduciendo el operador unidad Î = Û(t)Û †(t)
entre la observable y el vector, esto es
Û †(t)Â(0)Û(t)Û †(t)|φ⟩ = aÛ †(t)|φ⟩,
por lo tanto obtenemos una ecuación de eigenvalores para el operador ÂH(t)
dado por
ÂH(t)
(
Û †(t)|φ⟩
)
= a
(
Û †(t)|φ⟩
)
.
Entonces para el esquema de Heisenberg los vectores base se expresan por el
conjunto de estados {Û †(t)|φ⟩}, esto es. Aśı los estados base en el esquema
de Heisenberg que designamos por |φ(t)⟩H evolucionan en el tiempo como
|φ(t)⟩H = Û †(t)|φ⟩.
Es importante decir que los kets |φ(t)⟩H satisfacen la ecuación
ih̄
∂
∂t
|φ(t)⟩H = −Ĥ|φ(t)⟩H
que no es la ecuación de Schrödinger, pues tiene un signo cambiado.
Finalmente consideremos el problema de eigenvalores (2.24) para el esquema
de Dirac. En este caso las observables evolucionan como
ÂI(t) = Û
†
0(t)Â(0)Û0(t),
56 Caṕıtulo 2. Evolución temporal de sistemas cuánticos
donde Û0(t) está dado por la ecuación (2.19). De forma análoga que en el
esquema de Heisenberg se encuentra que los estados base en el esquema
de interacción está determinado por el conjunto {Û †0(t)|φ⟩}, aśı los estados
bases en el esquema de Dirac designados por |φ(t)⟩I evolucionan como
|φ(t)⟩I = Û †0(t)|φ⟩
y satisfacen la ecuación
ih̄
∂
∂t
|φ(t)⟩I = −Ĥ0|φ(t)⟩I .
Los resultados anteriores los podemos resumir en la siguiente tabla:
Esquema Esquema Esquema
Scrödinger Heisenberg Dirac
Estados Evolucionan Estacionarios Evolucionan
|ψ(t)⟩S = Û(t)|ψ(0)⟩ |ψ(t)⟩I = ÛI(t, t0)|ψ(0)⟩
Observables Estacionarios Evolucionan Evolucionan
ÂH(t) = Û
†(t)Â(0)Û(t) ÂI(t) = Û
†
0 (t)Â(0)Û0(t)
Vectores base Estacionarios Evoluciona Evoluciona
|φ(t)⟩H = Û†(t)|φ⟩ |φ(t)⟩I = Û†0 (t)|φ⟩
2.3. Operadores invariantes
Una importante herramienta para la solución de problemas en mecánica
cuántica es encontrar los operadores invariantes (o integrales de movimiento)
del Hamiltonisno del sistema.
Definición 4. Se dice que  es un operador invariante del problema con
Hamiltoniano Ĥ, si en el esquema de Heisenberg la derivada total de  con
respecto al tiempo es cero, es decir:
dÂ
dt
=
∂Â
∂t
+
i
h̄
[
Ĥ, Â
]
= 0. (2.25)
Los operadores invariantes cumplen con las siguientes propiedades im-
portantes:
2.3. Operadores invariantes 57
1. ˆS(t) es operador invariante si y sólo si su valor esperado con respecto
a cualquier estado es constante, es decir
d
dt
⟨Ŝ(t)⟩ = 0.
Propiedad que se sigue de inmediato de la definición.2
2. Cualquier operador Ŝ(t) = Û(t)Ŝ(0)Û †(t), donde Û(t) es el operador
de evolución temporal, es un operador invariante.
El valor esperado del operador S(t) tiene la forma
⟨ψ(t)|Ŝ(t)|ψ(t)⟩ = ⟨ψ(0)|Û †(t)Û(t)Ŝ(0)Û †(t)Û(t)|ψ(0)⟩
es decir
⟨Ŝ(t)⟩ = ⟨ψ(0)|Ŝ(0)|ψ(0)⟩
esto significa que ⟨Ŝ(t)⟩ es constante, por lo tanto, de acuerdo con la
propiedad 1, Ŝ(t) es un operador invariante. 2
3. Los eigenvalores de un operador invariante son independientes del
tiempo.
Sea el operador Ŝ(0), el operador invariante Ŝ(t) al tiempo t = 0, y
|φ(0)⟩ su eigenestado con eigenvalor λ, el cual es independiente del
tiempo
Ŝ(0)|φ(0)⟩ = λ|φ(0)⟩.
Actuando por ambos lados de la ecuación anterior con el operador
Û(t) por el lado izquierdo
Û(t)Ŝ(0)|φ(0)⟩ = λ|φ(t)⟩
e introduciendo el operador identidad Û †(t)Û(t) entre Ŝ(0) y |φ(0)⟩,
con la identificación Ŝ(t) = Û(t)Ŝ(0)Û †(t), obtenemos que
Ŝ(t)|φ(t)⟩ = λ|φ(t)⟩,
y por lo tanto λ es eigenvalor del operador Ŝ(t). Además λ es inde-
pendiente del tiempo por construcción. 2
58 Caṕıtulo 2. Evolución temporal de sistemas cuánticos
4. Cualquier potencia del operador invariante Ŝ(t) es un operador invari-
ante.
Demostraremos esta propiedad por inducción. Sea Ĵ(t) = Ŝ(t)Ŝ(t) =
Ŝ2(t), entonces
Ĵ(t) = Û(t)Ŝ(0)Û †(t)Û(t)Ŝ(0)Û †(t) = Û(t)Ĵ(0)Û †(t).
Entonces por la propiedad 2, Ĵ(t) es un operador invariante. Ahora
por hipótesis
K̂(t) = Ŝ(t) · · · Ŝ(t)︸ ︷︷ ︸
n veces
= Ŝn(t),
es operador invariante, entonces queda por mostrar que
L̂(t) = Ŝ(t) · · · Ŝ(t)︸ ︷︷ ︸
n+1 veces
= Ŝn+1(t),
es operador invariante. Para esto sabemos que L̂(t) = K̂(t)Ŝ(t). Como
por hipótesis K̂(t) es operador invariante, entonces
L̂(t) = Û(t)K̂(0)Û †(t)Û(t)Ŝ(0)Û †(t) = Û(t)L̂(0)Û †(t),
aśı por la propiedad 2, L̂(t) es un operador invariante. 2
5. Si Ŝ(t) es un operador invariante y ψ(t) satisface la ecuación de Schrödinger
entonces Ŝ(t)ψ(t) también satisface la ecuación de Schrödinger.
Supongamos que φ(t) y ψ(t) son solución a la ecuación