CMsegundolab - Juan Felipe Martín Martínez (1)

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Universidad de San Buenaventura
Facultad de Ingenieŕıa
Programa de Ingenieŕıa Mecatrónica
Control
Moderno
2021-II
Autores:
Laura Alejandra Gómez R
Juan Diego Otálora Gómez
Juan David Cruz Contreras
Juan Felipe Mart́ın Mart́ınez
Informe de Laboratorio 2
Control basado en observador
Contenido
1. Procedimiento y Resultados 1
1.1. Sistema de control por realimentación de estados con observador . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Verificación del cumplimiento de los requerimientos del sistema de control . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Cumplimiento Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Error permanente cero ante referencia tipo paso y rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Rechazo de perturbaciones tipo paso y rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Conclusiones 14
1. Procedimiento y Resultados
Para este laboratorio se solicitó analizar un sistema dinámico, el cual se representa en el modelo matemático
de la Ecuación 1. De este modelo matemático se dice que θ(t) es la posición angular del sistema en radianes,
y u(t) es la entrada de control con rango [−4000; +4000].
θ̈(t) = ku(t)− bθ̇(t)− a sin(θ) (1)
Se procede a cumplir el objetivo de control principal, regular y seguir la posición angular del sistema,
rechazando la perturbación a la que se encuentra sometido.
El valor de los parámetros en la planta a controlar serán los siguientes:
k = 0.0355
b = 0.6111
a = 83.7325
Con los datos dados, y al analizar el modelo matemático visto anteriormente, se deduce que el sistema
presente es un sistema no lineal. En la Figura 2, se visualiza el diagrama de bloques del modelo no lineal,
haciendo uso de un subsistema en Simulink como se ve en la Figura 1.
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Control
Moderno
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U
Posición
VelocidadU
Posición
Velocidad
Signal	1
Group	1
Figura 1: Subsistema planta no lineal
sin
1
U 1
Posición
2
Velocidad
Figura 2: Planta no lineal
1.1. Sistema de control por realimentación de estados con observador
Se pide diseñar un sistema de control por realimentación de estados con observador, con el fin de controlar
la posición angular θ(t), la cual es la única variable medida.
Se deben cumplir los siguientes requerimientos de lazo cerrado:
Error permanente cero ante entradas tipo rampa.
Sobre nivel porcentual inferior a 7 %
Tiempo de estabilización de 1 seg.
Rechazo de perturbaciones tipo paso a la entrada de la planta.
Verificar el seguimiento del sistema de control usando la trayectoria mostrada en la Figura 3.
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Control
Moderno
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0 5 10 15 20 25 30
Tiempo(seg)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 a
n
g
u
la
r 
(g
ra
d
o
s
)
Trayectoria deseada
Figura 3: Trayectoria deseada
La trayectoria deseada para la posición se muestra en la Figura 3, esta cuenta con señales paso, aśı como
rampas de diferente pendiente. Por esta razón el sistema requiere manejar diferentes velocidades en cada
sección del trayecto, esto se puede apreciar en la Figura 4.
0 5 10 15 20 25 30
Tiempo(seg)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 a
n
g
u
la
r 
(g
ra
d
o
s
)
Trayectoria deseada derivada
Figura 4: Primer derivada de la trayectoria deseada
3
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Esta primera derivada de la señal de seguimiento Figura 4, se utilizará más adelante en el sistema de control
de lazo cerrado. La segunda derivada de esta señal de seguimiento se observa en la Figura 5, que corresponde
a una constante cero de la señal.
0 5 10 15 20 25 30
Tiempo(seg)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 a
n
g
u
la
r 
(g
ra
d
o
s
)
Trayectoria deseada 2da derivada
Figura 5: Segunda derivada de la trayectoria deseada
Para el diseño del controlador se analizarán las perturbaciones internas y externas, tomando su suma como
la perturbación total como lo evidencia la Ecuación 2.
θ̈ = ku+ ξ = 0.0355u+ ξ (2)
Para la perturbación externa se tiene en cuenta el rechazo tipo paso descrito en los requerimientos de
diseño.
ξint = −bθ̇ − a sin(θ) (3)
Aśı mismo al analizar la perturbación interna que corresponde a la Ecuación 3 con sus valores correspon-
dientes se obtiene:
ξint = −0.6111θ̇ − 83.7325 sin(θ)
La perturbación interna anterior equivale a la suma de ξp en su parte polinómica y ξa para su parte
armónica. En la parte polinómica tenemos en cuenta las variaciones que tiene la velocidad angular θ̇ a pesar
de tener una trayectoria paso para esta, se tomará como rampa.
De esta manera la perturbación total anteriormente descrita corresponde a:
ξ = ξint + ξp + ξa
ξ = ξpaso + ξrampa + ξarmonica
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En la perturbación armónica se tuvo en cuenta la pendiente más grande que deberá seguir el sistema,
encontrada en el intervalo de 9 hasta 12 segundos de la Figura 4. El cálculo de esta pendiente correspondiente
a la velocidad angular de este tramo se evidencia a continuación:
m = ω1 =
θ2 − θ1
t2 − t1
ω1 =
−90− 90
12− 9
= −60
Para lo que finalmente se tendrá en cuenta la perturbación rampa y armónica, ξ = ξr + ξa. Para los estados
y matriz de la perturbación rampa ξr, se tiene en cuenta su segunda derivada como cero:
ξ̈r = 0
De lo que se obtienen los siguientes estados:
x1
ξr = ξr
x2
ξr = ξ̇r
Aξr =
[
0 1
0 0
]
Aśı mismo la perturbación armónica ξa, se tiene el siguiente procedimiento:
ξ̈a + ω1
2ξa = 0
ξ̈a = −ω12ξa
x1
ξa = ξa
x2
ξa = ξ̇a
Aξa =
[
0 1
−ω12 0
]
Para las siguientes estados de la planta, posición y velocidad angular respectivamente, se tuvo en cuenta
la Ecuación 2, incluyendo su componente polinómica y armónica:
x1 = θ → ẋ1 = x2
x2 = θ̇ → ẋ2 = θ̈ = ku+ ξ → θ̈ = ku+ ξr + ξa
Por consiguiente, los estados que se tendrán en cuenta para el sistema aumentado:
xa =

x1
x2
x3
x4
x5
x6

=

θ
θ̇
ξr
ξ̇r
ξa
ξ̇a

5
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De acuerdo a lo anterior, la distribución de las matrices obtenidas corresponden a:
Aa =

0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 −(602) 0

Ba =

0
0.0355
0
0
0
0

Ca = [ 1 0 0 0 0 0 ]
La equivalencia entre las matrices anteriores del sistema se tiene en términos matriciales como:
ẋa = Aaxa +Bau
y = Caxa
Para el observador tenemos en cuenta estas ecuaciones anteriores a las que se agrega las constantes de
Luenberger y sus valores estimados:
ˆ̇xa = Aax̂a +Bau+ L(y − ŷ)
ŷ = Cax̂a
Simplificando se obtienen las ecuaciones y matrices correspondientes del observador.
ẋa = Aaxa +Bau+ Ly − LCaxa
ẋa = (Aa − LCa)xa +Bau+ Ly
Con esto se obtiene las ecuaciones de estado del observador, la cuales seŕıan igual a:
ẋa = (Aa − LCa)xa +
[
Ba L
] [ u
y
]
ˆ̇x = Aobsx̂+Bobsuobs
Ya conociendo los datos en espacios de estados de la planta y el observador, se procede a hallar el valor de
las ganancias L en el observador respecto a los valores propios de la matriz Aobs, haciendo uso del siguiente
código en MATLAB:
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1 %Observador
2 clc,clear;
3 k=0.0355;
4
5 Aa=[0 1 0 0 0 0;...
6 0 0 1 0 1 0;...
7 0 0 0 1 0 0;...
8 0 0 0 0 0 0;...
9 0 0 0 0 0 1;...
10 0 0 0 0 -(60ˆ2) 0];
11 Ba=[0 k 0 0 0 0]';
12 Ca=[1 0 0 0 0 0];
13 L=place(Aa',Ca',[-10 -100 -101 -102 -103 -104])';
14
15 Aobs=Aa-(L*Ca);
16 Bobs=[BaL];
17 Cobs=[0 1 0 0 0 0;...
18 0 0 1 0 0 0;...
19 0 0 0 0 1 0];
20 Dobs=zeros(3,2);
En el anterior procedimiento se tuvo en cuenta un tiempo de estabilización ts = 0.4, menor al que se tendrá
en el controlador. Los valores de la matriz L, son iguales a:
L1 = 520.1977
L2 = 1.0562 ∗ 105
L3 = 4.5769 ∗ 106
L4 = 3.0715 ∗ 107
L5 = 5.2147 ∗ 106
L6 = 2.3721 ∗ 108
Para la construcción del controlador se tuvo en cuenta la ley de control correspondiente a este sistema:
u =
1
k
{
θ̈ − ξ
}
u =
1
0.0355
{
r̈ − k0(y − r)− k1(ˆ̇y − ṙ)− ξ̂
}
Esta ley de control tiene en cuenta la perturbación total como se hizo anteriormente, parte rampa y
armónica, quedando al reemplazar:
u =
1
0.0355
{
r̈ − k0(y − r)− k1(ˆ̇y − ṙ)− ξ̂r − ξ̂a
}
Tenemos que los valores que no se miden directamente corresponden a la velocidad angular ẏ y las respec-
tivas estimaciones de las perturbaciones, términos que definieron la matriz de salida del observador Cobs.
ÿ − r̈ + k0(y − r) + k1 (̂̇y − ṙ) = −ξ̂r − ξ̂a + ξ
Se procede a calcular las ganancias k0 y k1, como se evidencia en el siguiente procedimiento teniendo en
cuenta una estimación ideal:
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ë+ k1ė+ k0e =
(
ξr − ξ̂r
)
+
(
ξa − ξ̂a
)
+ k1(ẏ −ˆ̇y)
s2 + k1s+ k0 = (s+ 1.6) (s+ 16)
Para el controlador y según los requerimientos anteriormente descritos, se tiene en cuenta un tiempo de
estabilización ts = 1s, siendo aún más grande que el utilizado para el diseño del observador. Aśı mismo, se
tuvo en cuenta los tiempos de variación de la señal de referencia para obtener un mejor seguimiento.
1 S1=-4; S2=-40;
2
3 % Gdes=zpk([],[S1 S2],1);
4 % step(Gdes)
5 P=poly([S1 S2]);
6
7 k1=P(2);
8 k0=P(3);
De esta manera se obtuvo con el anterior código las ganancias en MATLAB:
k0 = 160
k1 = 44
1.2. Verificación del cumplimiento de los requerimientos del sistema de control
Para la verificación de los requerimientos anteriormente establecidos se implementó el sistema de control
en el modelo no lineal de la planta.
La construcción de este se tiene en la Figura 6 donde se realiza la conversión de la referencia en grados de
la gráfica 3, a radianes.
r
dr
ddr
Group	1
U
Posición
Velocidad
[r]
[r]
Figura 6: Sistema lazo cerrado
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Con la referencia y el sistema de control de la anterior Figura 6, se obtiene la señal que se observa en la
Figura 7. Se observa el cumplimiento al seguimiento con un nivel porcentual inferior a 7 %, además se observa
el rechazo activo de perturbaciones tipo paso y tipo rampa a la entrada de la planta. Aśı como el transitorio
presentado en el seguimiento paso.
0 5 10 15 20 25 30
Tiempo(seg)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
P
o
s
ic
ió
n
(R
a
d
)
Respuesta del sistema con observador y control
Referencia
Respuesta del sistema
Figura 7: Respuesta del sistema de control con observador
El error del sistema de control se observa en la Figura 8, en la cual se observa un constante rechazo y por
ende un error cero, del tiempo 0 hasta aproximadamente 21 segundos. Seguido a esto, se visualiza un pico en
la gráfica de error, ya que a los 21, 24 y 27 segundos se presenta la referencia tipo paso.
Siendo el valor más grande en su cambio a los 24 segundos debido al cambio de posición angular que se
quiere lograr. Esta gráfica nos permite ver de nuevo el tiempo de estabilización escogido para el control donde
el valor del error vuelve a cero.
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0 5 10 15 20 25 30
Tiempo(seg)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
P
o
rc
e
n
ta
je
 d
e
 e
rr
o
r
Error del LC
Figura 8: Error del sistema de control
La señal de control del sistema en lazo cerrado se puede observar en la Figura 9, donde se visualiza el
cumplimiento del rango de entrada de la señal de control, debido a que no supera el rango de [−4000,+4000].
Se analiza también los picos que esta señal env́ıa en los momentos que se presenta cambio de referencia, esto
para corregir la posición, controlar la velocidad en las secciones que debe quedar en una misma posición y
mantener un correcto seguimiento.
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Tiempo(seg)
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
R
a
n
g
o
 e
n
tr
a
d
a
 d
e
 c
o
n
tr
o
l
Señal de control
Figura 9: Señal de controlen lazo cerrado
En la Figura 10, se puede analizar la fase de margen y de ganancia del sistema de control, en este caso el
sistema presenta:
Para el análisis de fase, la magnitud corta en cero aproximadamente a una frecuencia de 1 rad/s, valor
donde la fase se encuentra por encima de los -180 grados, aproximadamente -15.6 grados, dando a entender
que su margen de fase es positivo de 164.4 grados. Esto da a entender que el sistema en dicha frecuencia es
estable en lazo cerrado.
Para el análisis de ganancia, se obtiene que la fase corta en -180 grados en aproximadamente 5.2∗103 rad/s,
observando un margen positiva de 105 dB.
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Diagrama de Bode ref(k) a w(k)
Frecuencia (rad/s)
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106
-180
-135
-90
-45
0
F
a
s
e
 (
d
e
g
)
-200
-150
-100
-50
0
From: Gain3 To: Subsystem2/1
M
a
g
n
it
u
d
 (
d
B
)
linsys1
Figura 10: Bode referencia y salida del sistema de control
El sistema por lo tanto, es estable en lazo cerrado aśı como para frecuencias altas y bajas, con un muy
buen grado de robustez, lo que significa que permitirá tener errores de modelado en la planta y seguir de esta
forma funcionando y cumpliendo los requerimientos propuestos.
1.3. Cumplimiento Teórico
1.3.1. Error permanente cero ante referencia tipo paso y rampa
Para el análisis de este sistema se tuvo en cuenta el teorema de valor final para el cual se obtuvo con
ayuda de MATLAB la función de transferencia respecto al sistema en lazo cerrado GC(s)G(s), descrita a
continuación.
G(s) =
0.0355
s2 + 0.6111s+ 83.73
Gc(s)G(s) =
160(s+ 104.1)(s+ 100.8)(s+ 100)(s+ 10)(s2 + 205.3s+ 1.054x104)
s(s+ 8.748)(s2 + 282.7s+ 2.005x104)(s2 + 76.55s+ 2106)(s2 + 196.8s+ 1.317x104)
Para la señal tipo paso en la referencia se tiene que en función de transferencia corresponde a:
Ref (s) =
1
s
Teniendo el error para la referencia como:
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EPRef = s
1
s
(
1
1 +Gc(s)G(s)
)
EPRef =
1
1 + 1.77∗10
13
s
→ 1
1 +∞
≈ 0
De esta forma el error que tiene el sistema respecto a una entrada paso en la referencia es cero.
El análisis para el error respecto a una entrada rampa corresponde a:
Ref (s) =
1
s2
Reemplazando esto en el teorema del valor final se tiene:
EPRef = s
1
s2
(
1
1 +Gc(s)G(s)
)
EPRef =
1
s
(
1
1 + 1.77∗10
13
s∗4.8∗1012
)
EPRef =
1
s+ 3.7
→ 1
3.7
≈ 0.27
Este resultado se debe a que el sistema se tomó como si el observador hiciera una estimación ideal, pero
debido a que solamente se tomó la pendiente con magnitud mayor, esto deriva en un pequeño error en el
seguimiento ante entrada rampa en el sistema.
1.3.2. Rechazo de perturbaciones tipo paso y rampa
Para el análisis respecto al rechazo de perturbaciones se tiene en cuenta la linealización hecha a la planta
G(s), a través de Simulink, descrita a continuación.
G(s) =
0.0355
s2 + 0.6111s+ 83.73
Para la señal tipo paso en la perturbación se tiene que en función de transferencia corresponde a:
ξ (s) =
1
s
Teniendo el error para la referencia como:
EPξ = s
1
s
(
G
1 +Gc ·G
)
EPξ =
0.0355
83.73
1 + 1.77∗10
13
0→ 4.24 ∗ 10
−4
1 +∞
≈ 0
Es decir que el rechazo que se tendrá para la perturbación tipo paso se dará de manera eficiente.
El análisis para el error respecto a una entrada rampa corresponde, al igual que en la referencia a:
ξ (s) =
1
s2
13
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Reemplazando esto en el teorema del valor final se tiene, en este:
EPξ = s
1
s2
(
G
1 +Gc ·G
)
EPξ =
(
0.0355
83.73
1 + 1.77∗10
13
4.8∗1012
)
EPξ =
4.24 ∗ 10−4
s+ 3.6875
≈ 1.1498 ∗ 10−4
2. Conclusiones
1. El tiempo de estabilización seleccionado para el observador optimiza la respuesta dada en la señal del
controlador debido a la estimación rápida de valores no medibles que este entrega a la planta.
2. Para un correcto diseño de un observador extendido se debe tener en cuenta las perturbaciones presen-
tadas en el sistema, tanto armónicas como polinómicas, debido a que esto permite diseñar un correcto
rechazo. Además, influye en el análisis la referencia que se quiere seguir, puesto que esto interviene en el
comportamiento de las perturbaciones internas en el sistema.
3. Para el cumplimiento de los requisitos del sistema, se diseñó un controlador de rechazo activo de pertur-
baciones (ADRC) que gracias al análisis de margen de fase y ganancia realizado al control, se observa
que el sistema es estable en lazo cerrado, para bajas y altas frecuencias. Esto se visualiza en la robustez,
en donde sus valores de margen de fase son positivos, al igual que el de ganancia, lo que significa que
tolerará errores en el modelado. Con esto en mente, se verifica que el control ADRC tiene una robustez
alta y también muestra una buena eficiencia a la hora de rechazar las perturbaciones de la señal dada.
14
	Procedimiento y Resultados
	Sistema de control por realimentación de estados con observador
	Verificación del cumplimiento de los requerimientos del sistema de control
	Cumplimiento Teórico
	Error permanente cero ante referencia tipo paso y rampa
	Rechazo de perturbaciones tipo paso y rampa
	Conclusiones