ElementosCuadernillo1_1 - Anabel Barrera

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Elementos de Matemática y Estadística
CUADERNILLO 1
UNIDAD 1: ARITMÉTICA ELEMENTAL
Unidad 1 – Cuadernillo 1
Contenido
1. NÚMEROS ENTEROS.....................................................................................................................4
a. El conjunto de los números enteros.......................................................................................4
b. Orden y representación de los números enteros en la recta numérica...........................4
2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I.............................................................................5
a. Suma y resta................................................................................................................................5
b. Producto.......................................................................................................................................5
i. Regla de los signos..................................................................................................................5
ii. Propiedad distributiva............................................................................................................6
c. Cociente........................................................................................................................................6
i. Regla de los signos..................................................................................................................6
ii. Propiedad distributiva............................................................................................................6
d. Operaciones combinadas.........................................................................................................7
e. Supresión de paréntesis, corchetes y llaves.........................................................................8
f. Resolución de ecuaciones.........................................................................................................8
3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS II.........................................................................10
a. Potenciación..............................................................................................................................10
i. Regla de los signos...............................................................................................................10
ii. Signo del exponente.............................................................................................................10
iii. Propiedad distributiva.........................................................................................................11
iv. Producto de potencias de igual base..............................................................................11
v. Cociente de potencias de igual base................................................................................12
vi. Potencia de potencia..........................................................................................................12
vii. Cuadrado de un binomio...................................................................................................12
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Elementos de Matemática y Estadística
viii. Cubo de un binomio..........................................................................................................13
b. Radicación.................................................................................................................................13
i. Definición.................................................................................................................................13
ii. Regla de los signos..............................................................................................................13
iii. Propiedad distributiva.........................................................................................................14
iv. Potencias de exponente racional.....................................................................................14
c. Operaciones combinadas con potenciación y radicación...............................................14
d. Resolución de ecuaciones con potenciación y radicación..............................................15
e. Concepto de módulo o valor absoluto.................................................................................16
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Unidad 1 – Cuadernillo 1
UNIDAD 1: ARITMÉTICA
ELEMENTAL
1. NÚMEROS ENTEROS
a. El conjunto de los números 
enteros
Los números enteros se utilizan para numerar va-
riables discretas, es decir, que no asumen valores
fraccionarios. Por ejemplo: número de integrantes de
un grupo, cantidad de unidades producidas por una
máquina, etc. 
El conjunto de los números enteros abarca a los
enteros positivos y negativos, y al número cero.
goo.gl/YyZbnz 
 Recurso Multimedia 1
b. Orden y representación de los números enteros en la 
recta numérica
Para representar los números y su ordenamiento de una manera clara y sencilla, usamos
la recta numérica. En ella representamos al cero en el medio, los números negativos hacia la
izquierda, y los positivos hacia la derecha, de manera creciente.
La ubicación de los números en la recta numérica nos indica la relación entre los mis-
mos. Por ejemplo, si queremos ordenar de manera creciente los números 11, -24 y 5, tendre-
mos:
4
http://goo.gl/YyZbnz
Elementos de Matemática y Estadística
Al ubicarlos sobre la recta numérica, queda claro que la relación existente es: −24<5 y
5<11. En orden creciente: –24; 5; 11.
2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
a. Suma y resta
Siempre que tenemos dos números con el mismo signo, se suman, y el resultado obteni-
do lleva el mismo signo que los sumandos. Por ejemplo:
7+3=10
−7−3=−10
La suma de dos números negativos puede pensarse como la suma de dos deudas; lo
que se obtiene es el monto total adeudado.
Si debemos sumar números con signos diferentes, se restan, y el resultado lleva el signo
del número de mayor valor absoluto. Aquí también es útil pensar los números positivos co -
mo ingresos y los negativos como egresos. 
Si los ingresos son mayores que los egresos, el re-
sultado final es positivo; si los egresos son mayores, el
resultado de la operación es negativo.
−5+9=4
6−11=−5
Para realizar una suma algebraica (una sucesión de
sumas y restas), sumamos todos los números positi-
vos, luego sumamos todos los negativos, y posterior-
mente a la primera cantidad le restamos la segunda:
−8+6+5−10−4=(6+5 )−(8+10+4 )=11−22=−11
goo.gl/zXf6sj
Recurso Multimedia 2
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http://goo.gl/zXf6sj
Unidad 1 – Cuadernillo 1
b. Producto
i. Regla de los signos
El producto de dos números del mismo signo da resultado positivo:
4 ∙3=−4 ∙(−3 )=12
El producto de dos números de signos opuestos da resultado negativo:
−4 ∙3=4 ∙ (−3)=−12
ii. Propiedad distributiva
La multiplicación es distributiva respecto de la suma y de la resta:
 6 ∙(4+5 )=6 ∙ 4+6 ∙5 
 6 ∙9=24+30
 54=54
c. Cociente
La división de dos números cualesquiera puede expresarse como una razón o fracción.
El número de arriba es el dividendo o numerador, y el de abajo es el divisor o denominador.
a b = 
a
b
Una restricción para esta operación es que el denominador debe ser distinto de cero, ya
que la división por cero no está definida en la matemática1.
i. Regla de los signos
Es igual que en el producto: para dividendo y divisor del mismo signo, el resultado (que
se denomina cociente) es positivo, si tienen signos contrarios es negativo.
1La razón por la cual esta operación no está definida es la siguiente: Si dividimos un número por una canti-
dad cada vez más pequeña, obtenemos un resultado cada vez más grande. Por ejemplo: 10:1=10; 10: 0,1=
100; 10: 0,001= 1000; 10:0,0001 = 10.000. Es decir que, si dividimos por un número que tiende a cero, el re -
sultado tiende a infinito.
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Elementos de Matemática y Estadística
ii. Propiedad distributiva
En la suma y en la resta, puede distribuirse el numerador, pero no el denominador:24+8
4
= 24
4
+ 8
4
 
 
32
4
=6+2 
 8=8 
 
12
2+1
≠ 12
2
+ 12
1
 
12
3
≠6+12
 4≠ 8
d. Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas, primero debemos separar en términos. Los tér-
minos quedan limitados por los signos más y menos
Por ejemplo:
 −4−12 ∙2:8+5 ∙6+6 ∙5:10
Dividimos en términos:
−4⏞−12 ∙2 :8⏞+5 ∙6⏞+6 ∙5:10⏞
Resolvemos cada uno de los términos:
12 ∙2:8=24: 8=3
5 ∙6=30
6 ∙5:10=30:10=3
Ubicamos cada resultado parcial en la operación:
−4−3+30+3
El –3 y el 3 pueden cancelarse, ya que son opuestos, entonces su suma da cero:
−4−3+30+3=−4+30=26
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Unidad 1 – Cuadernillo 1
e. Supresión de paréntesis, corchetes y llaves
Se suprimen en primer lugar los paréntesis, luego los corchetes, y por último las llaves
12−{60:[10+2 ∙(−9+6)+11]−5 ∙(2−4) }+3
Primero resolvemos las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis
12−{60:[10+2 ∙(−3)+11]−5 ∙(−2)}+3
Eliminamos los paréntesis, teniendo en cuenta la regla de los signos para el producto
12−{60: [10−6+11 ]+10}+3
Ahora resolvemos las operaciones que están dentro del corchete:
12−{60:15+10 }+3
Resolvemos las operaciones de la llave:
12−{4+10 }+3=12−{14 }+3
Eliminamos la llave, y resolvemos las últimas operaciones: 12−14+3=15−14=1.
f. Resolución de ecuaciones
Una ecuación es una igualdad de la que se desco-
nocen uno o más elementos. Por lo general se designa
a las incógnitas con las últimas letras del alfabeto
(x , y , z ).
Nosotros vamos a trabajar por ahora con ecuacio-
nes con una incógnita.
Para resolverlas, debemos “despejar” la incógnita,
es decir, ir pasando al otro miembro de la igualdad los
elementos que no contienen a la incógnita.
Por ejemplo:
 13−6 x : (−7 )=1
Dividimos en términos:
13⏞−6 x : (−7 )⏞=1
goo.gl/HVzYLU
Recurso Multimedia 3
 
8
http://goo.gl/HVzYLU
Elementos de Matemática y Estadística
Primero pasamos los términos que no tienen x . En es-
te caso el 13, que está sumando, pasará restando al otro 
miembro: 
13−6 x :(−7)=1
−6 x :(−7)=1−13
−6 x :(−7)=−12
 
Ahora tenemos que pasar los elementos que están en
el mismo miembro que x . Al pasar un número al otro
miembro, se cambia la operación que realizaba por su
opuesta: suma por resta, resta por suma, producto por di-
visión, división por producto.
En nuestro caso, el –7, que divide a x , pasa multipli-
cando; y el –6, que multiplica a x , pasa dividiendo: 
goo.gl/9fje6u
Recurso Multimedia 4
−6 x : (−7 )=−12
−6 x=−12 ∙ (−7 )
−6 x=84
x=84: (−6 )
x=−14
Para comprobar si está bien, podemos reemplazar x 
por el resultado obtenido en la ecuación, y ver si se sa-
tisface la igualdad:
13−6.(−14):(−7)=1
13−(−84) :(−7)=1
13−12=1
1=1
 
 
goo.gl/derbGf 
Recurso Multimedia 5
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http://goo.gl/9fje6u
http://goo.gl/derbGf
Unidad 1 – Cuadernillo 1
3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS II
a. Potenciación
La potenciación consiste en multiplicar un número (la base) por sí mismo la cantidad de
veces que indique el exponente:
an=a ∙ a∙ a∙ a…a⏟
n veces
El número que ocupa el lugar de la a se denomina “base”, y el que ocupa el lugar de la n
se denomina “exponente”.
i. Regla de los signos
EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR EJEMPLO
BASE POSITIVA
RESULTADO 
POSITIVO
RESULTADO 
POSITIVO
32=9
33=27
BASE NEGATIVA
RESULTADO 
POSITIVO
RESULTADO 
NEGATIVO
(−4)2=16
(−4)3=−64
ii. Signo del exponente
Cuando el exponente es negativo, se invierte la base.
Ejemplos:
 2−3=( 12)
3
=1
8
 
 ( 34 )
−2
=( 43 )
2
=16
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Elementos de Matemática y Estadística
 (−25 )
−3
=(−52 )
3
=−125
8
 (−12 )
−4
=(−21 )
4
=16
iii. Propiedad distributiva
La potenciación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta.
 (3+4)2≠32+42
 72≠ 9+16
 49≠25
La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división.
(3 ∙5 )2=32 ∙52 
 152=9 ∙25 
 225=225 
iv. Producto de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la misma base elevada a un
exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.
ab ∙ac=ab+c
Ejemplo:
43 ∙42=43+2=45=1024
v. Cociente de potencias de igual base
El cociente de dos potencias de igual base es igual a la misma base elevada a un expo-
nente que se obtiene restando los exponentes del dividendo y el divisor
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Unidad 1 – Cuadernillo 1
ab
ac
=ab−c
Ejemplo:
67 :65=67−5=62=36
vi. Potencia de potencia
La potencia de otra potencia es igual a una potencia de la misma base elevada al produc-
to de los exponentes dados.
(ab)c=ab∙ c
Por ejemplo:
 (32)3=32 ∙3=36=729.
vii. Cuadrado de un binomio
Como la potenciación no es distributiva respecto
de la suma ni de la resta, para calcular el cuadrado de
un binomio debemos multiplicar el binomio por sí mis-
mo.
(a+b )2=(a+b) ∙ (a+b )=a2+ab+ab+b2
Entonces:
(a+b )2=a2+2ab+b2
(a−b )2=a2−2ab+b2
Ejemplos:
goo.gl/jFv5cS
Recurso Multimedia 6
 (4 x+3 y3)2=(4 x )2+2 ∙4 x ∙3 y3+(3 y3)2=16 x2+24 x y3+9 y6
 (5 x4−2 x2)2=(5 x 4)2−2 ∙5 x4 ∙2 x2+(2 x2)2=25 x8−20 x6+4 x4
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http://goo.gl/jFv5cS
Elementos de Matemática y Estadística
viii. Cubo de un binomio
Se calcula del mismo modo que el cuadrado. Las fórmulas resultantes son:
(a+b )3=a3+3 a2b+3 ab2+b3
(a−b )3=a3−3a2b+3 ab2−b3
Ejemplos:
(3 b+4 c5 )2=(3 b)3+3 ∙ (3b )2 ∙4 c5+3 ∙3b ∙(4 c5)2+(4 c5)3=27b3+108b2 c5+144 b c10+64 c15
( z6−z8)3=(z6)3−3 ∙ ( z6)2 ∙ z8+3 ∙ z6 ∙ ( z8 )2−( z8)3=z18−3 z20+3 z22−z24
b. Radicación
i. Definición
n√a=b↔bn=a con n, el índice; a, el radicando y b, la raíz.
Por ejemplo:
3√8=2↔23=8
Para resolver una raíz, debemos buscar el número que elevado al índice nos dé el radi-
cando. En el ejemplo dado, la raíz cúbica de 8 es 2 porque 2 elevado al cubo da 8.
ii. Regla de los signos
RADICANDO 
POSITIVO
RADICANDO 
NEGATIVO
EJEMPLO
ÍNDICE PAR
RESULTADO 
POSITIVO
NO TIENE 
SOLUCIÓN EN ℝ
4√16=2
4√−16 ∉ℝ
ÍNDICE IMPAR
RESULTADO 
POSITIVO
RESULTADO 
NEGATIVO
3√8=2
3√−8=−2
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Unidad 1 – Cuadernillo 1
iii. Propiedad distributiva
La radicación no es distributiva respecto de la suma ni de la resta.
 √16+9≠√16+√9
 √25≠4+3
 5≠ 7
La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la división.
 √9 ∙4=√9 ∙√4
 √36=3 ∙2
 6=6
iv. Potencias de exponente racional
Cuando el exponente es una fracción, el numerador es el exponente, y el denominador es
el índice.
a
b
c= c√ab
Por ejemplo: 
16
3
4=4√163=23=8.
c. Operaciones combinadas con potenciación y radica-
ción
Para resolver ejercicios combinados con potencias y raíces se siguen los mismos linea-
mientos generales que con las operaciones ya vistas.
Veamos un ejemplo:
3√[−10+√(−4)2+32]∙(7−9)+24−(−1) 
Dividimos en términos:
3√[−10+√(−4)2+32]∙(7−9)⏟+24⏟−(−1)⏟
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Elementos de Matemática y Estadística
Resolvemos las operaciones parciales:
 3√ [−10+√16+9 ] ∙ (−2)+16+1 
 3√ [−10+√25 ] ∙ (−2)+17 
 3√−5 ∙ (−2)+17 
 3√10+17 
 Sumamos los resultados de los términos y calculamos la raíz:
 3√27=3
d. Resolución de ecuaciones con potenciación y radica-
ción
Al igual que en los casos anteriores, para resolver una ecuación con potenciación y radi-
cación, dividimos en términos, y vamos resolviendo los que no contengan a la incógnita
Desarrollaremos un ejemplo:
√(2 x−7 )3+23=22 ∙ (−3 ): (−6)+1
Resolvemos las operaciones parciales:
√(2 x−7 )3+23=22 ∙ (−3 ): (−6)+1
√(2 x−7 )3+23=4 ∙(−3 ): (−6)+1
√(2 x−7 )3+23=−12: (−6)+1
√(2 x−7 )3+23=2+1
√(2 x−7 )3+23=3
Pasamos la raíz como potencia:
(2 x−7)3+8=32
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Pasamos el 8 restando:
(2 x−7)3=9−8
Pasamos el cubo como raíz cúbica:
 
2x−7= 3√1
2x=1+7
2 x=8
x=8 :2
x=4
e. Concepto de módulo o valor absoluto
El módulo o valor absoluto de un número es la cantidad que se expresa, sin tomar en
cuenta el signo.
El concepto de módulo está relacionado con el de la distancia entre dos puntos. Por
ejemplo, si viajamos de Buenos Aires a Mar del Plata, recorremos una distancia de 400 km.
Si realizamos el viaje desde Mar del Plata hacia Buenos Aires, también recorremos 400 km;
no “–400 km”.
El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales: |5|=5 o |−5|=5.
Cuando debemos resolver una ecuación en la que figuran exponentes pares afectando a
la variable que debemos averiguar, obtendremos dos resultados, ya que al pasar el exponen-
te como índice, debemos agregar barras de módulo:
 (2 x−12)2=4
 |2 x−12|=√4
 |2 x−12|=2
2 x−12=2
 2 x=14
 x=7
 2 x−12=−2
 2 x=10
 x=5
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Elementos de Matemática y Estadística
Si reemplazamos en la ecuación, veremos que am-
bos resultados satisfacen la igualdad:
Si x=7:
 (2 ∙7−12)2=4
 (2)2=4
 4=4
Si x=5:
 (2 ∙5−12)2=4
 (−2)2=4
 4=4
goo.gl/tNSVdp
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