02_ECUACIONES E INECUACIONES (GUIA DE EJERCIOS)

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MATEMÁTICA I - Ecuaciones e inecuaciones PRÁCTICO
Ecuaciones e inecuaciones
Ejercicio 1 Graficar en la recta numérica los subconjuntos de números reales, llamados intervalos.
a) Intervalo cerrado [−3, 2] = {x/x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 2}
b) Intervalo abierto (0, 5) = {x/x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 5}
c) Intervalo semiabierto [−2, 3) = {x/x ∈ R ∧ −2 ≤ x < 3}
d) Intervalo infinito o rayo [−1,+∞) = {x/x ∈ R ∧ x ≥ −1}
Ejercicio 2 Escribe todos los subconjuntos de números reales con la notación conjuntista por ex-
tensión y graficalos en la recta
a) [−2, 0)
b) (−∞,+∞)
c) (−2, 4)
d) (−1,+∞)
Ejercicio 3 Dados
A = {x /x ∈ R, 0 < x ≤ 1}
B = {x /x ∈ R, −10 < x ≤ 5}
C = {x /x ∈ R, −1 < x ≤ 0}
Obtener:
a) A ∪B
b) A ∪ C
c) B ∪ C
d) A ∩B
e) (A ∪B) ∩A
f) (A ∪ C) ∩B
g) (A ∩ C) ∪B
En todos los casos, graficar los conjuntos en la recta real.
(ver pistas)
Ejercicio 4 Resolver las siguientes ecuaciones.
a) 6(2y + 3)− 4(y − 5) = 0
b) 15x+ 4 = 5−
2
7x
c)
3 + 5x
5
=
4− x
8
d)
13 + 2x
4x+ 1
=
3
4
e) 6− 5
x
= 4 +
3
4
f)
2x− 9
4
= 2 +
x
12
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MATEMÁTICA I - Ecuaciones e inecuaciones PRÁCTICO
g)
3
7x− 2
=
9
3x+ 1
h)
3
y
+
6
y
− 1
y
= 11
i) (3x− 2)2 = (x− 5)(9x+ 4)
j) (4x− 7)(2x+ 3)− 8x(x− 4) = 0
k) (2x+ 9)(4x− 3) = 8x2 − 12
l)
3x+ 1
6x− 2
=
2x+ 5
4x− 13
m)
2
5
+
4
10x+ 5
=
7
2x+ 1
n) (x− 3)(x+ 2) = 0
ñ) (x+ 4)(x− 1)(x− 6) = 0
o) 3x2 + 6x = 0
p) x3 + x = 0
Ejercicio 5 Resuelva la desigualdad y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que
sea posible.
a) 2x+ 5 ≤ 8
b) 3− 5x < 11
c) x− 6 > 5x+ 3
d) 9 + 13x ≥ 4−
1
2x
e) 3 + 32x ≥ 1−
1
2x
f)
1
2
(
1 + 13x
)
≥ 4− 14x
g) 4 ≥ 3x+ 5 > −1
h) −2 < 4x+ 1
3
i) 5 ≥ 6− 5x
3
j) −2 < 3 + 14x ≤ 5
k) (2x− 3)(4x+ 5) ≤ (8x+ 1)(x− 7)
l) (x− 3)(x+ 3) ≥ (x+ 5)2
m) (x− 4)2 > x(x+ 12)
Ejercicio 6 Determinar los valores de x en los cuales se cumplen las siguientes desigualdades. Es-
cribirlos en cada caso como intervalos y graficarlos en una recta.
a)
3
2
x− 6 > 0
b)
3
2
x− 6 < 0
c)
3
2
x− 6 = 0
d) 2x+ 6 ≥ 0
e) 2x+ 6 < 6
f)
Å
3
2
x− 6
ã
· (2x+ 6) > 0
Ejercicio 7 Escribir el conjunto solución A = {x ∈ R/(x− 1)(x+ 1) < 0} como intervalos o unión
de intervalos. Realiza su representación en la recta.
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MATEMÁTICA I - Ecuaciones e inecuaciones PRÁCTICO
Ejercicio 8 Escribir el conjunto solución A =
ß
x ∈ R/7x− 2
x
> 5
™
como intervalos o unión de
intervalos. Realiza su representación en la recta.
Ejercicio 9 Escribir el conjunto solución A =
ß
x ∈ R/ 7x
x+ 5
> 2
™
como intervalos o unión de inter-
valos. Realiza su representación en la recta.
Ejercicio 10 En una ruta de 350 km de longitud se controla el tránsito utilizando dos radares colo-
cados en puntos estratégicos, El primero se ubicó en el km 150 y tiene un alcance de 25
km (inclusive). el segundo, cubre todas las posiciones que verifican la desigualdad
|x− 210| ≤ 30
a) ¿ Cuáles son todas posiciones de la ruta, cubierta por el primer radar ? Expresa la
respuesta en términos de
(i) intervalos
(ii) distancia
(iii) módulo
(iv) gráfico
b) ¿ Cuál es la ubicación y el alcance del segundo radar?.
c) ¿ Qué posiciones no alcanza el segundo radar?.Escribir como intervalos
d) Una persona viaja por esa ruta desde un punto A, en el km 130, hasta la ciudad
B, en el km 230. ¿ Qué parte o todo el recorrido estará controlado por los radares
? ¿ Por qué? Realizar un esquema. ver pistas
Ejercicio 11 Expresar estos conjuntos numéricos por extensión o como intervalos. Luego graficar en
la recta numérica.
a) S = {x ∈ R/x < 1 ∨ x > 3}
b) S =
ß
x ∈ R/(x− 6)(x+ 4)
x2 − 36
= 0
™
c) S = {x ∈ R/|x− 22| < 3}
Ejercicio 12 Resolver las siguientes inecuaciones con módulo y expresa como intervalos el conjunto
solución.
a) |x− 4| ≤ 8
b) |3x+ 2| ≥ | − 7 + 2|
c) 3 + |x− 2| < 6
d) |3− 4x| − 11 > −6
e) −2|x+ 1| ≤ −5
f) |5− x|+ 2 ≥ 9
g) 3 + |x+ 1|+ 2 < 14
h)
1
2
∣∣∣∣x− 12
∣∣∣∣+ 14 ≤ 12
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MATEMÁTICA I - Ecuaciones e inecuaciones PRÁCTICO
Algunas Pistas
Ejercicio 1 Pistas: Para estos ejercicios, simplemente hay que ”pintar” la recta real los
intervalos propuestos.
Ejercicio 2 Pistas: Primero, si es de utilidad, pon en notación de intervalos los conjuntos
A, B y C, por ejemplo, el conjunto A es el intervalo (0, 1]. Luego grafica cada uno por
separado, para luego realizar las operaciones unión e intersección, como hemos visto.
Ejercicio 6 g) Obtener y graficar en la recta real el conjunto
A = {x /x ∈ R, (x− 1) · (x+ 1) < 0}
Pista: Hay un producto que debe ser positivo, entonces pensar en la regla de los signos.
Primero analicemos cuándo un producto es negativo. Por la regla de los signos, tendre-
mos que
+ ×− = − − ×+ = −
Entonces, el producto define dos casos posibles
Ejercicio 1 (x − 1) > 0 y (x + 1) < 0 Notemos que esto se da si se cumple simultáneamente
x > 1 y x < −1 Claramente NUNCA se cumple esta situación.
Ejercicio 2 (x− 1) < 0 y (x+ 1) > 0 Notemos que esto se cumple si x < 1 y x > −1. Esto se
cumple en el intervalo (−1, 1).
Entonces, el primer caso es vacío y el segundo el intervalo (−1, 1). Para ver la solución
del problema debemos UNIR los conjuntos.
∅ ∪ (−1, 1) = (−1, 1)
Ejercicio 7 ver definición de distancia D(x,y) en el apartado teórico.
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MATEMÁTICA I - Ecuaciones e inecuaciones PRÁCTICO
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicio 1 La edad de Pedro es el triple de la edad de Ana, pero dentro de diez años su edad será
solo el doble de la de Ana ¿Cuáles son las edades de Pedro y Ana?
a) Plantear un sistema de ecuaciones que modeliza el problema indicando el significado
de cada incógnita.
b) Resolver el sistema y responder la pregunta.
c) Verificar que la solución hallada es solución del sistema de ecuaciones propuesto.
Ejercicio 2 El perímetro de un rectángulo es de 64 cm y la diferencia entre las medidas de la base y
la altura de dicho rectángulo es 6cm ¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
a) Modeliza el problema a través de un sistema de ecuaciones lineales indicando el
significado de cada incógnita.
b) Resolver el sistema y responder la pregunta.
c) Verificar que la solución hallada es solución del sistema de ecuaciones propuesto.
Ejercicio 3 Encontrar dos números tales que, el triple del primero más el segundo es igual a 820 y
el doble del primero menos el segundo es igual 340.
Ejercicio 4 Resolución de SEL’s y sus soluciones. Dados los siguientes sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas, indicar para cada uno si tiene o no tiene solución de manera analítica
y gráfica. Clasifique además el sistema según el tipo de solución.
a)
ß
x+ 7y = 4
−2 + 9y = 2
b)
ß
x− 3y = 4
−3x+ 9y = 8
c)
ß
3x− 5y = 2
−9x+ 15y = 2
d)
{
2x− y = 1
−x+ 1
2
y = −1
2
Ejercicio 5 Dado el sistema de ecuaciones lineal
ß
2x− y = 5
4x− 2y = t
a) Determinar un valor de t para que el sistema tenga una solución.
b) Determinar el valor de t para que el sistema no tenga solución.
c) ¿Cuántos valores diferentes de t pueden seleccionarse en la parte Ejercicio 5b?
Ejercicio 6 Dado el sistema de ecuaciones lineal
ß
2x+ 3y − z = 0
x− 4y + 5z = 0
a) Verifique que x = 1; y = −1 ; z = −1 es solución.
b) ¿Por qué x = −2; y = −3 ; z = −5 no es solución del sistema?
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Ejercicio 7 Determinar si existen a y b para que (2,−2, 1) sea solución de
x1 + 2ax2 + x3 = −1
ax2 − bx3 = −4
bx1 + x2 + (2a− b)x3 = 3
Ejercicio 8 Dado el sistema de ecuaciones lieales:
x+ 2y − z = 8
2x− 3y + z = −1
3x− y + kz = 5
a) Hallar k ∈ R para que el sistema sea incompatible.
b) Hallar k ∈ R para que el sistema sea compatible y z = −1.
c) Para el valore hallado en el ítem anterior, resolver el sistema.
d) Resuelva los siguientes sistemas lineales utilizando el método de eliminación y clasi-
ficar el sistema según el tipo de solución
a)

4x = 8
−2x+ 3y = −1
3x+ 5y − 2z = 11
b)

x+ y − 3z = 2
2x− y + z = −4
3x+ y + 5z = 10
c)

x+ 2y + z = 0
2x− z = 1
3x− y − 2z = 3
d)

x+ 3y = 0
y + 4z = 1
5x+ y + z = 0
e)

4x− y = −3z + 9
−z = 7− 3x
3y + 2z = 15
f)
ß
y − 2x+ z = 5
6x = 3(y + z)−1
Ejercicio 9 Un fabricante produce dos tipos de plásticos: regular y especial. La producción
de cada tonelada de plástico regular requiere de dos horas en la planta A y
5 horas en la planta B; para producir cada tonelada de plástico especial se
necesitan dos horas en la planta A y tres horas en la planta B. Si la planta A
esta disponible 8 horas diarias y la planta B 15 horas al día ¿Cuántas toneladas
de cada tipo de plástico pueden producirse diariamente de modo que ambas
plantas se utilicen al máximo de su capacidad?
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	Ecuaciones e inecuaciones
	Algunas Pistas
	Sistemas de ecuaciones lineales