Teoria TRANSFORMACIONES PUNTUALES 2020(4) (1) - Matias Morales

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Cátedra: MATEMÁTICA 
 
 
 
TRANSFORMACIONES PUNTUALES 1/5 
 
 
Sea P el conjunto de puntos del plano, una función puntual f de P en P le hace corresponder a 
cada punto m del plano P uno y solo un punto m’ del mismo plano P tal que m’ es la imagen del 
punto m por dicha función, en general el esquema funcional es: 
 
 
 f: PP 
 m m’ = f (m) 
 
Las funciones puntuales que veremos son: 
 Traslación 
 Proyección paralela 
 Simetría oblicua 
 Simetría central 
 Homotecia 
 Y las compuestas entre ellas. 
 
 
Nota: 
 Un punto se dice que es fijo si es imagen de sí mismo por una función puntual. 
 
 
1- Traslación 
 
El esquema funcional de la traslación determinada por el vector libre [ v ] es el siguiente: 
 
 t[ v ]: PP 
 mm’ = t[ v ]( m) 
 
 tal que [ 'mm ] = [v ] o también se dice que (m, m’)  v 
 
 
 
 
 
 
Si la traslación está determinada por el vector nulo, entonces todos los puntos del plano son puntos 
fijos. 
 
 [�⃗�] 
 m = m’ 
 
 
 
 
 
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2- Proyección paralela 2/5 
 
El esquema funcional de esta función puntual es: 
 
 pE,D : PP 
 a  ao = pE,D (a) tal que E  D, Da // D, Da  E = {ao} 
 
 D Da 
 
 a 
 
 ao E 
 
 
 
En toda proyección oblicua, los puntos del eje E, son puntos fijos. 
 
 
3- Simetría oblicua 
 
El esquema funcional de esta función puntual es: 
 
 SE,D : P P 
 m m’ = SE,D (m) tal que E  D , Dm // D , (m, mo)  (mo, m’) 
 
 siendo mo = pE,D (m) 
 
 D Dm 
 
 m 
 
 mo E 
 
 m’ 
 
En toda simetría oblicua, los puntos fijos son los que pertenecen al eje E. 
 
4- Simetría central 
 
El esquema funcional de esta función puntual es: 
 
 So: P P 
 a a’= So (a) tal que (a, o)  (o, a’) 
 
 
 
 
 
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En una simetría central, el único punto fijo es el centro de la simetría, “o”. 3/5 
 
 
5- Homotecia 
 
El esquema funcional de esta función puntual es: 
 
 h o,r : PP 
 mm’= h o,r ( m) tal que ]'[

om = r . ][

om , siendo rIR 
 
 
 
 
 
 
 
 
En una homotecia de razón 1 (r = 1), todos los puntos de la figura son fijos. 
Si la homotecia tiene razón distinta de 1 (r ≠ 1), entonces el único punto fijo es el centro de la 
homotecia “o”. 
 
6- Composición de transformaciones puntuales 
 
Ejemplo: 
 
Hallar la imagen de F mediante la compuesta (h o, 2 o Sc’), siendo c’ la imagen del punto c por la 
homotecia ho,2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Paso (h o, 2) (F)= F’ 
 
 
 
 
 
 2º Paso (h o, 2 o Sc’) = F’’ 
 
 
 
 
 
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7- Simetría ortogonal 4/5 
 
El esquema funcional de esta función puntual es: 
 
 SE, D: P  P 
 m m’ = SE, D (m) 
 
 tal que E  D , Dm // D, (m, mo)  (mo, m’) , siendo mo = p E, D (m) 
 
 
 
 
 
 Dm 
 
 m mo m’ 
 
 E 
 
 
En general se anota a las simetrías ortogonales como: SE 
 
 
Ejemplo: 
 SE, D (F) = F’ 
 
 
. a a’ 
 
 D F F’ 
. 
 b c c’ b’ 
 
 E 
 
 
 
8- Congruencia 
 
La composición de n simetrías ortogonales (traslaciones, rotaciones, traslaciones y rotaciones) se 
denomina congruencia. 
 
Si n es par se denomina movimiento o congruencia directa. 
Si n es impar se denomina congruencia inversa. 
 
Dos figuras F y F’ son congruentes si y solo si F’ es la imagen de F por una congruencia. 
 
 
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Ejemplo: 5/5 
 
 (SE o SE’) (F) = F’’ 
 
 
 a a’ a’’ 
 
 F F’ F’’ 
 D 
 
 
 E E’ 
 
 
9- Semejanza 
 
La composición de una congruencia con una homotecia se denomina semejanza. 
 
Dos figuras F y F’ son semejantes sí y solo sí se corresponden por una semejanza. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 (SE o h o, -2) (F) = F’’