DERIVADAS POR DEFINICIÓN EJERCICIO 3 - Emilio Roman Mendoza Mendez

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Elaboró: Emilio Mendoza 
DERIVADAS POR DEFINICIÓN. 
 
EJEMPLO 3 
Calcula la derivada de la siguiente función. 
𝜃 = √1 − 2𝑡 
SOLUCIÓN. 
Resolveremos este ejercicio en 4 pasos aplicando la definición de la derivada. 
 
Paso 1: Se sustituye t por 𝑡 + ∆𝑡 en la función original, al igual que 𝜃 por 𝜃 + ∆𝜃. 
𝜃 + ∆𝜃 = √1 − 2(𝑡 + ∆𝑡) 
Desarrollamos la expresión y la simplificamos. 
𝜃 + ∆𝜃 = √1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 
Paso 2: Al nuevo valor que obtuvimos le restamos la función original. 
𝜃 + ∆𝜃 − (𝜃) = (√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡) − (√1 − 2𝑡) 
Simplificamos. 
𝜃 + ∆𝜃 − 𝜃 = √1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 − √1 − 2𝑡 
 
∆𝜃 = √1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 − √1 − 2𝑡 
Paso 3: Dividimos toda la expresión por el incremento de la variable independiente ∆𝑡. 
∆𝜃
∆𝑡
= 
√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 − √1 − 2𝑡
∆𝑡
 
 
Racionalizamos la expresión y simplificamos. 
∆𝜃
∆𝑡
= (
√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 − √1 − 2𝑡
∆𝑡
)(
√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 + √1 − 2𝑡
√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 + √1 − 2𝑡
) 
∆𝜃
∆𝑡
=
1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 − (1 − 2𝑡)
∆𝑡(√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 + √1 − 2𝑡)
 
∆𝜃
∆𝑡
=
1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 − 1 + 2𝑡
∆𝑡(√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 + √1 − 2𝑡)
 
Elaboró: Emilio Mendoza 
∆𝜃
∆𝑡
=
−2∆𝑡 
∆𝑡(√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 + √1 − 2𝑡)
 
∆𝜃
∆𝑡
=
−2 
√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 + √1 − 2𝑡
 
 
Paso 4: Calculamos el limite del cociente cuando ∆𝑡 tiende a cero, y resolviendo este límite 
obtendremos la derivada de la función. 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 = lim
∆𝑡→0
∆𝜃
∆𝑡
 = lim
∆𝑡→0
(
−2 
√1 − 2𝑡 − 2∆𝑡 + √1 − 2𝑡
) = 
−2 
√1 − 2𝑡 + √1 − 2𝑡
 
Simplificamos. 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 
−2 
2√1 − 2𝑡
 
Por lo tanto, la derivada de la función es: 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 
−1
√1 − 2𝑡