DERIVADAS POR DEFINICIÓN EJERCICIO 5 - Emilio Roman Mendoza Mendez

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Elaboró: Emilio Mendoza 
DERIVADAS POR DEFINICIÓN. 
 
EJEMPLO 5 
Calcula la derivada de la siguiente función. 
𝑦 = 𝑒2𝑥+1 
SOLUCIÓN. 
Resolveremos este ejercicio en 4 pasos aplicando la definición de la derivada. 
 
Paso 1: Se sustituye 𝑥 por 𝑥 + ∆𝑥 en la función original, al igual que 𝑦 por 𝑦 + ∆𝑦. 
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑒2(𝑥+∆𝑥)+1 
 
Desarrollamos la expresión y la simplificamos. 
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑒2𝑥+2∆𝑥+1 
 
Paso 2: Al nuevo valor que obtuvimos le restamos la función original. 
𝑦 + ∆𝑦 − (𝑦) = 𝑒2𝑥+2∆𝑥+1 − 𝑒2𝑥+1 
 
Simplificamos. 
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 𝑒2𝑥+1+2∆𝑥 − 𝑒2𝑥+1 
∆𝑦 = 𝑒2𝑥+1 · 𝑒2∆𝑥 − 𝑒2𝑥+1 
∆𝑦 = 𝑒2𝑥+1[𝑒2∆𝑥 − 1] 
Paso 3: Dividimos toda la expresión por el incremento de la variable independiente ∆𝑥. 
∆𝑦
∆𝑥
= 
𝑒2𝑥+1[𝑒2∆𝑥 − 1]
∆𝑥
 
 
Factorizamos la diferencia de cuadrados de la expresión. 
∆𝑦
∆𝑥
= 
𝑒2𝑥+1(𝑒∆𝑥 + 1)(𝑒∆𝑥 − 1)
∆𝑥
 
 
 
Elaboró: Emilio Mendoza 
Paso 4: Calculamos el limite del cociente cuando ∆𝑥 tiende a cero, y resolviendo este límite 
obtendremos la derivada de la función. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
 = lim
∆𝑥→0
[
𝑒2𝑥+1(𝑒∆𝑥 + 1)(𝑒∆𝑥 − 1)
∆𝑥
] 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥+1 lim
∆𝑥→0
[
(𝑒∆𝑥 + 1)(𝑒∆𝑥 − 1)
∆𝑥
] 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥+1 lim
∆𝑥→0
[𝑒∆𝑥 + 1] lim
∆𝑥→0
[
𝑒∆𝑥 − 1
∆𝑥
] 
Recordando el siguiente límite: 
lim
𝑥→0
[
𝑒𝑥 − 1
𝑥
] = 1 
Y sustituyendo en nuestra expresión, tenemos que. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑒2𝑥+1)(𝑒0 + 1)(1) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = (𝑒2𝑥+1)(1 + 1)(1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = (𝑒2𝑥+1)(2)(1) 
 
Por lo tanto, la derivada de la función es: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 2 𝑒2𝑥+1