Unidad 3-Potencial eléctrico-ejercicios de clase[16040] - José Alejandro Del Campo Vázquez

Vista previa del material en texto

Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 1 de 15 
 
Unidad 3. Potencial eléctrico 
3.1 Diferencia de potencial y potencial eléctrico 
3.2 Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme 
Ejemplo 3.1. Campo eléctrico entre dos placas paralelas de carga opuesta 
Una batería tiene una diferencia de potencial específica ∆𝑉 entre sus terminales y se establece dicha 
diferencia de potencial entre los conductores unidos a las terminales. Una batería de 12 V se conecta 
entre dos placas paralelas, como se muestra en la Figura. La separación entre las placas es d = 0.30 
cm y se supone que el campo eléctrico entre las placas es uniforme. (Esta suposición es razonable si 
la separación de las placas es pequeña en relación con las dimensiones de las placas y no se consideran 
ubicaciones cerca de los bordes de las placas.) Encuentre la magnitud del campo eléctrico entre las 
placas. 
 
 
La diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme está dada por: 
 ∆𝑉 = −𝐸𝑑 Donde ∆𝑉 = 𝑉 − 𝑉 = −12 𝑉 
El signo negativo indica que el potencial en el punto B es inferior al del punto A; es decir, 𝑉 < 𝑉 . 
 
Despejando para el campo eléctrico: 𝐸 = −
∆
  𝐸 = −
 
. × 
= 4000 V/m 
Otra forma de resolverlo: 𝐸 =
|∆ |
  𝐸 =
 
. × 
= 4000 V/m 
Solución: 𝑬 = 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 𝐕/𝐦 
La configuración de las placas en la Figura anterior se llama capacitor de placas paralelas. 
 
 
Ejemplo 3.2. Movimiento de un protón en un campo eléctrico uniforme 
Un protón se libera desde el reposo en el punto A en un campo eléctrico uniforme que tiene una 
magnitud de 8 × 10 V/m (ver Figura). El protón se somete a un desplazamiento de 0.50 m al punto 
B en la dirección de 𝐄. Encuentre: 
a) La diferencia de potencial entre los puntos A y B 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 2 de 15 
 
b) La magnitud de la fuerza eléctrica sobre el protón 
c) El trabajo realizado sobre éste por el campo eléctrico 
d) La rapidez del protón después de completar el desplazamiento de 0.50 m 
 
 
a) La diferencia de potencial entre los puntos A y B: 
 ∆𝑉 = −𝐸𝑑  ∆𝑉 = −(8 × 10 V/m)(0.5 m)  ∆𝑉 = −4 × 10 V 
Solución: ∆𝑽 = −𝟒 × 𝟏𝟎𝟒 𝐕 
El signo negativo indica que el potencial en el punto B es inferior al del punto A; es decir, 𝑉 < 𝑉 . 
Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en dirección en que disminuye el potencial 
eléctrico (ver Figura). 
 
b) La magnitud de la fuerza eléctrica sobre el protón: 
𝐹 = 𝑞 𝐸  𝐹 = (1.6 × 10 C)(8 × 10 N/C)  𝐹 = 1.28 × 10 N 
Solución: 𝑭𝒆 = 𝟏. 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎
𝟏𝟒 𝐍 
 
c) El trabajo realizado sobre éste por el campo eléctrico: 
𝑊 = 𝐹 𝑑  𝑊 = (1.28 × 10 N)(0.5 m)  𝑊 = 6.4 × 10 J 
Solución: 𝑾 = 𝟔. 𝟒 × 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝐉 
 
d) La rapidez del protón después de completar el desplazamiento de 0.50 m: 
Estableciendo la ecuación de conservación de la energía para un sistema aislado: 
𝐸 = 𝐸 la energía en el punto A es igual a la energía en el punto B 
𝐾 + 𝑈 = 𝐾 + 𝑈 
𝐾 : energía cinética del protón en el punto A 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 3 de 15 
 
𝐾 : energía cinética protón en el punto B 
𝑈 : energía potencial del protón en el punto A 
𝑈 : energía potencial del protón en el punto B 
El protón se libera del reposo en el punto A: 𝑣 = 0  𝐾 = 0 : 
0 + 𝑈 = 𝐾 + 𝑈 
Reacomodando la ecuación de la conservación de la energía: 
𝐾 + 𝑈 − 𝑈 = 0 ; donde ∆𝑈 = 𝑈 − 𝑈  𝐾 + ∆𝑈 = 0 
𝐾 = −∆𝑈 ; 𝐾 = 𝑚 𝑣 , 𝑣 es la rapidez del protón en el punto B y 
 𝑚 = 1.67 × 10 kg es la masa del protón 
𝑚𝑣 = −∆𝑈 ; ∆𝑈 = 𝑞 ∆𝑉 , 𝑞 es la carga del protón 
𝑚 𝑣 = −𝑞 ∆𝑉  𝑣 =
∆
  𝑣 =
( . × )( × )
. ×
 
𝑣 = 2.77 × 10 
 
 ; 1V = 1 1J = 1N m = 1
 
m = 1
 
  1V = 1
 
 
 
 =
 
  
 
=  
 
=
 𝐦
𝐬
 
 
Solución: 𝒗𝑩 = 𝟐. 𝟕𝟕 × 𝟏𝟎
𝟔 𝐦
𝐬
 
 
 
 
Ejemplo 3.2a (conceptual). Energía potencial y potencial eléctrico de una carga puntual 
Un protón se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme, como resultado el protón 
comienza a moverse. 
A) ¿Se incrementa o disminuye el potencial eléctrico de los puntos hacia donde se mueve el protón? 
¿Se incrementa o disminuye la energía potencial del protón? 
B) ¿Cuáles serían las respuestas si cambia el protón por un electrón? 
 Respuesta: 
Partícula Potencial eléctrico Energía potencial 
protón disminuye disminuye 
electrón aumenta disminuye 
 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 4 de 15 
 
3.3 Potencial eléctrico y energía potencial debidos a cargas puntuales 
Ejemplo 3.3. Potencial eléctrico debido a tres cargas puntuales 
Tres cargas puntuales, 𝑞 = 2 𝜇C, 𝑞 = −10 𝜇C y 𝑞 = −15 𝜇C se colocan en el plano xy en los 
puntos (0, 4) m, (-1, 0) m y (1, 1) m, respectivamente. Encuentre el potencial eléctrico en el punto P 
(-1, 3) m. 
 
 
El potencial eléctrico en el punto P para el sistema de tres cargas se calcula de la siguiente manera: 
𝑉 = 𝑘 ∑  𝑉 = 𝜅 + + ; 𝜅 = 9 × 10 
 
𝑞 = 2 𝜇C  (0,4) m 𝑞 = −10 𝜇C  (-1,0) m 𝑞 = −15 𝜇C  (1,1) m 
 𝑟 es la distancia de la carga 𝑞 al punto P 
𝑟 es la distancia de la carga 𝑞 al punto P 
𝑟 es la distancia de la carga 𝑞 al punto P 
 
Las distancias 𝑟 , 𝑟 y 𝑟 al punto P son: 
𝑟 = (1) + ( 1)  𝑟 = √1 + 1  𝑟 = √2 
𝑟 = 1.4142 m 
𝑟 = 3 m 
𝑟 = (2) + (2)  𝑟 = √4 + 4  𝑟 = √8 
𝑟 = 2.8284 m 
Sustituyendo los datos en la ecuación del potencial eléctrico: 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 5 de 15 
 
𝑉 = (9 × 10 )
×
. 
+
×
 
+
×
. 
 
𝑉 = (9 × 10 )(1.4142 − 3.333 − 5.303)(1 × 10 ) 
𝑉 = (9 × 10 )(−7.222)(1 × 10 )  𝑉 = −65000 ; = = V 
Solución: 𝑽𝑷 = −𝟔𝟓𝟎𝟎𝟎 𝐕  𝑽𝑷 = −𝟔𝟓 𝐤𝐕 
 
 
 
Ejemplo 3.4. Fuerza eléctrica, campo eléctrico y potencial eléctrico 
Dadas dos cargas de 2.00 µC, como se muestra en la figura, y una carga 𝑞 = 1.28 × 10 C 
colocada en el origen, a) ¿cuál es la fuerza neta ejercida por las dos cargas de 2.00 µC sobre la carga 
q? b) ¿cuál es el campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas de 2.00 µC?, y c) ¿cuál es el 
potencial eléctrico en el origen debido a las dos cargas de 2.00 µC? 
 
 
𝑞 = 1.28 × 10 C (x = 0), 𝑞 = 2.00 µC (x = 0.8 m), 𝑞 = 2.00 µC (x = - 0.8 m) 
a) la fuerza neta ejercida por las dos cargas de 2.00 µC sobre la carga q: 
�⃗� = �⃗� + �⃗� = 𝐹 ̂ + 𝐹 ̂ 
 
 
La fuerza resultante tiene solo componente en x: 
�⃗� = 𝐹 ̂ ; 𝐹 = 𝐹 + 𝐹  𝐹 = −𝐹 + 𝐹 
Magnitudes: 
𝐹 = 𝜅
| || |
 ; 𝐹 = 𝜅
| || |
 ; 
𝑞 = 𝑞 = 𝑄 ; 𝑟 = 𝑟 = 𝑟 
𝐹 = −𝜅
| || |
+ 𝜅
| || |
  𝐹 = 0  �⃗� = 0 ̂ 
Solución: �⃗�𝟏 = 𝟎 
 Electricidad y MagnetismoDra. María Isabel Medina Montes 
Página 6 de 15 
 
b) El campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas: 
𝐄 = 𝐄 + 𝐄 = 𝐸 ̂ + 𝐸 ̂ 
 
 
El campo resultante tiene solo componente en x: 
𝐄 = 𝐸 ̂ ; 𝐸 = 𝐸 + 𝐸  𝐸 = −𝐸 + 𝐸 
Magnitudes: 
𝐸 = 𝜅
| |
 ; 𝐸 = 𝜅
| |
 ; 
𝑞 = 𝑞 = 𝑄 ; 𝑟 = 𝑟 = 𝑟 
𝐸 = −𝜅
| |
+ 𝜅
| |
  𝐸 = 0  𝐄 = 0 ̂ 
Solución: 𝐄 = 𝟎 
 
c) El potencial eléctrico en el origen debido a las dos cargas: 
𝑉 = 𝑘 ∑  𝑉 = 𝜅 + 
 
 
 
𝑞 = 𝑞 = 𝑄 = 2.00 µC ; 𝑟 = 𝑟 = 𝑟 = 0.8 m 
𝑉 = 𝜅 +  𝑉 = 2𝜅  𝑉 = 2 9 × 10
×
. 
  𝑉 = 45 × 10 
Solución: 𝑽 = 𝟒𝟓 𝐤𝐕 
 
 
Ejemplo 3.5. Potencial eléctrico y energía potencial debido a cargas puntuales 
Como se muestra en la Figura a), una carga 𝑞 = 2.00 𝜇C se ubica en el origen y una carga 𝑞 =
−6.00 𝜇C se ubica en (0, 3.00) m. 
a) Encuentre el potencial eléctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas coordenadas son 
(4.00, 0) m. 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 7 de 15 
 
 
 
Las cargas 𝑞 y 𝑞 son cargas fuente y establecen un campo eléctrico así como un potencial en todos 
los puntos del espacio, incluido el punto P. 
El potencial eléctrico en el punto P para el sistema de dos cargas se calcula de la siguiente manera: 
𝑉 = 𝑘 ∑  𝑉 = 𝜅 + ; 𝑟 es la distancia de la carga 𝑞 = 2.00 𝜇C al punto P 
 𝑟 es la distancia de la carga 𝑞 = −6.00 𝜇C al punto P 
De acuerdo con la Figura, 𝑟 = 4 m y 𝑟 = √4 + 3 m = 5 m 
Sustituyendo valores: 
𝑉 = (9 × 10 )
×
 
+
×
 
  𝑉 = (9 × 10 )(0.5 × 10 − 1.2 × 10 ) 
𝑉 = (9 × 10 )(−0.7 × 10 ) ; [1Nm] = [1J]  𝑉 = −6.3 × 10 ; = [V] 
Solución: 𝑽𝑷 = −𝟔. 𝟑 𝐤𝐕 
 
b) Encuentre el cambio en energía potencial del sistema de dos cargas más una tercera carga 𝒒𝟑 =
𝟑. 𝟎𝟎 𝝁𝐂 conforme la última carga se mueve del infinito al punto P (inciso b) de la Figura). 
 
 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 8 de 15 
 
El cambio en energía potencial que resulta de mover la carga 𝑞 del infinito al punto P está dado por 
∆𝑈 = 𝑈 − 𝑈 ; 
𝑈 = 𝑈 = 0 representa la energía potencial del sistema en una configuración en que la carga está en 
el infinito (𝑉 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = ∞ → 𝑈 = 𝑞𝑉 = 0) 
𝑈 = 𝑈 representa la energía potencial del sistema en una configuración en que la carga está en el 
punto P. 
Por lo tanto, 
∆𝑈 = 𝑈 = 𝑈 ; la energía potencial para la configuración en la que la carga 𝑞 está en P está dada 
de la siguiente manera 
𝑈 = 𝑞 𝑉  ∆𝑈 = 𝑈 = 𝑞 𝑉  ∆𝑈 = (3 × 10 C)(−6.3 × 10 V) 
∆𝑈 = −1.89 × 10 C V ; [C V] = C  [C V] = [J] ; ∆𝑈 = −1.89 × 10 J 
 
Solución: ∆𝑼 = −𝟏. 𝟖𝟗 × 𝟏𝟎 𝟐 𝐉 
 
Como ∆𝑈 es negativa, la carga +𝑞 se mueve sola hacia las otras cargas fijas cuya suma (carga neta) 
es (- 6 C + 2 C = - 4 C); un agente externo deberá realizar trabajo negativo en contra de la 
fuerza de atracción entre cargas de signo opuesto (carga neta y 𝑞 ) al acercar la una a la otra. 
Visualizándolo de otra forma, un agente externo tiene qué hacer trabajo positivo para retirar la carga 
del punto P de regreso al infinito. 
 
3.4 Obtención del valor del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico 
Ejemplo 3.6. Potencial eléctrico debido a un dipolo 
Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto separadas por una 
distancia 2a como se muestra en la Figura. El dipolo está a lo largo del eje x y tiene centro en el 
origen. 
 
 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 9 de 15 
 
a) Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje y. 
 
 
El potencial eléctrico en el punto P para el sistema de dos cargas se calcula de la siguiente manera: 
𝑉 = 𝑘 ∑  𝑉 = 𝜅 + ; 
 𝑟 es la distancia de la carga positiva +𝑞 al punto P 
 𝑟 es la distancia de la carga negativa −𝑞 al punto P 
Se desea el potencial en P(0, y) y las cargas están posicionadas en +𝑞: (−𝑎, 0) y −𝑞: (+𝑎, 0) 
Primero se obtiene la distancia 𝑟 al punto P de cualquiera de las cargas: 
𝑟 = 𝑎 + 𝑦 
𝑟 = 𝑎 + 𝑦 
De acuerdo con la simetría de la Figura, ambas distancias son iguales, 𝑟 = 𝑟 
𝑉 = 𝜅 + 𝑉 = 𝜅 (0) 
 
Solución: 𝑽𝑷 = 𝟎 
 
b) Calcule el potencial eléctrico en el punto R sobre el eje +x. 
 
 
Las coordenadas del punto R son (x, 0) 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 10 de 15 
 
De acuerdo con la Figura, las dos cargas y el punto R se encuentran sobre el eje x, por lo tanto, 
𝑟 = 𝑥 + 𝑎 , 𝑟 = 𝑥 − 𝑎 
𝑉 = 𝜅 +  𝑉 = 𝜅
( ) ( )( )
( )( )
 
𝑉 = 𝜅
( )( )
  𝑉 = 𝜅 
Solución: 𝑽𝑷 = −
𝟐𝜿𝒆𝒒𝒂
𝒙𝟐 𝒂𝟐
 
c) Calcule 𝑉 y 𝐸 en un punto sobre el eje x lejos del dipolo. 
 
 
Para el caso de 𝑥 ≫ 𝑎, solución del inciso b) queda de la siguiente manera: 
𝑽𝒙 = −
𝟐𝜿𝒆𝒒𝒂
𝒙𝟐
 
La ecuación para 𝐸 en un punto sobre el eje x lejos del dipolo: 
𝐸 = −  𝐸 = − −  𝐸 = 2𝜅 𝑞𝑎 
𝐸 = 2𝜅 𝑞𝑎 (𝑥 )  𝐸 = 2𝜅 𝑞𝑎(−2𝑥 )  𝐸 = −4𝜅 𝑞𝑎(𝑥 ) 
𝑬𝒙 = −
𝟒𝜿𝒆𝒒𝒂
𝒙𝟑
 
 
Solución: 𝑽𝒙 = −
𝟐𝜿𝒆𝒒𝒂
𝒙𝟐
 , 𝑬𝒙 = −
𝟒𝜿𝒆𝒒𝒂
𝒙𝟑
 para 𝒙 ≫ 𝒂 
Los potenciales en los incisos b) y c) son negativos porque los puntos sobre el eje +x están más cerca 
de la carga negativa que de la carga positiva. Por la misma razón, la componente x del campo eléctrico 
es negativa. 
 
 
 
 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 11 de 15 
 
Ejemplo 3.7. Campo eléctrico a partir del potencial eléctrico 
En cierta región del espacio el potencial eléctrico es 𝑉 = 5 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 . 
a) Determine las expresiones correspondientes para las regiones en 𝑥, 𝑦 y 𝑧 del campo eléctrico en 
esta región. 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 
La relación entre campo y potencial eléctricos es: 
𝐄 = −∇𝑉 = − ̂ + ̂ + 𝐤 𝑉  𝐄 = −∇𝑉 = − ̂ + ̂ + 𝐤 (5 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 ) 
𝐄 = − ̂ (5 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 ) + ̂ (5 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 ) + 𝐤 (5 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 ) 
𝐄 = − ̂(5 − 6 𝑥 𝑦) + ̂(−3 𝑥 + 2 𝑧 ) + 𝐤(4 𝑦 𝑧) 
𝐄 = (6 𝑥 𝑦 − 5 ) ̂ + (3 𝑥 − 2 𝑧 ) ̂ − 4 𝑦 𝑧𝐤 
 
Solución: 𝑬𝒙 = 𝟔 𝒙 𝒚 − 𝟓 𝑬𝒚 = 𝟑 𝒙
𝟐 − 𝟐 𝒛𝟐 𝑬𝒛 = −𝟒 𝒚 𝒛 
 
b) ¿Cuál es la magnitud del campo en el punto 𝑃 cuyas coordenadas son (1.00, 0, -2.00) m? 
Utilizando las componentes del campo obtenidas en el inciso a), se evalúa el campo en P con x = 1.00 
m , y = 0 m, z = -2.00 
𝐸 = 6 (1)(0) − 5  𝐸 = −5 
𝐸 = 3 (1) − 2 (−2)  𝐸 = −5 
𝐸 = −4 (0) (−2)  𝐸 = 0 
La magnitud del campo eléctrico 𝐄 se obtiene de la siguiente manera: 
𝐄 = 𝐸 + 𝐸 + 𝐸  𝐄 = (−5) + (−5) + (0)  𝐄 = 7.07 V/m 
 
Solución: 𝑬𝑷 = 𝟕. 𝟎𝟕 𝐕/𝐦 
 
 
3.5 Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuaEjemplo 3.8. Potencial eléctrico debido a un anillo con carga uniforme 
a) Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en un punto P ubicado sobre el eje central 
perpendicular de un anillo con carga uniforme de radio a y con carga total Q. 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 12 de 15 
 
 
 
La Figura muestra que el anillo se orienta de modo que su plano es perpendicular al eje x y su centro 
está en el origen. 
Todos los elementos de carga 𝑑𝑞 están a una distancia 𝑟 = √𝑎 + 𝑥 del punto P. 
El potencial eléctrico en el punto P se calcula con la siguiente ecuación: 
𝑉 = 𝑘  𝑑𝑉 = 𝑘  𝑉 = 𝜅 ∫ ; 𝑟 = √𝑎 + 𝑥 
𝑉 = 𝜅 ∫
√
 
Se observa en la figura que a y x son constantes, el término que los contiene puede salir de la integral 
𝑉 =
√
∫ 𝑑𝑞  𝑉 =
√
[𝑞]  𝑉 =
√
[𝑄 − 0] 
 
Solución: 𝑽 =
𝜿𝒆𝑸
𝒂𝟐 𝒙𝟐
 
 
b) Hallar una expresión para la magnitud del campo eléctrico en el punto P. 
Por simetría, a lo largo del eje x, el campo eléctrico tiene sólo componente en x, 𝐸 = 0. Aplicando 
la relación del campo eléctrico con el potencial eléctrico: 
𝐸 = −  𝐸 = − (
√
)  𝐸 = −𝜅 𝑄 (
√
) 
𝐸 = −𝜅 𝑄 (𝑎 + 𝑥 ) /  𝐸 = −𝜅 𝑄 − (𝑎 + 𝑥 ) (2𝑥) 
𝐸 = −𝜅 𝑄 −𝑥(𝑎 + 𝑥 )  𝐸 =
( )
 
 
Solución: 𝑬𝒙 =
𝜿𝒆𝒙
(𝒂𝟐 𝒙𝟐)
𝟑
𝟐
𝑸 
 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 13 de 15 
 
Ejemplo 3.9. Potencial eléctrico debido a una línea de carga finita 
Una barra de longitud 𝑙 ubicada a lo largo del eje x tiene una carga total Q y una densidad de carga 
lineal uniforme 𝜆 = . Encuentre el potencial eléctrico en un punto P ubicado sobre el eje y a una 
distancia a del origen. 
 
 
El potencial en P debido a cada segmento de carga sobre la barra es positivo porque cada segmento 
tiene una carga positiva. 
Todos los elementos de carga 𝑑𝑞 están a una distancia 𝑟 = √𝑎 + 𝑥 del punto P. 
El potencial eléctrico en el punto P se calcula con la siguiente ecuación: 
𝑉 = 𝑘  𝑑𝑉 = 𝑘  𝑉 = 𝜅 ∫ ; 𝑟 = √𝑎 + 𝑥 y 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥 
𝑉 = 𝜅 ∫
√
 ; 𝜆 es uniforme en toda la barra, por lo tanto, es constante y se integra de 0 a 𝑙 
𝑉 = 𝜅 𝜆 ∫
√
 ; utilizando tablas de integrales: ∫
√
= ln 𝑥 + √𝑎 + 𝑥 
𝑉 = 𝜅 𝜆 ln 𝑥 + √𝑎 + 𝑥  𝑉 = 𝜅 𝜆 ln 𝑙 + √𝑎 + 𝑙 − ln(𝑎) 
Aplicando: ln = ln(𝑎) − ln(𝑏) 
𝑉 = 𝜅 𝜆 ln
√
 y sustituyendo 𝜆 =  𝑉 = ln
√
 
 
Solución: 𝑽 =
𝜿𝒆𝑸
𝒍
𝐥𝐧
𝒍 𝒂𝟐 𝒍𝟐
𝒂
 
 
 
 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 14 de 15 
 
3.6 Potencial eléctrico en un conductor con carga 
Ejemplo 3.10. Dos esferas con carga conectadas 
Dos conductores esféricos, con radios 𝑟 y 𝑟 , están separados una distancia mucho mayor que el 
radio de cualquier esfera. Las esferas están conectadas mediante un alambre conductor, como se 
muestra en la Figura. Las cargas en las esferas en equilibrio son 𝑞 y 𝑞 , y están uniformemente 
cargadas. Encuentre la relación de las magnitudes de los campos eléctricos en las superficies de las 
esferas. 
 
 
Imagine que las esferas están mucho mas alejadas de lo que se muestra en la Figura. Puesto que están 
separadas, el campo de una no afecta la distribución de carga sobre la otra. 
El alambre conductor entre ellas garantiza que ambas esferas tengan el mismo potencial eléctrico. 
Como las esferas están muy alejadas, la distribución de carga sobre ellas se modela como 
esféricamente simétrica y el campo y el potencial afuera de las esferas se modela como el debido a 
cargas puntuales. 
El potencial eléctrico en la superficie para cada esfera es: 
𝑉 = , 𝑉 = 
En el equilibrio (después de haber conectado las esferas), se igualan ambos potenciales 
𝑉 = 𝑉  =  =  = 
El campo eléctrico en la superficie para cada esfera es: 
𝐸 = , 𝐸 = 
La relación de los campos queda de la siguiente manera: 
=  = , al sustituir = , =  =  = 
 Electricidad y Magnetismo 
 Dra. María Isabel Medina Montes 
Página 15 de 15 
 
Solución: 
𝑬𝟏
𝑬𝟐
=
𝒓𝟐
𝒓𝟏
 
Debido a que 𝑟 < 𝑟 , 𝐸 > 𝐸 ; el campo es más intenso en la vecindad de la esfera más pequeña aun 
cuando los potenciales eléctricos en las superficies de ambas son iguales.