CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-33 - Eduardo González

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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
11.1 ¿Cuál de las siguientes gráficas representa el entorno 1 x- 2 1 < 2 ? 
Q o lt-X 
·2 ·1 o 1 2 3 4 5 
a) 
~ o lito X 
·4 ·3 ·2 ·1 D 3 4 
b) 
·4 ·3 .z ·1 o 3 4 
e) 
SOLUCIÓN: 
Por la definición de valor absoluto se tiene 
-2 <X- 2 < 2 => -2 + 2 <X< 2 + 2 => 0 <X< 4 
luego la gráfica (a) representa al entorno dado. 
11.2 Trazar las gráficas correspondientes a los siguientes entornos: 
a) q> ( 2 , 0.5 ) 
b) q>' ( 3' 0.75 ) 
e) O < 1 x - 1 1 < 0.5 
SOLUCIÓN: 
a) Se trata del un entorno común del punto 2 y radio 0.5 
1.5 2.5 
0 0 .... X 
1 2 3 
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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
b) Se trata de un entorno reducido del punto 3 y radio 0.75 
2.25 3.75 
--r-~o----~o~--•o~,-----~•~x 
2 3 4 
e) Es un entorno reducido del punto 1 y radio 0.5 
0.5 1.5 
--~~o~--•o>---·o~~----_.• x 
o 1 2 
Tomando en cuenta los teoremas sobre límites y sobre operaciones con límites, calcular 
los limites siguientes. 
11.3 lím ( x 2 - 2 x + 5 ) = lím x 2 - lím ( 2 x ) + lím 5 = 
x~3 x~3 x~3 x~3 
= ( lím x ) 
2 
- lím ( 2 ) lím x + lím 5 = 
x~3 x~3 x~3 x~3 
2 = ( 3) - 2( 3) + 5 = 9- 6 + 5 = 8 
11.4 
2 9 
lím ( x 2 - 9) ( lím x ) 
2 
- lím 9 
4 
_ 
9 5 , X - x~2 x~2 x~2 -
lzm --- = = · -- = ---- = --~ = 5 
x ~ 2 X - 3 fím ( X - 3 ) fím X - /ím 3 2 - 3 -1 
x~2 x~2 x~2 
11.5 = r ( /ím X ) 
3 
- /ím ~~--(- -~~~ ~: ) 2 + /ím 5 /ím X + fím 1 V x·-+1 x~J x~J x~J x~J x~l 
=~1-3+5+1 =f4=2 
88 
= 
11.6 
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LIMITES Y CONTINUIDAD 
3 rlím _x
2
_-_4_ = J4-=4 = ~ o =o 
~ x--+-2 X - 2 ~ =2-2 - 4 
11.7 Si f (X ) == X 2 - 2bx , donde b es constante, obtener 
lím f ( X + h ) - f ( X ) 
h~O h 
SOLUCIÓN: 
lím 
h--+0 
f(x+h)-f(x) 
h 
( x + h ) 2 - 2b ( x + h)- x 2 + 2bx 
lím 
h--+0 h 
2xh+h 2 -2bh 
lím = 
h--+0 h 
/ím ( 2 X + h - 2b ) = 2 X - 2 b 
h--+0 
o 
Calcular los siguientes límites, que por simple sustitución dan la indeterminación o 
11.8 
11.9 
11.10 
lím _x_
2 
-_4_ = lím ( x + 2 ) ( x - 2 ) = lím x + 2 = 4 
x--+2 x2-x-2 x--+2 (x+l) (x-2) x--+2 x+l 3 
X 
2 4x + 4 ( x- 2) 2 
lím - == lím = lím ( x - 2 ) == 2 - 2 = O 
x~2 X- 2 x~2 X- 2 x~2 
lím X 
2 
- 10 X + 25 = lím ( X - 5 ) 
2 
= /ím X - 5 = __2_ = O 
x ~S 25 _ X 2 X~ S - ( X - 5 ) ( X + 5 ) x ~S - ( X + 5 ) -10 
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