CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-55 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LA DERIVADA 
Los resultados de los incisos b), e), y d) se tienen en la siguiente tabla con 
Ay= ( 2x- 3) Ax + ( Ax) 2 , d y= ( 2x- 3) Ax y e Ax =Ay- dy 
X Ax Ay dx Ay-dx 
2 0.1 0.11 0.1 0.01 
2 0.01 0.101 0.01 0.0001 
2 0.001 0.001001 0.001 0.000001 
Se observa que a medida que Ax disminuye, la diferencia Ay- d x es menor 
111.34 Calcular el error absoluto y el error relativo que se comete al emplear la 
diferencial de la variable dependiente en lugar de su incremento. 
3x 
y= x 1 = 2, Ax = d x = -0.2 x 2 + 2 ' 
SOLUCIÓN: 
d y = ( x 2 + 2 )3- 3x ( 2x) d x = -3x 2 + 6 d x 
(x 2 +2 ) 2 (x 2 +2 r 
d y = [ - 3 ( 4 ) + 6 ] [ -0. 2 ] = 0.033333 
( 4 + 2) 2 
3 ( x + Ax) Ay = _ _e__ -----=-
( x + Ax) 2 + 2 
El error absoluto es 
el error relativo es 
- 3-x- = 3 ( 1. 8 )- ~ = 0.030534 
2 
X +2 5.24 6 
e a = 1 Ay- d y 1 = 1 0.030534-0.0333331 
e a = 0.002799 
e = e a = 0.002799 = 0.091668 
r Ay 0.030534 
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LA DERIVADA 
111.35 Al medir la arista de un cubo se comete un error del 1%, determinar el error 
relativo y el error en por ciento % que se comete al calcular el volumen del 
cubo con la arista medida. 
SOLUCIÓN: 
3 v=x , 
') 
dv=3x-dx 
El error en por ciento al medir la arista es 100 d X= 1 
X 
El correspondiente error relativo es 
El error absoluto en el volumen es: 
dx = 0.01 
X 
3 3 dv = 3x ( 0.01) = 0.03 x 
El error relativo en el volumen es: 
dv = 0.03 
V 
El error en porcentaje es: 3 % 
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LA DERIVADA 
111.36 Obtener la diferencial de arco de la circunferencia 
SOLUCIÓN: 
Derivando con respecto a x : 
2 x + 2 y d Y = O , luego 
dx 
dy _ X 
dx y 
Sustituyendo este valor en la expresión d S~ 1 + ( ~~ r d X 
pero, 2 2 2 y = r - x , entonces: 
111.37 Obtener la diferencial de arco de la curva de ecuación: 
1 ( 2 ) l y=- X +2 2 
3 
SOLUCIÓN: 
ds~ 1+( ~~ r dx d 1 1 y 3 1 ( 2 )- ( 2 )-- =- - X + 2 2 2x =X X + 2 2 dx 2 3 
ds= 1+[ x(x 2 +2}~ ]' dx~~1+x 2 (x 2 +2} dx~Fx'+2x 2 +1 dx~ 
dx=(x 2 +l)dx 
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