CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-10 - Eduardo González

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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
1.18 Si f ( x ) = 2 x 2 - 4 x + 5 , obtener f ( O ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) y f ( -2 ) 
SOLUCIÓN: 
f(O) =0-0+5=5 
f(l) =2(1)-4(1)+5=3 
2 
/(2)=2(2) -4(2)+5=8+8+5=5 
f ( -2) = 2 ( -2) 2 -4 ( -2) + 5 = 8 + 8 + 5 = 21 
1.19 Dada f(x)=x
3
-3x
2
+2x-l,determinar /(2), 1( k) y 1( -~) 
SOLUCIÓN: 
/(2) = (2)
3 
-3(2)
2
+2(2)-1=8-12+4-1=-1 
1 (i ) ~ 21' - 2 ~ + i -1 = i -¡ + 1-1 ~ 1 ~6 ~ - i 
1 (- j ) ~ (- j r-3 (- j r + 2 (- j ) -1 = - 287 - !: -~ -1 
8 + 36 + 36 + 27 107 
= = 
27 27 
1.20 Si f ( x) = x 3 - 5x 2 - 4x + 20, demostrar que: 
a) 
b) 
e) 
d) 
/(-2) = /(5); 
f (o) = -2 f ( 3); 
f ( -1 ) == f ( 7 ) ; 
3 2 f (a+ 1) = a - 2a - 11a + 12 
SOLUCIÓN: 
a) f(-2) = f(-2)
3
-5(-2)
2
-4(-2)+20=-8-20+8+20=0 
f ( 5 ) = 5 3 - 5 ( 5 ) 2 - 4 ( 5) + 20 = 125- 125- 20 + 20 =0 
luego f ( -2) = f ( 5) 
b) f (o) = o- o -o + 20 = 20 
/(3) = 27-45-12+20=-10, -2/(3)=-2/(3)=-2(-10)=20 
luego f ( O ) = - 2 f ( 3 ) 
18 
1.21 
1.22 
CUADERNO DI! EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
e) f ( 7 ) = 7 3 - 5 ( 7 ) 2 - 4 ( 7 ) + 20 = 34320 - 2450- 28 + 20 = 90 
f ( -1 ) = -1 - 5 + 4 + 20 = 18' 51 ( -1 ) = 5 ( 18 ) = 90 
luego 1 ( 7 ) = 5 1 ( -1 ) 
d) 
3 2 f ( a + 1 ) = ( a + 1 ) - 5 ( a + 1 ) - 4 ( a + 1 ) + 20 = 
3 2 2 
= a + 3a + 3a + 1- 5a -lOa- 5 - 4a - 4 + 20 = 
3 2 = a - 2a - lla + 12 
2 
Dada f ( x) = x - 2x + 6, demostrar que: 
2 2 1 ( X+ h ) = X - 2x + 6 + 2 (X- 1) h + h 
SOLUCIÓN: 
f(x+h) = (x+h)
2 
-2(x+h)+6=x
2
+2hx+h
2
-2x-2h+6 
2 2 
= X - 2x + 6 + 2 (X- 1) h + h 
3 
Dada g ( x ) = x + 3 x , demostrar que: 
2 2 3 
g(x+h)-g(x) = 3(x +l)h+3xh +h 
SOLUCIÓN: 
3 3 
g (X+ h)- g (X) = (X+ h) + 3 (X+ h) -X - 3x = 
3 2 2 3 3 
= x +3x h+3xh +h +3x+3h-x -3x= 
2 2 3 
= 3x h+3xh +h +3h= 
2 2 3 
= 3(x +l)h+3xh +h 
1.23 Sea 1 ( x ) = _!_ , demostrar que 1 ( x + h ) - 1 ( x ) = _1 _ 
X h ( h +X )x 
SOLUCIÓN: 
l(x+h)- f(x) 1 ( 1 1 ) x-x-h h 1 
h = ~ x+h- x = Tz(x+h)x =- h(x+h)x =- (h+x)x 
19 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
-------------------------------------------~F~U~N~C-1 O N E S 
1.24 Si F ( x ) = 4 x , demostrar que: F ( a + 1 ) - F ( a ) = 3 F ( a ) 
SOLUCIÓN: 
F(a)=4a+l_4a =(4-I)4a =3 (4)a =3F(a) 
1.25 Siendo 1 ( x ) = a x , hacer ver que f ( e ) f ( d ) = f ( e + d ) 
SOLUCIÓN: 
e d c+d 
l(e)f(d) =a a =a 
pero: 1 ( e + d ) = a c+d 
entonces f ( e ) f ( d ) = f ( e + d ) 
1.26 Sí g ( x ) = log !=-~ , demostrar que g ( y ) + g ( z ) = g ( y+ z ) 
l+x I+yz 
SOLUCIÓN: 
g ( y ) + g ( z ) = log _I-__ y + log _I-_z = log [ __ l-__ y • _1-_z ] = log _1_+--..::y~z_-..::....y_-_z 
1+y 1+z l+y 1+z l+yz+y+z 
Ahora 
1- y+ z 
(
y+z) 1 l+yz g = og 
l+yz I+y+z 
1 + yz- y-z 
= lo 1+ yz 
g1+yz+y+z 
1 + yz 1 + yz 
1.27 Sea f ( q> ) = sen q> + eos q> , hacer que: 
1+yz-y-z = log __ __.:.__ __ __:::___ 
l+yz+y+z 
a) f (O) = f ( ~ ) b) f ( 1t) =- f ( ~ ) e) f ( ~ 1t ) =- f (O) 
SOLUCIÓN: 
a) f ( O ) = sen O + eos O = O + 1 = 1 
f ( ~ ) = sen%+ cos ~ = 1 +O= 1 luego f (O) = f ( ~ ) 
20