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Ejercicios resueltos 452
8.61 Observación.Al realizar un cambio de variable es importante elegir de forma apro-
piada el nuevo intervalo de integración. Con frecuencia, hay varias posibilidades. Por
ejemplo, en la integral anterior podríamos haber procedidocomo sigue:
aw
�a
p
a2 � x2 dx D
2
4
x D a sent; dx D a cost dt
�aD a sen3�
2
; aD a sen�
2
3
5D
�
2w
3�
2
p
a2� a2 sen2 t a cost dt D
D a2
�
2w
3�
2
p
cos2 t cost dt D a2
�
2w
3�
2
jcost j cost dt D
�
�=2 6 x 6 3�=2) cost 6 0
�
D
D�a2
�
2w
3�
2
cos2 t dt D a2
3�
2w
�
2
1C cos.2t/
2
dt D a2�
2
:
Si en los cálculos anteriores te olvidas de que
p
˛2 D j˛j, y pones
p
cos2 t D cost el
resultado que hubiéramos obtenido es el siguiente:
aw
�a
p
a2 � x2 dx Da2
�
2w
3�
2
cos2 t dt D�a2
3�
2w
�
2
1C cos.2t/
2
dt D�a2�
2
:
Evidente disparate, porque la integral de una función positiva
r a
�a
p
a2 � x2 dx no puede
ser un número negativo.
©
d) Pongamos̨ D
p
1C y2. Tenemos que:
C1w
0
dx
1C x2 C y2 D
C1w
0
dx
x2 C ˛2 D
1
˛
C1w
0
1
˛
1C
�
x
˛
�2 dx D
1
˛
arc tg
x
˛
ˇ̌
ˇ
x!C1
xD0
D �
2
p
1C y2
:
e) En esta integral la variable de integración esx, por lo que tratamos ay como un
parámetro (una constante que puede tomar distintos valores). Tenemos:
C1w
0
dx
.1C y/.1C yx2/ D
1
.1C y/py
C1w
0
p
y
1C .pyx/2 dx D
�
2.1C y/py :
©
f) En esta integral la variable de integración esy, por lo que tratamos ax como un
parámetro. Es la integral de una función racional eny. La descomposición en fracciones
simples corresponde a dos raíces reales simples:
1
.1C y/.1C yx2/ D
A
1C y
B
1C yx2 D
A.1C yx2/CB.1C y/
.1C y/.1C yx2/ :
Por tanto debe verificarse la identidad:
1DA.1C yx2/CB.1C y/:
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 453
� Haciendoy D�1, obtenemos1DA.1� x2/÷AD 1
1 � x2
.
� Igualando términos independientes, obtenemosAC B D 1÷B D� x
2
1 � x2 .
Tenemos parat > 0:
tw
0
dy
.1C y/.1C yx2/ D
1
1 � x2
tw
0
dy
1C y �
x2
1 � x2
tw
0
dy
1C yx2
D
D 1
1� x2
log.1C t/ � 1
1� x2
log.1C tx2/D 1
1� x2
log
1C t
1C tx2
:
Por tanto:
C1w
0
dy
.1C y/.1C yx2/ D lKımt!C1
tw
0
dy
.1C y/.1C yx2/ D
2 logx
x2 � 1 :
©
g) PongamosI.˛;n/D
r
x˛.logx/n dx . Si˛ D�1 entonces:
I.�1;n/D
w 1
x
.logx/n dx D 1
nC 1.logx/
nC1:
Supondremos quę¤�1. Para calcular esta primitiva lo que haremos será obtener una
fórmula de recurrencia que permita calcular dicha primitiva para valores concretos de˛
y den. Tenemos que:
I.˛; n/D
2
664
uD .logx/n! duD n .logx/
n�1
x
dx
dv D x˛ dx ! v D x
˛C1
˛ C 1
3
775D
x˛C1
˛ C 1 .logx/
n� n
˛ C 1
w
x˛.logx/n�1dx
D x
˛C1
˛ C 1 .logx/
n � n
˛ C 1I.˛; n� 1/:
Esta relación de recurrencia permite calcularI.˛;n/ enn pasos, puesI.˛; 0/ es conoci-
do. ©
h) Para calcular la integral
C1w
1
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 dx usaremos la regla de Barrow. Para
ello, debemos obtener una primitiva de la función
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 . Se trata de una
función racional. Una raíz del denominador esx D�1. Dividiendo el denominador por
xC1 tenemos quex3�3x2CxC5D.xC1/.x2�4xC5/. Como el trinomiox2�4xC5
no tiene raíces reales, la descomposición en fracciones simples es de la forma:
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5D
A
x C 1C
Bx C C
x2 � 4x C 5÷x�1DA.x
2�4xC5/C.BxCC /.xC1/
� Haciendox D�1 obtenemos que�2D 10A, luegoAD�1
5
.
� Igualando coeficientes enx2 obtenemos queACB D 0, luegoB D 1
5
.
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Ejercicios resueltos 454
� Igualando términos independientes obtenemos�1D 5ACC D�1CC , luegoC D 0.
tw
0
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 dx D�
1
5
tw
0
1
x C 1 dx C
1
5
tw
0
x
x2 � 4x C 5 dxD
D�1
5
log.1C t/C 1
5
tw
0
1
2
.2x � 4/C 2
x2 � 4x C 5 dxD
D�1
5
log.1C t/C 1
10
tw
0
2x � 4
x2 � 4x C 5 dx C
2
5
tw
0
1
x2 � 4x C 5 dxD
D�1
5
log.1C t/C 1
10
log.t2 � 4t C 5/ � 1
10
log5C 2
5
tw
0
1
.x � 2/2 C 1 dxD
D 1
5
log
p
t2 � 4t C 5
1C t �
1
10
log5C 2
5
arc tg.t � 2/ � 2
5
arc tg.�1/D
D 1
5
log
p
t2 � 4t C 5
1C t �
1
10
log5C 2
5
arc tg.t � 2/C �
10
:
Deducimos que:
C1w
0
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 dx D lKımt!C1
tw
0
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 dx D�
1
10
log5C �
5
C �
10
D
D 1
10
.3� � log5/:
Observa la forma de escribir la primitiva, introduciendo una raíz cuadrada en el loga-
ritmo con la finalidad de poder calcular el límite fácilmente. Sabemos, de entrada, que
dicho límite tiene que existir y ser finito porque se trata de una integral impropia con-
vergente. En efecto, poniendof .x/D x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 , se tiene quef es continua en
Œ0;C1Œ. Para todox > 1 se tiene quef .x/ > 0 y se verifica la equivalencia asintótica
f .x/ � 1
x2
parax ! C1. Como la integral
r C1
1
1
x2
dx es convergente, también lo es
r C1
1 f .x/dx , es decir, la integral
r C1
0 f .x/dx es convergente. ©
i) PongamosI D
1
2w
0
dxp
20C 8x � x2
. El trinomio 20C 8x � x2 tiene raíces reales que
son las soluciones dex2 � 8x � 20D 0, las cuales son�2 y 10, por tanto:
x2 � 8x � 20D .x � 10/.x C 2/÷20C 8x � x2 D .10 � x/.x C 2/:
Deducimos que20C 8x � x2 > 0”�2 < x < 10. Podemos optar por racionalizar
la integral con la sustitución de Euler8.36en la queaD�1, ˛ D�2, ˇ D 10. Con ello,
dicha sustitución viene dada por:
x D r.t/D �2t
2 C 10
t2 C 1 .t > 0/:
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