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Integración por racionalización 449
que es del tipob) anterior.
� Si el trinomioax2 C bx C c no tiene raíces reales, entonces debe serd D 4ac � b2 > 0 y
tambiéna > 0. Poniendo
 D
p
d
2
p
a
, podemos escribir:
ax2 C bx C c D
�p
ax C b
2
p
a
�2
C c � b
2
4a
D
�p
ax C b
2
p
a
�2
C 
 2D
D 
 2
"�p
a
x C b
2
p
a
�2
C 1
#
D 
 2
"�
2ap
d
x C bp
d
�2
C 1
#
:
El cambio
2ap
d
x C bp
d
D t; esto es ,x D
p
dt � b
2a
D �.t/
transforma la integral en
w
R.x;
p
ax2 C bx C c /dx D Œx D �.t/�D
w
R
�
�.t/; 
p
t2 C 1
�pd
2a
dt
que es del tipoc) anterior.
Casos particulares
� Las integrales de la forma
w P .x/p
ax2 C bx C c
dx dondeP .x/ es una función polinómica
pueden resolverse con facilidad por elmétodo de reducción. Se procede de la siguiente forma.
Escribimos:
P .x/p
ax2 C bx C c
D d
dx
�
Q.x/
p
ax2 C bx C c
�
C Cp
ax2 C bx C c
;
dondeQ.x/ es un polinomio, cuyos coeficientes hay que calcular, de grado una unidad menos
que el polinomioP .x/ y C es una constante que también hay que calcular. Observa que la
igualdad anterior puede escribirse:
P .x/DQ 0.x/.ax2 C bx C c/C 1
2
Q.x/.2ax C b/C C
y a la derecha queda un polinomio de igual grado queP .x/ lo que permite identificar coefi-
cientes. Una vez calculados el polinomioQ y la constanteC tenemos que:
w P .x/p
ax2 C bx C c
dx DQ.x/
p
ax2 C bx C c C C
w 1p
ax2 C bx C c
dx
con lo que todo se reduce a calcular una integral de la forma
w 1p
ax2 C bx C c
dx . Haciendo
uso de los cambios antes visto, esta integral, salvo constantes, puede escribirse de alguna de las
formas:
w 1p
1 � t2
dt D arc sen.t/;
w 1p
1C t2
dt D argsenh.t/;
w 1p
t2 � 1
dt D argcosh.t/
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 450
� Finalmente, las integrales de la forma
w 1
.x � ˛/k
p
ax2 C bx C c
dx
se reducen a las del tipo anterior con el cambiox � ˛ D 1
t
.
8.6.11. Ejercicios propuestos
400. Calcula las integrales:
w 1
aC b cosx dx ;
�w
0
1
cosx C 2 senx C 3 dx ;
w 1 � 2 cosx
5 � 4 cosx dx
w dx
cosx
;
w 1
senx cosx
dx
w dx
sen2x cos2x
�
4w
0
cos.3x C 4/p
1C tg2.x C 2/
dx ;
w 1
.1C senx/ cosx dx ;
w
sen2x cos3x dx
401. Calcula, suponiendo quep y q son números enteros, las integrales:
�w
��
senpx cosqx dx ;
�w
��
senpx senqx dx ;
�w
��
cospx cosqx dx :
402. Parax2R, y n2N, definamosF.x/D ao
2
C
nX
kD�n
k¤0
.ak coskxC bk senkx/. Prueba que
para�n 6p6 n se verifica que:
ap D
1
�
�w
��
F.x/ cospx dx y bp D
1
�
�w
��
F.x/ senpx dx
403. Calcula la primitivas:
w x C 3p
x2 C 2x C 2
dx ;
w x2p
2x � x2
dx ;
w 1
x2
p
x2 � x C 1
dx
w p
2ax � x2 dx ;
w 1
.1 � x2/
p
1C x2
dx ;
w 1
x2 3
p
.4C x3/5
dx
w
x7=2.1 � x3/�2 dx ;
w
p
x2 C 9x
x2
dx ;
w 1
2 senhx � coshx dx
w
3
p
x.1C
p
x/�2 dx ;
w
p
5� 8x � 4x2
x C 5=2 dx ;
w dx
x4
p
1C x2
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Ejercicios resueltos 451
8.6.12. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 197 Calcula las integrales:
a/
1w
0
x2p
1 � x6
dx ; b/
C1w
0
x
3C x4 dx c/
aw
�a
p
a2 � x2 dx
d/
C1w
0
dx
1C x2 C y2 e/
C1w
0
dx
.1C y/.1C yx2/ f /
C1w
0
dy
.1C y/.1C yx2/
g/
w
x˛.logx/n dx h/
C1w
1
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 dx i/
1
2w
0
dxp
20C 8x � x2
j /
w
cos2.logx/dx k/
1=2w
0
dxp
20C 8x C x2
l/
C1w
e
dx
x.logx/�
m/
w dx
x
p
2x C 1
n/
2�w
0
dx
2C cosx p/
C1w
1
dx
x.x2 C x C 1/
En c) se supone quea > 0, ene) quey > 0, enf) quex > 1, eng) que˛2R y n2N,
en l) que� > 1.
Solución.a) Esta primitiva es inmediata como puedes comprobar haciendola sustitución
x3 D t . Pero debes reconocerla sin necesidad de efectuar dicha sustitución.
1w
0
x2p
1� x6
dx D 1
3
arc sen.x3/
ˇ̌xD1
xD0 D
�
6
:
©
b) Esta primitiva es inmediata como puedes comprobar haciendola sustituciónx2 D t .
Pero debes reconocerla sin necesidad de efectuar dicha sustitución.
C1w
0
x
3C x4
dx D 1
2
p
3
C1w
0
2xp
3
1C
�
x2p
3
�2 dx D
1
2
p
3
arc tg
x2p
3
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
x!C1
xD0
D �
4
p
3
:
©
c) Se hace con el cambio de variablex D a sent . Tenemos que:
aw
�a
p
a2 � x2 dx D
2
4
x D a sent; dx D a cost dt
�aD a sen��
2
; aD a sen�
2
3
5D
�
2w
� �
2
p
a2� a2 sen2 t a cost dt D
D a2
�
2w
� �
2
p
cos2 t cost dt D a2
�
2w
� �
2
jcost j cost dt D
�
� �=2 6 x 6 �=2) cost > 0
�
D
D a2
�
2w
� �
2
cos2 t dt D a2
�
2w
� �
2
1C cos.2t/
2
dt D a2�
2
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