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Ejercicios resueltos 455
Tenemos que:
r 0.t/D� 24t
.1C t2/2 ; r.t/D 0) t D
p
5; r.t/D 1
2
) t D
r
19
5
Haciendo los cálculos, se obtiene:
I D
"
x D r.t/; dx D r 0.t/dt
r.
p
5/D 0; r.
p
19=5/D 1=2
#
D�2
q
19
5w
p
5
t2
.1C t2/3 dt D 2
p
5w
q
19
5
1
1C t2 dtD
D 2 arc tg.
p
5/ � 2 arc tg
r
19
5
Otra forma de calcular esta integral, quizás más sencilla, se basa en una idea vista en el
ejemplo8.44. Hagamos un cambio de variable de la formax D �t C � por la condición
de que dicho cambio lleve el intervaloŒ�2; 10� al Œ�1; 1�. Deberá ser�2 D �� C �,
10D �C �. Deducimos que el cambio buscado esx D 6t C 4. Tenemos que:
1
2w
0
dxp
.10 � x/.x C 2/
D
2
4
x D 6t C 4; dx D 6 dt ; .10 � x/.x C 2/D 36.1 � t2/
x D 0) t D�2
3
; x D 1
2
) t D� 7
12
3
5D
D
� 7
12w
� 2
3
1p
1� t2
dt D arc sen2
3
� arc sen7
12
:
No te quepa duda de que se trata en ambos casos del mismo resultado expresado de
diferente forma.
8.62 Observación.Un error frecuente en este tipo de ejercicios consiste en cambiar el
trinomio por su opuesto. Las ecuaciones20C 8x � x2 D 0 y �20 � 8x C x2 D 0, son
la misma ecuación, pero las funciones
p
20C 8x � x2 y
p
�20 � 8x C x2 no son la
misma función. ©
j) Esta primitiva es de las que se calculan integrando por partes, procurando que la inte-
gral se repita. Tenemos que:
w
cos2.logx/dx D
�
uDcos2.logx/
dv D dx ! vDx
�
D x cos2.logx/C
w
2 cos.logx/ sen.logx/dxD
D x cos2.logx/C
w
sen.2 logx/dx D
�
uD sen.2 logx/
dv D dx ! v D x
�
D
D x cos2.logx/C x sen.2 logx/� 2
w
cos.2 logx/dxD
D x cos2.logx/C x sen.2 logx/� 4
w
cos2.logx/dx C 2x:
Donde hemos usado la igualdad cos.2t/D 2 cos2 t � 1. Deducimos que:
w
cos2.logx/dx D 1
5
�
x cos2.logx/Cx sen.2 logx/C 2x
�
©
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 456
k) PongamosI D
1=2w
0
dxp
20C 8x C x2
. El trinomio20C 8xC x2 no tiene raíces reales.
Tenemos que:
20C 8x C x2 D .x C 4/2 C 4D 4
��
x C 4
2
�2
C 1
�
:
Por tanto:
I D
1=2w
0
dxp
20C 8x C x2
D
1=2w
0
1
2r�
xC4
2
�2
C 1
D argsenhx C 4
2
ˇ̌
ˇ̌
xD 1
2
xD0
D argsenh9
4
:
©
l) PongamosI.�/ D
C1w
e
dx
x.logx/�
. Como� ¤ �1, la funciónf .x/ D 1
x.logx/�
D
1
x
.logx/��, tiene como primitivaF.x/D 1
1� �.logx/
1��. La funciónf .x/ es positiva
y continua enŒe;C1Œ. Tenemos que
I.�/D
C1w
e
dx
x.logx/�
D F.x/
ˇ̌x!C1
xDe D lKımx!C1 F.x/� F.e/D
1
� � 1 :
©
m)PongamosID
w dx
x
p
2x C 1
. Esta integral se racionaliza con el cambio8.35, esto es,
haciendo2x C 1D t2, (t > 0). Tenemos:
I D
w dx
x
p
2x C 1
D
�
2x C 1D t2
dx D t dt
�
D
w 2t dt
.t2 � 1/t D 2
w dt
t2 � 1D
D
w dt
t � 1 �
w dt
t C 1 D log
t � 1
t C 1 D log
p
2x C 1� 1p
2x C 1C 1
:
©
n) PongamosI D
2�w
0
dx
2C cosx . Esta integral se racionaliza con el cambiot D tg.x=2/
(8.34). Para aplicar la regla de Barrow, calcularemos primero unaprimitiva def .x/D
1
2C cosx .
w dx
2C cosxD
2
64
t D tg.x=2/
dx D 2 dt
1Ct2
cosx D 1�t2
1Ct2
3
75D 2
w dt
3C t2D
2p
3
arc tg
tp
3
D 2p
3
arc tg
�
tg x
2p
3
�
:
LlamemosF.x/D 2p
3
arc tg
�
tg x
2p
3
�
a la primitiva calculada. Tenemos que:
I D
2�w
0
dx
2C cosx D F.x/
ˇ̌xD2�
xD0 D F.2�/ � F.0/D 0:
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Ejercicios resueltos 457
Resultado claramente erróneo porque la integral de una función continua y positiva debe
ser un número positivo. ¿Dónde está el error? Pues en que la primitiva que hemos cal-
culado no está definida en todo el intervaloŒ0; 2�� pues el valor deF.x/ parax D � no
está, en principio, definido. De hecho, se tiene que:
lKım
x!�
0<x<�
F.x/D 2p
3
�
2
D �p
3
; lKım
x!�
�<x<2�
F.x/D� 2p
3
�
2
D� �p
3
:
Por tanto, la funciónF tiene una discontinuidad de salto en� , lo que implica que no es
derivable en� . Es decir, la funciónF.x/ no es una primitiva def .x/ en Œ0; 2��. Pero
F.x/ sí es una primitiva def .x/ en Œ0; �� y en Œ�; 2�� (definiendo en cada casoF en�
como el correspondiente límite lateral para queF resulte continua en cada uno de dichos
intervalos). Luego:
I D
�w
0
dx
2C cosx C
2�w
�
dx
2C cosx D F.x/
ˇ̌x!��
xD0 C F.x/
ˇ̌xD2�
x!�CD
D lKım
x!�
0<x<�
F.x/� lKım
x!�
�<x<2�
F.x/D 2�p
3
:
8.63 Observaciones.Al hacer un cambio de variable para calcular una integral defini-
da hay que tener presente la correspondencia entre intervalos. La función que realiza el
cambio de variable debe ser continua en su intervalo. En el ejemplo anterior, el cambio
realizado est D tg.x=2/, pero la funciónx 7! tg.x=2/ no está definida en todo el inter-
valo Œ0; 2��. Cuandox recorreŒ0; 2��, x=2 recorreŒ0; �� y la tangente no está definida
en �
2
2 Œ0; ��.
También se evitan errores siguiendo el procedimiento usualpara realizar cambios de
variable en integrales definidas. En el ejemplo anterior debemos calcular los valores det
que corresponden ax D 0 y ax D 2� lo que nos daría los nuevos límites de integración
c y d . Así obtendríamos que paraxD 0 escD tg0D 0, y paraxD 2� esd D tg.�/D 0.
Ya vemos que aquí hay algo que no va bien.
Estos errores están propiciados porque la notación que usamos para las integrales indefi-
nidas (las primitivas) no tiene en cuenta el intervalo en quetrabajamos, y ese es un dato
muy importante que no se debe olvidar cuando calculamos integrales definidas.
Para calcular integrales de funciones trigonométricas puede ser útil tener en cuenta que
dichas funciones son periódicas. Supongamos queh WR! R es una función continua y
periódica con períodǫ, es decir,h.xC ˛/Dh.x/ para todox2R. Entonces se verifica
que la integral deh en cualquier intervalo de longitud̨es la misma. Es decir, para todo
x 2 R es
r xC˛
x h.t/dt D
r ˛
0 h.t/dt . La comprobación de esta igualdad es inmediata
porque la funciónH.x/D
r xC˛
x h.t/dt es derivable con derivadaH
0.x/D h.xC ˛/�
h.x/D 0, luegoH es una función constante.
Aplicando esto en el ejemplo anterior, y teniendo en cuenta que el coseno tiene período
2� y es una función par, tenemos que:
2�w
0
dx
2C cosx D
�w
��
dx
2C cosx D
0w
��
dx
2C cosx C
�w
0
dx
2C cosx D 2
�w
0
dx
2C cosx
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