Problemario_Calculo-19 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Una gráfica es simétrica con respecto al eje 𝒚 siempre que el punto (−𝑥, 𝑦) esté 
en la gráfica cuando el punto (𝑥, 𝑦) esté en ella. La prueba para saber si esto 
ocurre consiste en sustituir la variable 𝑥 por – 𝑥 en la función 𝑓, obteniéndose la 
misma ecuación. 
1.- La función 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 − 𝑥2 es simétrica con respecto al eje 𝑦, pues 
𝑓(−𝑥) = 5(−𝑥)4 − (−𝑥)2 = 5𝑥4 − 𝑥2 = 𝑓(𝑥) 
 
𝑦 = 5𝑥4 − 𝑥2 
2.- La función 𝑥 = 𝑓(𝑦) dada por la expresión 𝑥 = 4𝑦2 es simétrica con respecto al 
eje 𝑥, pues 
𝑓(−𝑦) = 4(−𝑦)2 = 5𝑦2 = 𝑓(𝑦) 
 
𝑥 = 4𝑦2 
 
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3.- La función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 7𝑥3 es simétrica con respecto al origen pues 
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para toda 𝑥.En efecto: 
𝑓(−𝑥) = 2(−𝑥) − 7(−𝑥)3 = −2𝑥 + 7𝑥3 = −𝑓(𝑥) 
 
𝑦 = 2𝑥 − 7𝑥3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 Propiedades de las Funciones 
Funciones Pares 
Se dice que una función es par si 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para toda x en su dominio. En este 
caso, la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) no cambia si se sustituye 𝑥 por – 𝑥, por consiguiente, 
de acuerdo a las pruebas de simetría, la gráfica de una función par es simétrica 
respecto al eje 𝑦. De esta manera concluimos que la función 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 − 𝑥2 es 
par. 
 
Se dice que una función es impar si 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para toda x en su dominio. En 
este caso, de acuerdo a las pruebas de simetría, la gráfica de una función impar 
es simétrica respecto al origen. De esta manera concluimos que la función 𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 7𝑥3 es impar. 
 
Por supuesto que también hay casos en los cuales una función dada no es par ni 
tampoco impar. La funciones dadas por 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 y 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2 
No cumplen ninguna de las dos condiciones, pues, en ambos casos se tiene que 
𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) y 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥).