CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-23 - Eduardo González

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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
l. 70 Un tanque de lámina de hierro en forma cilíndrica cerrado en sus extremos por 
semiesferas, de dimensiones variables "r" y "h" , como se ve en la figura, 
debe construirse con 4 m 
2 
de lámina. Formular una función que determine la 
capacidad del tanque en términos de "r" . 
SOLUCIÓN: 
La capacidad del tanque es: 
El área de lámina es: 
2 
21trh+41tr =4; 
Luego: 
2 4 3 
V = 1tr h +- 1tr 
3 
2 
1trh=2-21tr ; 
22-21tr
2 
4 3 3 4 3 
V=1tr +-1tr =2r-21tr +-1tr · 
1tr 3 3 ' 
1 
1 
---1 
1 
1 
2 
h=2-21tr 
1tr 
2 3 
V=2r--1tr 
3 
1.71 En una esfera de radio constante "R" está inscrito un cilindro de dimensiones 
variables. Formular una función que sirva para calcular el volumen del cilindro 
en términos del radio de su base "r" . 
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SOLUCIÓN: 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO D 1 FE RE N C 1 AL 
FUNCIONES 
Sea V el volumen del cilindro y "h" su altura 
2 
V= nr h ............................. ( 1) 
De la figura y por el Teorema de Pitágoras: 
h 2 2 
( ) 
2 
-2 +r =R 
Sustituyendo este valor en ( 1 ) : 
2 
-r 
1 
1 
1-+--F-+J 
---¡ 
h 
__ j 
l. 72 Un tanque de forma prismática de base cuadrada con tapa, se construirá 
soldando entre si seis placas de acero, cuatro rectangulares y dos cuadradas 
que deben totalizar un área de 20 m 
2 
. Formular una función para determinar 
la longitud del cordón de soldadura necesario en términos del lado "x" de su 
base. 
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
SOLUCIÓN: 
Si "y" es la longitud del cordón de soldadura y "h" la altura del tanque: 
y=8x+4h ................................ (1) 
El área de placa es: 
2 
2x + 4xh = 20 2 4xh = 20- 2x , luego: 
Sustituyendo este valor en ( 1 ) 
2 
h = _10_-_x_ 
2x 
2 2 
y = f (X) = 8 X + 4 1_ 0_-_x_ = 8 X + 20 - 2 X = 8 X + 20 - 2 X 
2x 
8 x 2 - 2x + 20 
f( X)= 
X 
X X 
i 
h 
¡ 
l. 73 Con una cartulina circular de radio fijo "r" hay que hacer un vaso cónico 
recortando un sector circular AOB y uniendo los bordes OA y OB . 
Formular una función que sirva para calcular la capacidad "V" del vaso en 
términos de su altura "h" . 
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