CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-18 - Eduardo González

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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
1.52 Sea la función: 
f(x)= 
2 
3 ~ 2 
2--\j 7+6x-x 
4 
si x!l[-1,7] 
si X E ( -1, 7) 
Trazar su gráfica y determinar su dominio y recorrido. 
SOLUCIÓN: 
La segunda regla de correspondencia se puede transformar: 
[ 
---- --------·---
3 2 
y = 2 -- 7 + 6x- x 
4 
4 ( y-2 ) = -3 -J 16-( x-3 ) 2 
2 2 
9 ( X- 3 ) + 16 ( y-2 ) = 144 ; 
3 r ·· 2 -~---------
y-2=-- -y -(x -6x+9)+7+9 
4 
2 2 
16 ( y-2 ) = 144 - 9 ( X-3 ) 
2 
( x-3) 
~----- ------
2 
+ ( y-2) = 1 
16 9 
que corresponde a una elipse de centro C ( 3 , 2 ) , a = 4 , b = 3 y eje focal 
paralelo al eje de las abscisas. 
El dominio de la función es: D 1 = { x 1 x E IR , x -::1= -1 , x =1= 7 } y el 
recorrido es R 1 = {y 1 -1 s;; y s;; 2 } . 
y 
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FUNCIONES 
1.53 Trazar la gráfica y determinar el dominio y recorrido de la función: 
2 
X -1 si -2 < X < 1 
l(x)= 
3 
(x-2) +1 si 1 ~ X ~ 3.5 
SOLUCIÓN: 
La primera regla de correspondencia tiene como gráfica un arco de la parábola 
y + 1 = x 2 de vértice V ( O , -1 ) , parámetro p = _!_ y que se abre hacia 
4 
arriba. 
Tabulando se puede obtener la gráfica de la segunda regla de correspondencia: 
3 
y =(x-2) +1 
El dominio de la función es D 1 = { x 1 -2 < x ~ 3.5 } 
El menor valor que toma y es y 1 = 1 ( O ) = O - 1 = -1 
y el mayor de y es y 2 = 1 ( 3.5) = 4.375 
El recorrido de la función es R 1 = {y 1-I ~ y ~ 4.375 } 
y 
... 375 
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FUNCIONES 
1.54 Dadas las ecuaciones: x = t + 2 , y = t 2 + 3 t , indicar si determinan 
paramétricamente una función. En caso afirmativo obtener el dominio, recorrido 
y gráfica de la función. 
SOLUCIÓN: 
x=t+2 ................................. (1) 
2 
y=t +31 .............................. (2) 
El conjunto de valores reales del parámetro "t" que hacen que "x" sea real 
Dx =IR y el que hace que "y" sea real es DY =IR. La intersección de 
estos dos conjuntos es IR , así que para cada valor real de "t" hay una 
pareja de números reales ( x, y ) de una función. 
Resolviendo como simultánea las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) se puede eliminar 
el parámetro "t" obteniendo en forma cartesiana la regla de correspondencia 
de la función. 
De ( 1 ) : t = x - 2 
sustituyendo este valor en ( 2 ) : 
2 2 2 
y= (X- 2) + 3 (X- 2) =X - 4x + 4 + 3x- 6 =X -X- 2 
y = x 2 - x - 2 es la ecuación cartesiana en forma explícita de la regla de 
correspondencia, que se puede transformar como sigue: 
9 
4 
Esta es la ecuación de una parábola con vértice 
concavidad hacia arriba. 
44 
( 
1 ) 
2 
9 x-.2 =y+¡ 
v(! 
2 ' 
: ) que abre su