CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-15 - Eduardo González

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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
La función inversa es: ¡-' ~ { ( x, y) y~~~ 36-x 2 , x ¿O}· El dominio y 
el recorrido de f -l son: D 11 = { x \ O ~ x ~ 6 } , R 11 = { y 1 O ~ y ~ 3 } . 
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5 
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4 / 
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3 / 
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1 
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X o 1 2 3 5 & 
1.44 Dada la función f = { ( x, y) 1 y= 9- [36-C~-.=))~2 ; 3 < x < 9 }· 
Investigar si es biunívoca. En caso afirmativo determinar su función inversa, los 
dominios y recorridos de ambas funciones; trazar sus gráficas. 
SOLUCIÓN: 
La regla de correspondencia de f puede escribirse: 
'- 2 2 2 y-9 = -lj 36-(x-3) ; (y-9) = 36-(x-3) ; 2 2 (x-3) + (y-9) = 36 
que es la ecuación de una circunferencia de centro C ( 3 , 9 ) y radio r = 6 
Para x 1 = 3 , y 1 = 3 y si x 2 = 9 , y 2 = 9 , entonces la gráfica de f es 
el arco de la circunferencia comprendido entre los puntos A ( 3 , 3 ) y 
B(9, 9). 
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D 1 FE RE N C 1 AL 
FUNCIONES 
El dominio de f es: D 1 = { x 1 3 < x < 9 } y su recorrido es 
R 1 ={yj3<y<9} 
Cada valor de y E R 1 corresponde a un solo valor de x E D 1 , así que f es 
biunívoca. 
La función inversa de f es: 
r' = { (X, y) 1 X= 9- J 36-( y-3 ) 2 , 3 <y <9} 
En esta expresión la regla de correspondencia está en forma implícita. 
Despejando "y" se tiene: 
X-9 = ~-36-- ( y-3) 2 (X- 9) 2 = 36- ( y-3) 2 (X- 9 ) 2 + ( y-3 ) 2 = 36 
y-3 = ~ 36 - ( x-9) 2 y = 3 + J-;~-- ( X- 9 ) 2 
la función inversa puede escribirse: 
-1 { 1 ¡-- 2 } f = (X, Y) 1 y= 3 + lj 36-( y-9) ; 3 <X< 9 
siendo D 
1 
_1 = { x 1 3 < x < 9 } y R 
1 
_1 = { y 1 3 < y < 9 } 
La gráfica de /-
1 
es un arco de la circunferencia de centro C ( 9, 3) y 
radio r = 6 
y 
3 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
~o~------3~------T,------~,--~x 
34 
1.45 Investigar si la función: 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
FUNCIONES 
[={(X, y)l4(x-2)
2
-9(y-3)
2 
=36, X¿ 5, y¿ 3} 
es biunívoca. Si lo es, obtener su función inversa, los dominios y recorridos de 
ambas funciones; trazar sus gráficas. 
SOLUCIÓN: 
La regla de correspondencia de f puede escribirse: 
2 2 
( x-2) _ ( y-3_2_ = 
1 
9 4 
que es la ecuación de una hipérbola de centro C ( 2 , 3 ) eje focal paralelo al 
eje de las abscisas, a = 3 , b = 2 , uno de cuyos vértices es V ( 5 , 3 ) . 
Como x ~ 5 y y 2:: 3 , sí se tiene una función biunívoca cuyo dominio es 
D 1 = { x 1 x ~ 5 } y cuyo recorrido es R 1 = { y 1 y 2 3 } . 
La función inversa de fes: 
f- 1 ={(x, y)l4(y-2) 2 -9(x-3) 2 =36, x 2 3, y 2 5} 
para la cual D _1 = { x 1 x 2 3 } , R _1 = {y 1 y 2 5 } . 
f f 
Las reglas de correspondencia de ambas funciones en forma explícita son: 
f (x) = 3 + ~ J ( x-2 ) 2 - 9, f- 1 (x) = 2 + -~ [{:3 ) 2 + 4 
3 2 
y 
10 
• 
4 
2 
/ 
~o~---T2~--~4--~~&----~.----1~o--~x 
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