Problemario_Calculo-25 - Eduardo Gonzalez Garcia

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lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞ 
Y por lo tanto lim
𝑥→0−
1
𝑥
 no existe. De esta manera, podemos concluir que la recta 
𝑥 = 0 es asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
. 
Similarmente, cuando el valor de 1 en el numerador, queda dividido entre una 
cantidad a la derecha del número cero, que es positiva y que se va haciendo cada 
vez más pequeña, se concluye que 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞ 
Y por lo tanto, también en este caso concluimos que lim
𝑥→0+
1
𝑥
 no existe. 
 
4.- Determina las asíntotas verticales de la siguiente función. 
𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥 + 2
 
Solución. Se puede observar que el dominio de la función 𝑓 es el conjunto 
(−2,∞) y la intersección con el eje y se da en el punto (0,0). Por otra parte, 
afirmamos que la recta 𝑥 = −2 es asíntota vertical para la función 𝑓(𝑥). En efecto, 
para −2 < 𝑥 se tiene que 0 < 𝑥 + 2 y lim
𝑥→−2+
√𝑥 + 2 = 0. De esta manera, 
lim
𝑥→ −2+
𝑥
√𝑥 + 2
=
lim
𝑥→−2+
𝑥
lim
𝑥→−2+
√𝑥 + 2
=
−2
lim
𝑥→−2+
√𝑥 + 2
= −∞ 
Por lo tanto, la recta 𝑥 = −2 es asíntota vertical para la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥+2
. 
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𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥 + 2
 
Limites en el infinito y Asíntotas horizontales 
 
 
Si una función 𝑓 tiende a un valor constante 𝐿 cuando la variable independiente 𝑥 
crece sin límite (𝑥 → ∞) o cuando 𝑥 decrece sin límite (𝑥 → −∞), entonces se 
escribe 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑜 lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Y se dice que 𝑓 posee límite en el infinito. 
 
Definición. Se dice que la recta 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal para la gráfica 
de una función 𝑓(𝑥) si se cumple alguna de las dos condiciones siguientes. 
 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑜 lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
La siguiente figura muestra algunas asíntotas horizontales típicas. 
 
 
 
 
 
 
 
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1.- Determina cuales son las asíntotas verticales de la siguiente función. 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑥2 −√𝑥4 − 𝑥2 + 1 
 
Solución. Vamos a evaluar el siguiente límite 
 
 lim
𝑥→∞
( 𝑥2 −√𝑥4 − 𝑥2 + 1 ) 
Este límite es una forma indeterminada del tipo ∞−∞ así que para poder 
evaluarlo vamos a racionalizar la expresión 𝑥2 − √𝑥4 − 𝑥2 + 1 para reescribir a 
esté límite como 
lim
𝑥→∞
( 𝑥2 −√𝑥4 − 𝑥2 + 1 ) = lim
𝑥→∞
(( 𝑥2 − √𝑥4 − 𝑥2 + 1 )
 𝑥2 + √𝑥4 − 𝑥2 + 1 
 𝑥2 + √𝑥4 − 𝑥2 + 1 
 ) 
= lim
𝑥→∞
(
 𝑥2 − 1
 𝑥2 + √𝑥4 − 𝑥2 + 1
 ) 
Y ahora simplemente hay que observar que 
lim
𝑥→∞
(
 𝑥2 − 1
 𝑥2 + √𝑥4 − 𝑥2 + 1
 ) = lim
𝑥→∞
(
 
1 −
1
𝑥2
1 + √
𝑥4 − 𝑥2 + 1
𝑥4
 
)
 
=
lim
𝑥→∞
(1 −
1
𝑥2
)
 lim
𝑥→∞
 (1 + √1 −
1
𝑥2
+
1
𝑥4
)
 =
1 − 0
1 + √1 − 0 + 0
=
1
2
 
Por lo tanto, concluimos que la recta 𝑦 =
1
2
 es asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥). 
Similarmente, es posible verificar que lim
𝑥→−∞
( 𝑥2 − √𝑥4 − 𝑥2 + 1 ) =
1
2
 
 
 
 𝑦 = 𝑥2 −√𝑥4 − 𝑥2 + 1