CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-53 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL 
LA DERIVADA 
111.26 Un bote B navega perpendicularmente a la costa hacia un muelle "M" a 
razón de 15 k m 1 h . Un foco "F" está a 3 k m del muelle sobre la costa. 
¿Con qué rapidez se acerca el bote al faro cuando está a 4 km del muelle? 
SOLUCIÓN: 
dx = _15 km 
dt h 
Se pide 
dy 
dt 
cuando x 1 = 4 km 
De la figura y 2 = x 2 + 9 
Derivando respecto al tiempo t 
dy dx 
2y-=2x-· 
dt dt . 
dy x dx 
-= 
dt y dt 
Cuando x 1 = 4 . 
Sustituyendo valores en dy. dt . 
dy = _12 km 
dt h 
dy 4 
- = -(-15)=-12 
dt 5 
/ 
// 
/ 
/ 
/ 
/ 
F 
y// 
// 
/ 3km 
/ 
/ 
// 
/ 
/ 
./ 
B.::..------------------ M 
X 
147 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LA DERIVADA 
m3 
111.27 Se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de 20-. 
mm 
La altura del montón es siempre igual al radio de su base. ¿Con qué rapidez 
está aumentando la altura del montón cuando el radio mide 3 metros?. 
SOLUCIÓN: 
Sea V el volumen de arena 
dv -20m3 --- -
dt min 
dh 
Se pide cuando r 1 = 3m dt 
V=__!_n:r 2 h 
3 
Como h = r , V = ~ 1t h 3 , luego: 
Derivando respecto al tiempo t 
Jh2 dh =l dv 
dt 1t dt ' 
dh 1 dv 
--------
dt 1th2 dt 
Sustituyendo valores d h ~ O. 70735 _!!!__ 
dt min 
------ -._, ____ __ 
1 .. r---1 .... ~1 
148 
h 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LA DERIVADA 
111.28 Un avión vuela a 8 k m de altura en línea recta hacia la ubicación de un radar 
localizado a nivel del suelo. Si la distancia entre el avión y el radar está 
disminuyendo a razón de 400 k m 1 h , cuando esta distancia es de 1 O k m , 
¿cuál es la velocidad del avión? 
SOLUCIÓN: 
Sea "z " la distancia entre el avión y el radar, 
Se pide 
dx 
dt 
cuando z 1 = 1 O k m 
De la figura z 2 = x 2 + 64 
Derivando respecto al tiempo 11 t 11 
dz 
2zdz =2xdx 
dt dt 
luego: 
dx dt 
- = z- =V 
dt X A 
Sí z 1 :;:10km, 
dz = 400 km/h 
dt 
VA= 10 ( 400) = _20_0_0 _km_ 
6 3 h 
VA =666 66 km . h 
~-----------x --------~~~~ 
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