CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-49 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE I!.JI!RCICIOS DI! CÁLCULO DIFERENCIAL 
LA DERIVADA 
la función queda 
f(x)= 
1 1 
--x--
2 2 
~~ 9-(x-2) 2 
3 
(x-2) 2 +2 
b) Derivabilidad en x 1 = -1 
f'_ ( -1) =- ~ 
si X ~ -1 
si -1 <X~ 2 
si X> 2 
_!}__ ( 2 ~ 9 -(x- 2 )2 ) = 2 -2(x-2) 
dx 3 3 ~ 2 
2(x-2) 
= - ~;::::======= 
3~ 9-(x-2) 2 2 9-(x-2) 
!'+ ( -1) = 2 ( 3) 
3~9-9 
= 
2 
o 
La función no es derivable en x 1 = -1 . 
Derivabilidad en x 2 = 2 
f'_ ( 2) =- -----;:=2=(=x=-=2=) ==-l -
3~9-(x-2) 2 x=
2
-
f'+ ( 2 ) = 2 ( X - 2 ) lx = 2 = 2 ( O ) =O 
2(0) 
3-J9-0 
=o 
Como f'_ ( 2) = f + ( 2) =O, f' ( 2) =O, por lo que la función es 
derivable en x = 2 luego es derivable en IR - { -1 } 
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e) Gráfica 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LA DERIVADA 
y 
1 
5 
4 
111.16. Calcular el área del triángulo formado por el eje de las ordenadas, la recta 
tangente y la recta normal a la curva de y 2 = 4 - x en el punto de 
ordenada 1 
SOLUCIÓN: 
Si y 1 = 1 , 
P ( 3, 1) . de 
dy 1 
= 
dx 2y 
entonces x 1 = 4 - 1 = 3 , 
la ecuación 
2 y =4-x 
la pendiente de la tangente 
el punto de tangencia es: 
se obtiene 2y d Y = -1 
dx 
1 1 
es m=---=--
2 (1) 2 
Ecuación de la recta tangente: y -'-1 =- _!_ ( x- 3) , x + 2y- 5 =O ,. 
2 
Punto de intersección con el eje de las ordenadas 
Sí X 2 = o' dy = 5' 
Pendiente de la normal; m N 
5 
Y2 = 
2 
• 
= _ _!_ = 2. 
m 
Ecuación de la normal; y- 1 = 2 ( x- 3) 2x - y- 5 = O 
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CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CALCULO DIFBRENCIAL 
LA DERIVADA 
Punto de intersección con el eje de las ordenadas. 
Si X 3 = o 1 y 3 = -5 1 B (O, -5) 
Sea el segmento AB la base del triángulo. 
5 5 10 15 
-- ( -5) =- +-=-
2 2 2 2 
La altura del triángulo: h = 3 
Área del triángulo 
3 ( 15 ) 
A= 2 = 45 
2 4 
A = 
45 
unidades de área. 
4 
137