Problemario_Calculo-55 - Eduardo González

Vista previa del material en texto

162 
 
Derivada de la función logarítmica 
Calcula la derivada de las siguientes funciones 
1.− 𝑦 = 𝑥√𝑥 
Solución. Vamos a tomar el logaritmo natural a ambos lados de esta expresión 
ln𝑦 = ln{𝑥√𝑥} = √𝑥 ln(𝑥) 
Y ahora vamos a derivar implícitamente con respecto a 𝑥 ambos lados de la 
igualdad 
𝑑
𝑑𝑥
ln(𝑦) =
𝑑
𝑑𝑥
{√𝑥 ln(𝑥)} 
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= √𝑥
1
𝑥
+ ln(𝑥)
1
2√𝑥
=
1
√𝑥
+
ln(𝑥)
2√𝑥
 
Por lo tanto 
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2√𝑥 + √𝑥 ln(𝑥)
2𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 {
2√𝑥 + √𝑥 ln (𝑥)
2𝑥
} = 𝑥√𝑥 {
2√𝑥 + √𝑥 ln (𝑥)
2𝑥
} 
 
2.− 𝑦 = 𝑥√𝑥 + 1 √𝑥2 + 2
3
 
Solución. Tomando logaritmo natural a ambos lados de la expresión y luego 
simplificando se obtiene 
ln(𝑦) = ln{𝑥√𝑥 + 1 √𝑥2 + 2
3
} 
= ln(𝑥) + ln(𝑥 + 1)
1
2 + ln(𝑥2 + 2)
1
3 
= ln(𝑥) +
1
2
ln(𝑥 + 1) +
1
3
ln (𝑥2 + 2) 
Y ahora utilizaremos derivación implícita para despejar a 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
𝑑
𝑑𝑥
ln(𝑦) =
𝑑
𝑑𝑥
{ln(𝑥) +
1
2
ln(𝑥 + 1) +
1
3
ln(𝑥2 + 2)} 
 
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
+
1
2(𝑥 + 1)
+
2𝑥
3(𝑥2 + 2)
 . 
 
163 
 
 
De donde 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 {
1
𝑥
+
1
2(𝑥 + 1)
+
2𝑥
3(𝑥2 + 2)
} 
Pero por (1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= {𝑥√𝑥 + 1 √𝑥2 + 2
3
 } {
1
𝑥
+
1
2(𝑥 + 1)
+
2𝑥
3(𝑥2 + 2)
} 
 
𝟑.− Encuentra la segunda derivada con respecto a 𝑥 de la función 
𝑦 = √𝑥𝑥 ∗∗∗ (1) 
Solución. Tomamos logaritmo natural a ambos lados de esta expresión 
ln(𝑦) = ln(𝑥𝑥)
1
2 
=
1
2
ln (𝑥𝑥) 
=
1
2
𝑥 ln(𝑥) 
Y ahora derivamos con respecto a 𝑥. 
𝑑
𝑑𝑥
ln(𝑦) =
1
2
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 ln(𝑥)) 
 
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
{𝑥
1
𝑥
+ ln(𝑥)} =
1
2
{1 + ln(𝑥)}. 
Por lo tanto 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑦 {1 + ln(𝑥)} ∗∗∗ (2). 
Pero por (1) 𝑦 = (𝑥𝑥)1/2, por lo cual al sustituir en (2) nos queda 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
(𝑥𝑥)1/2{1 + 𝑙𝑛 (𝑥)}. 
 
 
 
 
164 
 
4.− 𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑥
𝑥
∗∗∗ (1) 
Solución. Tomamos logaritmo a ambos lados de la expresión (1) 
ln 𝑦 = ln{𝑥𝑥𝑒𝑥
𝑥
} 
 = ln(𝑥 𝑒𝑥)𝑥 
 = 𝑥 ln ( 𝑥𝑒𝑥) 
 = 𝑥{ln(𝑥) + ln (𝑒𝑥)} 
 = 𝑥{ln(𝑥) + 𝑥} 
 = 𝑥 ln(𝑥) + 𝑥2. 
Y ahora vamos a derivar implícitamente con respecto a 𝑥 para hallar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
𝑑
𝑑𝑥
ln(𝑦) =
𝑑
𝑑𝑥
{𝑥 ln𝑥 + 𝑥2} 
 = 𝑥
1
𝑥
+ ln(𝑥) + 2𝑥 
 = 1 + ln(𝑥) + 2𝑥 
Por lo tanto, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑥𝑒𝑥
𝑥
{1 + ln(𝑥) + 2𝑥}. 
 
5.− 𝑦 =
(𝑥2 + 1)𝑥
𝑥2
 . 
Solución. Tomamos logaritmos a ambos lados: 
ln(𝑦) = ln {
(𝑥2 + 1)𝑥
𝑥2
} 
ln(𝑦) = ln(𝑥2 + 1)𝑥 − ln(𝑥2) 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑥 ln(𝑥2 + 1) − 2 ln(𝑥). 
Y ahora derivamos con respecto a 𝑥 
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥2
𝑥2 + 1
+ ln(𝑥2 + 1) −
2
𝑥
. 
Por lo tanto 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 {
2𝑥2
𝑥2 + 1
+ ln(𝑥2 + 1) −
2
𝑥
} = {
(𝑥2 + 1)𝑥
𝑥2
} {
2𝑥2
𝑥2 + 1
+ ln(𝑥2 + 1) −
2
𝑥
}.