Problemario_Calculo-6 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Del análisis de los casos anteriores se concluye que el conjunto solución para la 
desigualdad 
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(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) < 0, está dado por 
𝑥 ∈ ∅ ∪ (1,3) = (1,3). 
 
2. Resuelve la siguiente desigualdad 
(𝑥 + 2)(3 − 𝑥)
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)
≤ 0 
Solución. Método 1. 
Los factores 𝑥 + 2 y 3 − 𝑥 son cero cuando 𝑥 = −2 y 𝑥 = 3 respectivamente. El 
denominador del cociente se anula cuando 𝑥 = −1. Al retirar estos puntos del eje 
real se obtienen los siguientes intervalos que no se traslapan: 
(−∞,−2); (−2, −1); (−1, 3); (3,∞) 
Notemos ahora que la función 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 2)(3 − 𝑥)
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)
. 
Es continua y no se anula dentro de cada uno de estos intervalos y por lo tanto 
podemos determinar el signo que tienen los factores 𝑥 + 2 y 3 − 𝑥 y 𝑥 + 1 en cada 
intervalo con un valor de prueba. Utilizando el hecho de que el factor 𝑥2 + 1 
siempre es positivo, obtenemos la siguiente tabla de signos 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (−∞,−2) (−2,−1) (−1,3) (3,∞) 
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑘 −3 −3/2 0 4 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 + 2 − + + + 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 3 − 𝑥 + + + − 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 + 1 − − + + 
𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥2 + 1 + + + + 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) + − + − 
 
Las soluciones para la desigualdad 
(𝑥 + 2)(3 − 𝑥)
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)
≤ 0 
Son los valores de 𝑥 para los cuales el signo resultante es menor o igual a cero. 
Así, la solución de esta desigualdad son todas las 𝑥 tales que 
𝑥 ∈ [−2,−1) ∪ [3,∞) 
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Método 2. Por casos. 
El resultado anterior se puede verificar si hacemos un análisis de los casos en que 
la variable 𝑥 produce en la expresión algebraica 
(𝑥+2)(3−𝑥)
(𝑥+1)(𝑥2+1)
 valores menores o 
iguales a cero, para lograrlo vamos a considerar tres casos: 
Caso 1. Buscamos a todos los valores de 𝑥 para los cuales se cumple lo siguiente 
𝑥 + 2 > 0; 3 − 𝑥 > 0; 𝑥 + 1 < 0 
O sea 𝑥 > −2; 𝑥 < 3; 𝑥 < −1 
En términos de intervalos, se concluye que 
𝑥 ∈ (−2,∞) ∩ (−∞, 3) ∩ (−∞,−1) = (−2,−1) 
Caso 2. Buscamos a todos los valores de 𝑥 para los cuales se cumple 
𝑥 + 2 > 0; 3 − 𝑥 < 0; 𝑥 + 1 > 0 
O sea 𝑥 > −2; 3 < 𝑥; 𝑥 > −1 
En términos de intervalos, se concluye que 
𝑥 ∈ (−2,∞) ∩ (3,∞) ∩ (−1,∞) = (3,∞) 
Caso 3. Buscamos a todos los valores de 𝑥 para los cuales se cumple 
𝑥 + 2 < 0; 3 − 𝑥 > 0; 𝑥 + 1 > 0 
O sea 𝑥 < −2; 𝑥 < 3; 𝑥 > −1 
En términos de intervalos, se concluye que 
𝑥 ∈ (−∞,−2) ∩ (−∞, 3) ∩ (−1,∞) = ∅ 
De los resultados obtenidos en los casos 1, 2 ,3 y utilizando el hecho de que la 
desigualdad no es estricta y admite el valor de cero, se concluye que la solución 
de la desigualdad 
(𝑥 + 2)(3 − 𝑥)
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)
≤ 0. 
Está dada por todos los valores de 𝑥 tales que 
𝑥 ∈ [−2,−1) ∪ [3,∞) ∪ ∅ = [−2,−1) ∪ [3,∞). 
Finalmente, notemos que este resultado también puede comprobarse 
gráficamente. Figura 5. 
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𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5. 𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 2)(3 − 𝑥)
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)
≤ 0 𝑒𝑛 [−2,−1) ∪ [3,∞)