Problemario_Calculo-5 - Eduardo Gonzalez Garcia

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En términos de intervalos se concluye que el conjunto solución de la desigualdad 
dada es el conjunto de todas las 𝑥 tales que 𝑥 ∈ (−∞, 4). 
3. Resuelve la siguiente desigualdad −6 < 2𝑥 − 4 < 2 
Solución. Método 1. 
Un número real 𝑥, es una solución de la desigualdad dada si y sólo si es una 
solución simultanea para las dos desigualdades siguientes 
−6 < 2𝑥 − 4 y 2𝑥 − 4 < 2 
La primera desigualdad se resuelve como sigue: 
−6 < 2𝑥 − 4 Desigualdad inicial izquierda 
−2 < 2𝑥 Desigualdad equivalente donde se ha sumado 4 
(
1
2
) (−2) < (
1
2
) 2𝑥 
Producto por el inverso multiplicativo de 2 en ambos 
miembros de la desigualdad equivalente anterior 
−1 < 𝑥 Desigualdad equivalente 
A continuación se resuelve la segunda desigualdad 
2𝑥 − 4 < 2 Desigualdad inicial derecha 
2𝑥 < 6 Desigualdad equivalente donde se ha sumado 4 
(
1
2
) (2𝑥) < (
1
2
)6 
Producto por el inverso multiplicativo de 2 en ambos 
miembros de la desigualdad equivalente anterior 
𝑥 < 3 Desigualdad equivalente 
De esta manera, 𝑥 es una solución de la desigualdad −6 < 2𝑥 − 4 < 2 si y sólo si 
satisface las dos condiciones dadas 
−1 < 𝑥 y 𝑥 < 3 
O sea 
𝑥 ∈ (−1,+∞) 𝑦 𝑥 ∈ (−∞, 3) 
Podemos concluir que el conjunto solución de la desigualdad dada es el conjunto 
de todas las 𝑥 tales que 
 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = (−1, +∞) ∩ (−∞, 3) = (−1,3) 
O sea 
−1 < 𝑥 < 3. 
 
Método 2. Otra estrategia comúnmente empleada consiste en resolver en forma 
simultánea ambas desigualdades, este método se muestra a continuación: 
 
−6 < 2𝑥 − 4 < 2 Desigualdad inicial 
−2 < 2𝑥 < 6 Desigualdad equivalente donde se ha sumado 4 
13 
 
(
1
2
) (−2) < (
1
2
) 2𝑥 < (
1
2
)6 
Producto por el inverso multiplicativo de 2 en todos 
los miembros de la desigualdad equivalente 
anterior 
−1 < 𝑥 < 3 Desigualdad equivalente 
 
Para resolver una desigualdad que incluye polinomios de grado mayor que uno, se 
expresa cada uno de estos polinomios como producto de factores lineales 𝑎𝑥 + 𝑏, 
o como factores cuadráticos irreducibles de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, en algunos 
casos encontraremos ambas formas en la misma desigualdad. 
Si alguno de esos factores es distinto de cero en un intervalo dado, entonces es 
positivo o negativo en el intervalo, es decir, si escogemos cualquier valor de 
prueba 𝑘 en el intervalo y resulta que el factor es positivo o negativo cuando 𝑥 = 𝑘, 
entonces diremos que es positivo o negativo ese factor en el intervalo dado. 
Observación. El procedimiento descrito anteriormente que nos permitirá conocer 
el signo que tiene un factor lineal o cuadrático en un intervalo dado, está 
justificado por el siguiente resultado. 
Teorema. Si una función 𝑓 es continua en un intervalo 𝑰 y 𝑓(𝑥) ≠ 0 para toda 𝑥 en 
𝑰, entonces 𝑓(𝑥) > 0 o 𝑓(𝑥) < 0 para toda 𝑥 en 𝑰. 
1. Resuelve la siguiente desigualdad 
1
5
(𝑥2 − 4𝑥 + 3) < 0 
Solución. Método 1. La desigualdad inicial es equivalente a la desigualdad 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) < 0 
Los factores 𝑥 − 1 y 𝑥 − 3 son cero cuando 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3. Al retirar estos puntos 
del eje real, se determinan los siguientes intervalos que no se traslapan 
(−∞, 1), (1,3), (3,∞) 
Notemos ahora que la función 𝑓(𝑥) =
1
5
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) es continua y no se anula 
dentro de cada uno de estos intervalos, por lo tanto podemos determinar el signo 
que tienen los factores 𝑥 − 1 y 𝑥 − 3 en cada intervalo con un valor de prueba. 
Para hacer esto, vamos a utilizar la siguiente tabla de signos 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (−∞, 1) (1,3) (3,∞) 
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑘 0 2 4 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 − 1 − + + 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 − 3 − − + 
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) + − + 
 
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Las soluciones de la desigualdad 
1
5
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) < 0 son los valores de 𝑥 para 
los cuales el signo resultante es estrictamente negativo. Así, la solución de esta 
desigualdad es sólo el intervalo (1, 3). Este resultado también puede comprobarse 
gráficamente. Figura 4. 
 
𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4. 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥) =
1
5
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) < 0 𝑒𝑛 (1,3) 
 
Método 2. Por casos. 
La desigualdad inicial dada en el ejemplo anterior es equivalente a la desigualdad 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) < 0 
Esta última desigualdad se resolverá si conocemos los valores de 𝑥 para los 
cuales el producto de los factores 𝑥 − 1 y 𝑥 − 3 en ℝ es un número negativo. Para 
hallar los valores de 𝑥 vamos a utilizar la siguiente propiedad: Si 𝑎𝑏 < 0, entonces 
𝑎 y 𝑏 tienen signos opuestos. De lo anterior podemos considerar dos casos: 
𝑥 − 1 < 0 & 𝑥 − 3 > 0 o bien 𝑥 − 1 > 0 & 𝑥 − 3 < 0. 
Caso 1. 𝑥 − 1 < 0 y 𝑥 − 3 > 0. 
Las desigualdades anteriores son equivalentes a las desigualdades 𝑥 < 1 & 𝑥 > 3 
por lo tanto, se deben encontrar todos los valores de 𝑥 en ℝ tales que 𝑥 ∈ (−∞, 1) 
& 𝑥 ∈ (3,∞), estas condiciones nos sugieren que 𝑥 pertenece al conjunto 
(−∞, 1) ∩ (3,∞) = ∅ 
Por lo tanto, este conjunto no es solución de la desigualdad. 
Caso 2. 𝑥 − 1 > 0 y 𝑥 − 3 < 0. 
Las desigualdades anteriores son equivalentes a las desigualdades 𝑥 > 1 & 𝑥 <
3, por lo tanto, se deben encontrar todos los valores de 𝑥 en ℝ tales que 𝑥 ∈ (1,∞) 
& 𝑥 ∈ (−∞, 3), estas condiciones nos sugieren que 𝑥 pertenece al conjunto 
(−∞, 3) ∩ (1,∞) = (1,3)