Problemario_Calculo-4 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Intervalos 
Supongamos que 𝑎 < 𝑏. El intervalo abierto es el conjunto de todos los números 
comprendidos entre a y b: 
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 
El intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] es el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) junto con los extremos a y b: 
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} 
Existen otros siete tipos de intervalos 
(𝑎,𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 
[𝑎,𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} 
(𝑎,∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥} 
[𝑎,∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥} 
(−∞,𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑏} 
(−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑏} 
(−∞,∞) = ℝ 
Esta notación para los intervalos es fácil de recordar: utilizamos un corchete para 
indicar la inclusión o exclusión de un extremo; en caso contrario un paréntesis. Los 
símbolos −∞ e ∞ no representan números reales, por lo cual no existen los 
intervalos [𝑎,∞] ni [−∞, 𝑏] ni otros de la misma forma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Valor absoluto 
Dos propiedades importantes de un número real 𝑎 son su signo y su medida o 
magnitud. Desde el punto de vista geométrico, el signo de 𝑎 nos dice si el punto 𝑎 
está a la derecha o a la izquierda de 0 sobre la recta real. La magnitud de 𝑎 es la 
distancia entre el punto 𝑎 y el 0; el número no tiene signo y su magnitud es cero. 
Habitualmente a la magnitud de 𝑎 se le llama valor absoluto de 𝑎, se representa 
como |𝑎|. El valor absoluto de a se define de la siguiente manera: 
|𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
 
Otras caracterizaciones son: |𝑎| = √𝑎2; |𝑎| = max{𝑎,−𝑎}. 
 
Interpretaciones geométricas: 
 |𝑎| = |𝑎 − 0| Distancia de 𝑎 al 0. 
 |𝑐 − 𝑎| Distancia de 𝑎 a 𝑐. 
Propiedades: 
1. |𝑎| = 0 si y sólo si 𝑎 = 0. 
2. |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏|. 
3. |𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏| 
4. |𝑎|2 = |𝑎2| = 𝑎2 
5. |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|(desigualdad del triángulo) 
6. ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑏 − 𝑎| 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD TEMÁTICA I. Funciones algebraicas y sus gráficas. 
 
1.1 Números reales y desigualdades 
Resolver una desigualdad en la variable 𝑥, consiste en hallar el conjunto de los 
valores numéricos de 𝑥 para los cuales la desigualdad se verifica. 
La manera de resolver una desigualdad es muy parecida a la que utilizamos para 
resolver una ecuación algebraica pero existe una diferencia importante. Utilizando 
las propiedades de desigualdades podemos sumar y restar un numero en ambos 
miembros de la desigualdad sin alterar la relación de orden existente, incluso 
podemos multiplicar o dividir por un numero positivo y la desigualdad se 
conservara; no sucede lo mismo si se multiplica o divide en ambos miembros por 
un numero negativo, en este caso la desigualdad se invertirá 
Al sumar, restar, multiplicar o dividir es posible sustituir una desigualdad 
determinada por una lista de desigualdades equivalentes, la última desigualdad 
debe ser de tal forma que sea evidente hallar los valores numéricos que la 
satisfacen. 
1. Resuelve la siguiente desigualdad −3𝑥 + 4 < 11. 
Solución. Las siguientes desigualdades son equivalentes. 
−3𝑥 + 4 < 11 Desigualdad inicial 
−3𝑥 + 4 + (−4) < 11 + (−4) Suma del inverso aditivo de 4 
−3𝑥 < 7 Desigualdad equivalente 
(
1
−3
) (−3𝑥) > (
1
−3
)7 
Producto por el inverso multiplicativo de −3. La 
desigualdad se ha invertido 
𝑥 > −
7
3
 Desigualdad equivalente 
 
En términos de intervalos se concluye que el conjunto solución de la desigualdad 
dada es el conjunto de todas las 𝑥 tales que 𝑥 ∈ (−
7
3
, ∞). 
2. Resuelve la siguiente desigualdad 4𝑥 − 3 < 2𝑥 + 5 
Solución. Las siguientes desigualdades son equivalentes. 
4𝑥 − 3 < 2𝑥 + 5 Desigualdad inicial 
4𝑥 < 2𝑥 + 8 
Desigualdad equivalente donde se ha sumado 3 en 
ambos miembros 
2𝑥 < 8 
Desigualdad equivalente donde se ha sumado -2x en 
ambos miembros 
(
1
2
)2𝑥 < (
1
2
) 8 
Producto por el inverso multiplicativo de 2 en ambos 
miembros de la desigualdad equivalente anterior 
𝑥 < 4 Desigualdad equivalente