Cap3_ Derivada y Diferencial - gabriela Ruiz

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Derivada y diferencial 
 137
Capítulo 3 
 
 
DERIVADAS 
 
 
 
Introducción: Sea )(xfy = una función definida en cierto intervalo ( )ba, y sea 
( )bax ,
0
∈ . Supongamos que el valor 
0
x de la variable x es incrementado en un valor h (no 
importa que h sea positivo o negativo). Entonces, la función f sufre un incremento que 
denominamos )(
0
xf∆ . Es decir, si para 
0
xx = ocurre que )(
0
xfy = , entonces para 
hxx +=
0
, sucede que )(
0
hxfy += . Calculemos el incremento de f en 
0
xx = . 
)()()(
000
xfhxfxf −+=∆ 
Efectuando la razón entre el incremento de f y el incremento de la variable x obtenemos la 
siguiente expresión, denominada cociente incremental: 
h
xfhxf
h
xf )()()(
000
−+
=
∆
 
 
 
Definición: La función f es derivable en 
0
xx = si 
h
xfhxf
lim
h
)()(
00
0
−+
→
 existe y es finito. 
En este caso el límite se designa por )(
0
xf ′ y recibe el nombre de derivada de la función f 
en el punto de abscisa 
0
xx = . Luego, 
h
xfhxf
limxf
h
)()(
)( 00
0
0
−+
=′
→
 
 
 
Notación: También suele denotarse a la derivada de f en 
0
xx = como: )(
0
xy′ , 
0
xx
dx
dy
=
o 
0
xx
dx
df
=
. 
 
 
Observación: Para funciones derivables en 
0
xx = , podemos escribir: 
 
0
000
0
0
)()()()(
)(
0 xx
xfxf
lim
h
xfhxf
limxf
xxh −
−
=
−+
=′
→→
 
 
 
Ejemplo 1: Calcular )(
0
xf ′ para 52)( += xxf en 3
0
=x . 
• Primero calculamos f(3): 11532)3( =+⋅=f 
• Seguidamente calculamos )3( hf + , recuerde que debe sustituirse a x por 3 + h. 
52652325)3(2)3( +⋅+=+⋅+⋅=++⋅=+ hhhhf 
hhf 211)3( +=+ 
• Hallamos el incremento de f : )3()3()3( fhff −+=∆ . 
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 138 
• Realizamos el cociente incremental: 2
211211)3(
=
/
/
=
/−+/
=
∆
h
h
h
h
h
f
. 
• Finalmente, calculamos el límite para 0→h : 22)3(
0
==′
→h
limf 
 
 
Ejemplo 2: Calcular )1(−′f para xxxf 3)( 2 −= . 
Puesto que nos piden calcular )1(−′f , podemos deducir que 1
0
−=x . 
• Calculamos )1(−f : 431)1(3)1()1( 2 =+=−⋅−−=−f 
• Calculamos )1( hf +− : 
hhhhhhhhhf 332131312)1()1(3)1()1( 2222 −++−=⋅−⋅++⋅⋅−−=+−⋅−+−=+− 
45)1( 2 +−=+− hhhf 
• Hallamos el límite del cociente incremental para 0→h 
 
h
hh
lim
h
hh
limf
hh
5445
)1(
2
0
2
0
−
=
/−/+−
=−′
→→
 
Sacamos factor común h en el numerador para poder resolver la indeterminación del tipo 
0
0
 que se presenta. 
5)1(55
)5(
)1(
00
−=−′⇒−=−=
/
−/
=−′
→→
fhlim
h
hh
limf
hh
 
 
 
Ejemplo 3: Calcular f´ en el punto (3,2) de la curva que es gráfica de 1)( += xxf . 
Si debemos trabajar en el punto (3,2), entonces el valor de la abscisa es 3, de donde 3
0
=x . 
• Hallamos )3(f : 2)3(413)3( =⇒=+= ff 
• Calculamos )3( hf + : hhfhhf +=+⇒++=+ 4)3(13)3( 
• Calculamos el límite del cociente incremental. 
 
00
24
)3(
→→
=
−+
=′
hh
lim
h
h
limf
( )
=
++
−+
=
++
++−+
→ )24(
24
24
2424
2
2
0 hh
h
lim
h
h
h
h
h
 
00 )24(
44
→→
=
++
/−+/
=
hh
lim
hh
h
lim
0)24( →
=
++/
/
h
lim
hh
h
22
1
204
1
24
1
+
=
++
=
++ h
 
Luego, 
4
1
)3( =′f 
 
 
Ejemplo 4: Calcular la derivada de 
1
2
)(
+
=
x
xf en 1
0
=x . 
Apliquemos directamente la definición: 
 
00
)1()1(
)1(
→→
=
−+
=′
hh
lim
h
fhf
limf
h
h 11
2
1)1(
2
+
−
++
h
h
lim
h
1
2
2
0
−
+
=
→
 
Si calculamos el límite nos encontramos ante una indeterminación del tipo 
0
0
. Por lo tanto, 
efectuamos la resta indicada en el numerador. 
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 139
 
h
h
h +
+−
=−
+ 2
)2(2
1
2
2
 
h
h
h
h
+
−
=
+
−/−/
=
22
22
 
Volvamos al límite. 
 
2
1
2
12
00
−=
+
−
=
+
−
→→ h
lim
h
h
h
lim
hh
 
Luego, 
2
1
)1( −=′f . 
 
 
 
*Pase a resolver el problema 1 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
Veamos algunos ejemplos de no existencia de derivada. 
 
 
Ejemplo 5: Averiguar si existe la derivada de 3
2
)1()( += xxf en 1
0
−=x . 
00
)1()1(
)1(
→→
=
−−+−
=−′
hh
lim
h
fhf
limf =
+−−++−
h
h 3
2
3
2
)11()11(
 
0
3
2
3
2
0
0
→→
=
−
=
hh
lim
h
h
lim
3/1
0
3
2
1
h
lim
h
h
h→
= 
Si calculamos el límite nos encontramos con que ∞=
→
3/1
0
1
h
lim
h
. 
Por lo tanto, la derivada no existe en 1
0
−=x . 
 
 
Observación: Hemos definido derivabilidad en un punto 
0
x . Tenemos ya otra noción puntual, 
que es la de continuidad. Es importante relacionar ambos conceptos. 
 
 
Teorema: Si una función es derivable en 
0
x , entonces es continua en 
0
x . 
Demostración: Si f es derivable en 
0
x , entonces existe: 
0
0
0
)()(
)(
0 xx
xfxf
limxf
xx −
−
=′
→
 
Luego: =−
−
−
=−
→→
)(
)()(
)()(
0
0
0
0
00
xx
xx
xfxf
limxfxflim
xxxx
 
00)()(
)()(
00
0
0
00
=⋅′=−
−
−
=
→→
xfxxlim
xx
xfxf
lim
xxxx
 
Por lo tanto, )()(
0
0
xfxflim
xx
=
→
 como queríamos demostrar. 
 
 
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 140 
Nota importante: La recíproca del teorema anterior (Si es continua en 
0
x , es derivable en
0
x ) 
no es cierta, pues hay funciones continuas en un punto que no son derivables en dicho punto. 
 
 
Ejemplo 6: Dada la siguiente función: 



<−
≥+
=
213
21
)(
2
xx
xx
xf 
Se pide: 
a) Verificar que f es continua en 2
0
=x . 
Recordemos las condiciones que deben cumplirse para que f sea continua en un punto. 
Sea )(xfy = , diremos que f es continua en 
0
x si se satisfacen: 
i) )(
0
xf∃ 
ii) Existe y es finito )(
0
xflim
xx→
 
iii) )()(
0
0
xfxflim
xx
=
→
 
En nuestro caso 2
0
=x , luego: 
i) 512)2( 2 =+=f 
ii) 5)(
513)(
51)(
2
22
2
22 =⇒




=−==
=+==
→
→→
−
→→
+
−−
++
xflim
xlimxflimL
xlimxflimL
x
xx
xx
 
iii) )2()(
2
fxflim
x
=
→
 
Por lo tanto, f es continua en 2
0
=x . 
b) Analizar la existencia de derivada de la función f en 2
0
=x . 
Apliquemos ahora la definición de derivabilidad. 
h
fhf
limf
h
)2()2(
)2(
0
−+
=′
→
 
Para determinar cual de los tramos de f debemos usar, tenemos que discriminar si h es 
positivo o negativo. Luego, tenemos que calcular la derivada por derecha (que denotamos 
+
′f ) y la derivada por izquierda (que denotamos −′f ). 
 =
−++
=
−+
=′
++
→→
+
h
h
lim
h
fhf
limf
hh
51)2()2()2(
)2(
2
00
 
++
→→
=
−+++
=
0
2
0
5144
hh
lim
h
hh
lim
h
hh 4
2
+
44
)4(
00
=+=
/
+/
=
++
→→
hlim
h
hh
lim
hh
 
Análogamente: 
=
−−+
=
−+
=′
−−
→→
−
h
h
lim
h
fhf
limf
hh
51)2(3)2()2(
)2(
00
 
−−
→→
=
−−+
=
00
5136
hh
lim
h
h
lim 3
3
=
/
/
h
h
 
Debido a que la derivada por derecha es distinta de la derivada por izquierda, decimos que no 
existe la derivada de f en 2
0
=x . 
 
 
*Ahora resuelva el problema 2 de la guía de trabajos prácticos. 
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Derivada y diferencial 
 141
Observación: Hasta ahora sólo vimos la definición puntual de derivada, con lo cual , cada vez 
que cambiamos el punto en el que estamos trabajando, tenemos que calcular un nuevo límite. 
Para resolver este problema es que generalizamos la definición de derivada, calculando el 
límite en un punto genérico 
0
xx = . 
 
 
Definición: Sea f definida en un intervalo ),( ba y derivable en todos los puntos de dicho 
intervalo. Para cada ),( bax∈ tenemos una IRxf ∈′ )( , de esta manera queda definida una 
función ( )(xfx ′→ ) llamada la función derivada de f y se indica f ′ . 
 
 
Ejemplo 7: Hallar la derivada de la función constante kxf =)( . 
0
0)()(
)(
000
==
−
=
−+
=′
→→→ h
lim
h
kk
lim
h
xfhxf
limxf
hhh
 
 
 
Ejemplo 8: Hallar la función derivada de 3)( xxf = . 
=
−+++
=
−+
=
−+
=′
→→→ h
xhxhhxx
lim
h
xhx
lim
h
xfhxf
limxf
hhh
33223
0
33
00
33)()()(
)( 
222
0
22
0
322
0
333
)33(33
xhxhxlim
h
hxhxh
lim
h
hxhhx
lim
hhh
=++=/
++/
=
++
=
→→→
 
 
 
Ejemplo 9: Calcular la derivada de xxg ln)( = . 
Para que el logaritmo esté definido, vamos a restringirnos a valores positivos de x, es decir, 
0>x . 
=





 +
=
−+
=
−+
=′
→→→ h
x
hx
lim
h
xhx
lim
h
xghxg
limxg
hhh
ln
ln)ln()()(
)(
000
 
=










+=










+=





+=





+=
→→→→
xh
x
h
h
h
h
hh
h
x
lim
h
x
lim
x
h
lim
x
h
h
lim
1
0
1
0
1
00
1
1ln
1
1ln1ln1ln
1
 
x
e
x
e
h
x
lim
h
x
lim x
x
lim
h
x
h
xh
x
h
h
1
ln
1
ln
1
1ln
1
1ln
1
1
0
1
0
0
===
























+=










+=
→
→→
 
 
 
Ejemplo 10: Calcular la derivada de xxf sen)( = . 
h
xhx
lim
h
xfhxf
limxf
hh
sen)sen()()(
)(
00
−+
=
−+
=′
→→
 
Recordemos que abbaba cossencossen)sen( +=+ . Reemplazando en la expresión anterior 
obtenemos: 
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 142 
=
−+
→ h
xxhhx
lim
h
sencossencossen
0
=+
−
→→ h
xh
lim
h
xhx
lim
hh
cossensencossen
00
 
xlim
h
h
lim
h
h
limxlim
h
xh
lim
h
hx
lim
hhhhhh
cos
sen1cos
sen
cossen)1(cossen
000000 →→→→→→
+
−
=+
−
= 
Veamos cuánto da el siguiente límite: 
=
+
−
=
+
−
=
+
+−
=
−
→→→→ )1(cos
sen
)1(cos
1)(cos
1cos
1cos1cos1cos
2
0
2
000 hh
h
lim
hh
h
lim
h
h
h
h
lim
h
h
lim
hhhh
 
00)1(
1cos
sensen
)1(cos
sensen
000
=−=
+
−=
+
−
=
→→→ h
h
lim
h
h
lim
hh
hh
lim
hhh
 
Por lo tanto, la derivada da: 
xxxxf coscos10sen)( =⋅+⋅=′ 
 
 
 
*A continuación resuelva los ejercicios del problema número 3 de la guía de trabajos 
prácticos. 
 
 
 
Observación: Es importante notar que lo que hicimos en los ejemplos anteriores demuestra 
que todas las funciones consideradas son derivables en todo punto de su dominio y, por otro 
lado, establece cuánto valen sus derivadas en cualquier punto. 
 
 
Propiedades 
 
 
1) Si f y g son derivables en 
0
x , entonces gf + es derivable en 
0
x . Además: 
)()()()(
000
xgxfxgf ′+′=′+ 
 Demostración: =
+−++
=′+
→ h
xgfhxgf
limxgf
h
))(())((
)()( 00
0
0
 
=
−+
+
−+
=
+−+++
=
→→→ h
xghxg
lim
h
xfhxf
lim
h
xgxfhxghxf
lim
hhh
)()()()())()(()()(
00
0
00
0
0000
0
)()(
00
xgxf ′+′= 
 
2) Si f y g son derivables en 
0
x , entonces gf ⋅ es derivable en 
0
x . Además, 
)()()()()()(
00000
xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅ 
 
3) Si f y g son derivables en 
0
x y supuesto que 0)(
0
≠xg , entonces 
g
f
 es derivable en 
0
x 
y además: 
[ ]2
0
0000
0
)(
)()()()(
)(
xg
xgxfxgxf
x
g
f ′−′
=
′






 
 
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Derivada y diferencial 
 143
4) Si f es derivable en 
0
x y k es una constante, entonces )()()(
00
xfkxfk ′=′⋅ . 
 
 
 
Damos a continuación una tabla en la que se consignan las derivadas de las funciones que 
utilizaremos en adelante. 
 
 
FUNCIÓN DERIVADA 
k 0 
x 1 
n
x 1−nxn 
nn
xx
1
= 
1
1
1 −
n
x
n
 
x
e xe 
x
a aa x ln 
xln 
x
1
 
x
a
log 
ax ln
1
 
xsen xcos 
xcos xsen− 
xtg 
x
2
sec 
xarcsen 
2
1
1
x−
 
xarccos 
2
1
1
x−
− 
xarctg 
2
1
1
x+
 
 
 
 
Apliquemos las reglas anteriores a algunos ejercicios. 
 
 
Ejemplo 11: Derivar xexxxf )ln()( 3 += . 
xx
xx
exxe
x
x
exxexxxf
)ln(
1
3
)()ln()ln()(
32
33
++





+=
=′++′+=′
 
 
 
Ejemplo 12: Derivar 
x
xx
xf
tg
cos4sen
)(
+
= . 
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Derivada y diferencial 
 144 
[ ]
x
xxxxxx
x
xxxxxx
xf
2
2
2
tg
sec)cos4(sentg)sen(4cos
tg
)(tg)cos4(sentg)cos4(sen
)(
+−−+
=
=
′+−′+
=′
 
 
 
Ejemplo 13: Derivar 
2ln
ln
arcsen)(
+
+=
x
x
xexg x . 
=
′






+
+′=′
2ln
ln
)arcsen()(
x
x
xexg
x 
 =
+
′+−+′
+′+′=
2)2ln(
)2ln(ln)2ln()(ln
)(arcsenarcsen)(
x
xxxx
xexe
xx
 
 
22 )2ln(
2
1
ln)2ln(
1
1
1
arcsen
+
−+
+
−
+=
x
x
xx
x
x
exe
xx
 
 
 
Ejemplo 14: Derivar 
4
5
23
cos
)(
x
xx
xh
x
−
= 
 =
−
′−−−′
=′
24
4545
)23(
)23()cos()23()cos(
)(
x
xxxxxx
xh
x
xx
 
 
[ ] [ ]
=
−
′−′−−′+′
=
24
45455
)23(
)(2)3()cos()23()(coscos)(
x
xxxxxxxx
x
xx
 
[ ]
24
4
3
5454
)23(
2
1
3ln3)cos()23()sen(cos5
x
xxxxxxxx
x
xx
−








−−−−+
=
−
 
 
 
 
*Pase a continuación a resolver los ejercicios propuestos en el problema número 4 de la 
guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
Derivación de funciones compuestas 
 
 
Hasta ahora derivamos funciones en las que la variable x estaba afectada por una única 
función. Enunciaremos a continuación una fórmula (conocida como regla de la cadena) que 
nos va a permitir hallar la derivada de funciones compuestas. 
 
 
 
 
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Derivada y diferencial 
 145
Teorema: Si g es derivable en 
0
x y f es derivable en )( 0xg , entonces gf o es derivable en 
0
x . Además, )())(()()(
000
xgxgfxgf ′′=′o . 
 
 
Ejemplo 15: Derivar 2sen)( xxh = 
En este caso debemos pensar que 2)( xxg = y que xxf sen)( = . De este modo 
))(()( xgfxh o= . Luego, aplicando la regla de la cadena para un valor genérico de x resulta: 
xxxgxgfxh 2cos)())(()( 2 ⋅=′′=′ 
 
 
Ejemplo 16: Derivar )ln(tg)( xxf = 
Observemos que en este ejemplo hay tres funciones que se componen: xxg =)( , 
xxh tg)( = y xxk ln)( = . De este modo ))(()( xghkxf oo= y su derivada es: 
[ ] )())(())(()( xgxghxghkxf ′⋅′⋅′=′ o . Por lo tanto: 
x
x
x
xf
2
1
sec
tg
1
)(
2
⋅⋅=′ 
 
 
Ejemplo 17: Derivar xxxg sen2)( = 
La derivada de funciones del tipo )()( xfaxg = es )(ln)( )( xfaaxg xf ′=′ . Por lo tanto: 
)cos(sen2ln2)( sen xxxxg xx +=′ 
 
 
Ejemplo 18: Derivar )(lncos)( 33 xxh = 
3 23
332
3
11
))sen(ln()(lncos3)(
xx
xxxh −=′ 
 
 
Ejemplo 19: Derivar 2)(tgsenln)( −+= xxxf 
=−+=′
−
x
xxx
xx
xf
2
1
sec)(tg)2(cos
sen
1
senln2
1
)( 23 
x
xx
xx
x
23 sec.)(tg
sen.senln2
cos −
−= 
 
 
Ejemplo 20: Derivar 







=
x
e
xg
x
sec
ln)(
3
 
Observemos que en este ejemplo vamos a necesitar la derivada de la función secante. Luego, 
si xxf sec)( = , entonces xx
x
x
x
xx
xf tgsec
cos
sen
)(cos
)sen(cos.0
)(
22
==
−−
=′ . Por lo tanto: 
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Derivada y diferencial 
 146 
=
′−′
=′
2
)(sec
).(secsec.)(
.
sec
1
)(
33
3
x
xexe
x
e
xg
xx
x
 
 xx
x
xxxe
e
x
x
xxexxe
e
x
x
x
xx
x
tg3
sec
)tg3(sec
.
sec
sec
tgsecsec3
.
sec 2
2
2
2
2
3
3
33
3
−=
−
=
−
= 
 
 
Ejemplo 21: Derivar 
xe
e
xf
x
x
sen.cos
)(
cos
= 
 
=
′−′
=′
2
coscos
)sen.(cos
)sen..(cossen.cos.)(
)(
xe
xeexee
xf
x
xxxx
 
 =
′+′−−
=
22
coscos
cos
)sen.(cos
))sen.(cossen)((cossen.cos).sen.(.
2
1
xe
xexeexexe
e
x
xxxxx
x
 
 
xe
x
x
exeeexexe
e
x
xxxxxx
x
sen.cos
sen2
cos
.cossen..sen.sen.cos.sen..
2
1
2
coscos
cos






+−−
−
= 
 
 
 
*Pase a resolver el problema 5 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
Derivada logarítmica: Sean f y g dos funciones derivables y supongamos 0)( >xf para 
todo x en el dominio de f. Estudiaremos cómo derivar funciones del tipo )()( xgxf . 
Consideremos la función )()()( xgxfxh = . 
• Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad. 
)()(ln)(ln xgxfxh = 
• Usamos la propiedad de logaritmo que establece abab lnln = . 
)(ln)()(ln xfxgxh = 
• Derivamos ambos miembros recordando utilizar regla de la cadena. 
)(
)(
1
)()(ln)()(
)(
1
xf
xf
xgxfxgxh
xh
′+′=′ 
• Despejamos )(xh′ . 






′+′=′ )(
)(
1
)()(ln)()()( xf
xf
xgxfxgxhxh 
• Reemplazamos )(xh . 






′+′=′ )(
)(
1
)()(ln)()()( )( xf
xf
xgxfxgxfxh xg 
 
 
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Derivada y diferencial 
 147
Ejemplo 22: Hallar la derivada de xxxf tg)( = 
xxxf tgln)(ln = 
xxxf lntg)(ln = 
x
xxxxf
xf
1
tglnsec)(
)(
1 2
+=′ 




+=′
x
xxxxfxf
1
tglnsec)()( 2 




+=′
x
xxxxxf x
1
tglnsec)( 2tg 
 
 
Ejemplo 23: Derivar xxxg ln)(sen)( = 
xxxg ln)(sen)( = 
x
xxg
ln)ln(sen)(ln = 
)ln(senln)(ln xxxg = 
x
x
xx
x
xg
xg
cos
sen
1
ln)ln(sen
1
)(
)(
1
+=′ 




+=′ x
x
xx
x
xgxg cos
sen
1
ln)ln(sen
1
)()( 




+=′ x
x
xx
x
xxg
x cos
sen
1
ln)ln(sen
1
)(sen)( ln 
 
 
 
*Resolver a continuación los problemas 8 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 
 
 
Desde el punto de vista geométrico la derivada de una función en un punto indica la pendiente 
de la recta tangente a la curva (que es la gráfica de dicha función) en el punto. 
En efecto, consideremos la recta que pasa por los puntos ))(,( 00 xfx y ))(,( 00 hxfhx ++ . 
Según vimos en el capítulo de funciones la pendiente de dicha recta es: 
h
xfhxf
xhx
xfhxf
m
)()(
)(
)()(
00
00
00
−+
=
−+
−+
= 
 
 
 
 
 
 
 
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Derivada y diferencial 
 148 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si ahora tomamos valores de h cada vez más pequeños se puede apreciar en la figura que la 
recta considerada se va aproximando a la recta L, tangente a la curva en el punto de 
coordenadas ))(,( 00 xfx . Además la pendiente m de esa recta se va aproximando a la derivada 
)(
0
xf ′ . 
Luego, concluimos que: “Sea f una función definida en ),( ba y sea ),(0 bax ∈ . Si existe 
)(
0
xf ′ es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de 
coordenadas ))(,( 00 xfx ”. 
 
 
 
Ecuaciones de las rectas tangente y normal: La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 
f en el punto de coordenadas ))(,( 00 xfx es: 
)()()( 000 xxxfxfy −′=− 
Análogamente, si 0)(
0
≠′ xf , la ecuación de la recta normal es: 
)(
)(
1
)(
0
0
0
xx
xf
xfy −
′
−
=− 
 
 
Ejemplo 24: Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función 2
4
)( x
x
xf += 
en el punto de abscisa 1
0
−=x . 
• Calculamos )(xf ′ : x
x
xf 2
4
)(
2
+−=′ 
• Reemplazamos en 1
0
−=x : 624)1(2
)1(
4
)1(
2
−=−−=−+
−
−=−′f 
• Calculamos )1(−f : 314)1(
)1(
4
)1( 2 −=+−=−+
−
=−f 
• Reemplazamos en la ecuación de la recta tangente. 
 
 
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Derivada y diferencial 
 149
)()()( 000 xxxfxfy −′=− 
))1(()6()3( −−−=−− xy 
)1()6(3 +−=+ xy 
96 −−= xy 
• Reemplazamos en la ecuación de la recta normal. 
)(
)(
1
)(
0
0
0
xx
xf
xfy −
′
−
=− 
))1((
)6(
1
)3( −−
−
−
=−− xy 
)1(
6
1
3 +=+ xy 
6
17
6
1
−= xy 
 
 
Ejemplo 25: Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 
53)( 3 −−= xxxg que es paralela a la recta de ecuación 59 −= xy . 
Si ambas rectas deben ser paralelas, debe ocurrir que sus pendientes sean iguales, es decir, 
9)( 0 =′ xg , ya que )( 0xg′ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de g y 9 es la 
pendiente de la recta dada. 
• Calculamos )(xg′ : 33)( 2 −=′ xxg 
• Reemplazamos por 
0
x y resolvemos la ecuación : 9)( 0 =′ xg 
2224933
000
2
0
2
0
−=∨=⇒=⇒=⇒=− xxxxx 
El resultado anterior indica que debemos hallar las ecuaciones de dos rectas (tangentes 
ambas); una para 20 =x y otra para 20 −=x . 
• Calculamos la recta tangente para 20 =x . Como 352.32)2(
3
−=−−=g , entonces: 
2191893)2(9)3( −=⇒−=+⇒−=−− xyxyxy 
• Calculamos la recta tangente para 20 −=x . Como 75)2(3)2()2(
3
−=−−−−=−g , 
entonces: 
1191897))2((9)7( +=⇒+=+⇒−−=−− xyxyxy 
 
 
 
*A continuación resuelva los ejercicios de los problemas 6 y 7 de la guía de trabajos 
prácticos. 
 
 
 
Como ejercicio de integración de los conceptos vistos resolveremos el siguiente problema. 
 
 
Ejemplo 26: Hallar los valores de a y b constantes para que la función f sea derivable en 
IR. 
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Derivada y diferencial 
 150 




−≥++
−<+
=
12)1(
11
)(
xxb
x
x
a
xf 
Veamos primero si f es continua, ya que si no lo es tampoco puede ser derivable (recordar el 
teorema que relaciona continuidad con derivabilidad). 
Como 1+
x
a
 es continua 1−<∀ x (el único punto de discontinuidad está en 0=x pero no 
pertenece al intervalo considerado) y 2)1( ++xb también es continua 1−≥∀ x (por ser un 
polinomio es continua para todo x real, en particular lo es para el intervalo considerado), 
estudiaremos sólo que ocurre en 1
0
−=x . 
i) 22)11()1( =++−=− bf 
ii) 22)1(11
11
=++=∧+−=+=
+−
−→
+
−→
−
xblimLa
x
a
limL
xx
 
Luego, para que el límite exista debe suceder que LLL == −+ , es decir, 21=+− a . Por lo 
tanto, 1−=a . 
Analicemos ahora la derivabilidad. 
1
1
1
)1(
21
1
1
)1()1(
)1(
0000
=
+−
−
=
+−
−
=
−+
+−
−
=
−−+−
=−′
−−−−
→→→→
−
h
lim
hh
h
lim
h
hlim
h
fhf
limf
hhhh
 
b
h
hb
lim
h
hb
lim
h
fhf
limf
hhh
==
−+++−
=
−−+−
=−′
+++
→→→
+
000
22)11()1()1(
)1( 
Luego, para que la función sea derivable debe verificarse que )1()1( −′=−′ +− ff . Por lo tanto, 
1=b . 
 
 
 
 
DERIVADAS SUCESIVAS 
 
 
Al hallar la derivada de una función f cualquiera, obtenemos otra función llamada f ′ . Luego, 
la noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f ′ de la siguiente manera: 
h
xfhxf
limxf
h
)()(
)()( 00
0
0
′−+′
=′′
→
 
dando lugar a una nueva función (cuyo dominio son todos los puntos 
0
xx = para los cuales 
f ′ es derivable) y que simplemente denotamos f ′′ . 
Por lo tanto, si )(
0
xf ′′ existe se dice que f es dos veces derivable en 
0
xx = y el número 
)(
0
xf ′′ recibe el nombre de derivada segunda de f en 
0
xx = . 
Análogamente, podríamos definir )( ′′′=′′′ ff , )( ′′′′= ff iv , etc. llamadas, respectivamente, 
derivada tercera, derivada cuarta, etc. Comúnmente se conocen como derivadas de orden 
superior de f. 
Para encontrar fácilmente las derivadas de orden superior de una función, calculamos primero 
su función derivada y sin sustituir el valor de la variable x, derivamos nuevamente. 
 
 
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Derivada y diferencial 
 151
Ejemplo 27: Calcular f ′′ en 0
0
=x si 35)( xexf x += . 
• Primero calculamos )(xf ′ : 25 35)( xexf x +=′ 
• Derivamos nuevamente: xexf x 625)( 5 +=′′ 
• Reemplazamos a x por 0: 250.625)0( 0 =+=′′ ef 
 
 
Ejemplo 28: Calcular f ′′′ siendo )1ln()( xxf += . 
 
x
xf
+
=′
1
1
)( 
2)1(
1
)(
x
xf
+
−
=′′ 
3)1(
2
)(
x
xf
+
=′′′ 
 
 
 
*Resuelva los ejercicios del problema número 9 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
DIFERENCIAL 
 
 
 
Definición: Dada una función f , un número real 
0
x tal que f sea derivable en 
0
xx = y un 
incremento x∆ , llamamos diferencial de f ( ( )),
0
xxdfdf ∆= al producto de )(
0
xf ′ por x∆ . 
En símbolos, 
xxfdf ∆′= )( 
0
 
 
 
Observación: Si en lugar de considerar un punto en particular tomamos un punto genérico se 
obtiene la función diferencial: xxfdf ∆′= )( . 
 
 
Cualquiera sea la variable independiente, siempre su incremento coincide con su diferencial. 
En efecto, si xxf =)( su diferencial es xxxxfdf ∆=∆=∆′= .1)( , pero como dxdf = , 
obtenemos que dxx =∆ . 
 
 
Luego, si consideramos )(xfy = , otra expresión para la función diferencial es: 
dxxfdy )(′= 
 
 
Ejemplo 29: Calcular el diferencial de las siguientes funciones. 
a) 2)( 3 ++= xexxf 
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Derivada y diferencial 
 152 
dxexdfexxf xx )3(3)( 22 +=⇒+=′ 
 b) 
3
2
2
1
)(
xx
x
xf
+
+
= 
=
+
++−+
=′
23
223
)2(
)1).(32()2.(2
)(
xx
xxxxx
xf
23
24242
)2(
332224
xx
xxxxx
+
−−−−+
 
dx
xx
xx
df
xx
xx
xf 




+
−−−
=⇒
+
−−−
=′
23
24
23
24
)2(
2
)2(
2
)( 
c) xxexf sen
3
)( = 
[ ]dxxxxxedfxxxxexf xxxx )cossen3()cossen3()( 32sen32sen 33 +=⇒+=′ 
 
 
 
Interpretación geométrica del diferencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BCAC
AC
BC
xxfdf
AC
BC
xf ==∆′=⇒==′ )(tg)(
00
α 
 
 
Por lo tanto, el diferencial de la función f en 
0
xx = es igual al incremento que sufre la recta 
tangente a f en 
0
xx = al pasar de 
0
x al punto incrementado xxx ∆+=
0
. 
 
Observemos además que si )()(
00
xfxxff −∆+=∆ , entonces dff −∆ da la diferencia entre 
los incrementos de ordenadas que sufrieron la función f y su recta tangente al pasar de 
0
x a 
xx ∆+
0
. 
 
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Derivada y diferencial 
 153
Se puede apreciar que a medida que x∆ tiende a 0, la diferencia dff −∆ también tiende a 0. 
Luego, para valores pequeños de x∆ ocurre que dff ≅∆ . 
Por lo tanto, df (por ser una aproximación de f∆ ) da una expresión que permite calcular 
valores aproximados de la función. 
 
 
Ejemplo 30: Dada la función xxxf += 2
2
1
)( , se pide: 
a) Calcular analíticamente el f∆ y el df en 1
0
=x para 5,0=∆x . 
b) Hallar un valor aproximado de f en 5,1=x mediante el uso de diferenciales. 
 
a) Primero hallemos la derivada de f : 1)( +=′ xxf . 
 Luego, reemplazamos a x por 1: 211)1( =+=′f . 
Por lo tanto, 15,02)1( =⋅=∆′= xfdf . 
Calculamos ahora f∆ : 
125,15,1625,2)1()5,1()1()5,01()1()1( =−=−=−+=−∆+=∆ fffffxff 
b) Sabemos que dff ≅∆ . Luego: 
)()()()()()(
000000
xfxxfxxfxxfxfxxf +∆′≅∆+⇒∆′≅−∆+ 
A efectos de aplicar esta fórmula de cálculo (que da una aproximación de f a partir del 
diferencial), debemos reconocer 
0
x y x∆ . 
5,015,1
00
=∆∧=⇒=∆+= xxxxx 
 Reemplazando, obtenemos: 
5,2)5,1()1(5,0)1()5,01( ≅⇒+′≅+ ffff 
 
Para visualizar mejor el problema, representémoslo gráficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*Pase a resolver los problemas 10 y 11 de la guía de trabajos prácticos. 
 
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Derivada y diferencial 
 154 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
 
ANÁLISIS MARGINAL 
 
 
Costo marginal: Definimos el costo marginal como el valor límite del costo promedio por 
artículo extra cuando ese número de artículos extra tiende a cero. 
 
Expliquemos la definición anterior. 
Cuando un fabricante cambia su producción (que llamamos x) a xx ∆+ , donde x∆ representa 
la variación en la producción, el costo (denotado C) se incrementa en C∆ , donde C∆ 
representa el costo extra causado por la producción de x∆ artículos extras. 
 
Ahora bien, el costo promedio por artículo extra es: 
x
C
∆
∆
 
 
Luego, si deseamos calcular el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio 
muy pequeño en la cantidad producida tenemos: 
x
C
limC
x ∆
∆
=
→∆ 0
Marg 
 
De donde el costo marginal no es otra cosa que la primera derivada del costo total, es decir: 
)()(Marg xCxC ′= 
 
 
Ejemplo 31: El costo de un artículo está dado por 2000504,0002,0)( 23 ++−= xxxxC . 
Determinar el costo marginal en función de x y evaluar el costo marginal cuando la 
producción es de 100 unidades. 
El costo marginal es: 508,0006,0)( 2 +−=′ xxxC . Luego, si reemplazamos a x por 100 
obtenemos: 3050100.8,0)100(006,0)100( 2 =+−=′C . 
 
 
 
Ingreso marginal: El ingreso marginal representa las entradas adicionales producidas por 
artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de 
artículos vendidos. 
)()(Marg xIxI ′= 
Ejemplo 32: Determinar el ingreso marginal cuando x = 200 si la ecuación de demanda es 
80080 =+ px . 
El ingreso se calcula como el producto de la cantidad demandada por el precio, es decir: 
pxxI ⋅=)( 
Como la función de demanda está dada por 80080 =+ px , entonces 
80
10
80
800 xx
p −=
−
= . 
Reemplazando en la función de ingreso: 
80
10
80
10)(
2
x
x
x
xxI −=





−= . 
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Derivada y diferencial 
 155
Derivando obtenemos el ingreso marginal: 
40
10)(
x
xI −=′ . 
Reemplazando la x por 200 nos queda el resultado pedido: 5
40
200
10)200( =−=′I 
 
 
Beneficio marginal: Si )(xB representa el beneficio total por la venta de x unidades, )(xB′ 
(llamado beneficio marginal) es el beneficio adicional por cada artículo extra si la 
producción sufre un pequeño incremento. 
 
 
Ejemplo 33: La ecuación de demanda de cierto artículo está dada por 10002,0 =+ xp y la 
función de costo por xxC 106000)( += . Determinar el beneficio marginal para x = 500. 
Sabemos que )()()( xCxIxB −= y que pxxI ⋅=)( . 
Como 10002,0 =+ xp , entonces xp 02,0100 −= . Luego: 
202,0100)02,0100()( xxxxxI −=−= 
Reemplazando en la función de beneficio: 
22 02,0906000)106000()02,0100()( xxxxxxB −+−=+−−= 
Derivamos la función beneficio para obtener la función beneficio marginal: 
xxB 04,090)( −=′ 
Reemplazando x por 500 obtenemos el resultado buscado: 
70500.04,090)500( =−=′B 
 
 
*Está en condiciones de resolver los problemas 12 al 18 de la guía de trabajos prácticos 
 
 
 
ELASTICIDAD 
 
 
Elasticidad de la demanda: Para algún artículo dado se tiene que p es el precio por unidad y 
x el número de unidades que se adquieren durante un período determinado de tiempo al precio 
p. Sea )( pfx = . 
 
Supongamos que el precio se incrementa de p a pp ∆+ . Entonces, la cantidad demandada 
cambiará, por ejemplo, de x a xx ∆+ . Luego: 
 )()()()( pfppfxxppfxppfxx −∆+=∆⇒−∆+=∆⇒∆+=∆+ 
 
El incremento de p es p∆ y este es una fracción del precio original que llamamos 
p
p∆
. 
Es posible decir también que el incremento porcentual en el precio es: 
p
p∆
⋅100 . 
Análogamente el incremento porcentual en la cantidad demandada es: 
x
x∆
⋅100 . 
 
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Derivada y diferencial 
 156 
Observemos que mientras el incremento porcentual en el precio puede ser positivo, el 
incremento porcentual en la cantidad demandada correspondiente será negativo y 
recíprocamente. 
 
Efectuamos la razón de estos dos incrementos porcentuales y calculamos el límite para p∆ 
tendiendo a 0, a dicha razón la denominamos elasticidad y la simbolizamos 
Ep
Ex
. 
 )(
)(
.
100
100
00
pf
pf
p
Ep
Ex
dp
dx
x
p
p
x
x
p
lim
p
p
x
x
lim
Ep
Ex
pp
′⋅=∴⋅=
∆
∆
=
∆
⋅
∆
⋅
=
→∆→∆
 
 
Así, la elasticidad de la demanda es igual al valor límite de la razón de cambio porcentual en 
la demanda respecto al cambio porcentual en el precio, cuando el cambio en el precio tiende a 
cero. 
 
 
 
Clasificación de la demanda: Sea 
Ep
Ex
=η . Luego, de acuerdo al valor que tome η vamos a 
clasificar la demanda. 
• 0=η : La demanda es perfectamente inelástica., es decir, la cantidad demandada del bien 
no se modifica en absoluto al variar el precio. 
• 10 <<η : La demanda es inelástica, es decir, la demanda varía en forma 
proporcionalmente menor a lo que varía el precio. 
• 1=η : La demanda es unitaria, es decir, la demanda varía en igual proporción que el 
precio. 
• 1>η : La demanda es elástica, es decir, varía en una proporción mayor que el precio. 
• ∞=η : La demanda es perfectamente elástica. 
 
 
Ejemplo 34: Sea )20(400 px −= la función de demanda de cierto artículo. Hallar su 
elasticidad para los siguientes niveles de precio: 5=p , 10=p y 15=p . Clasificar la 
demanda en cada caso. 
 
Hallemos primero la derivada de la demanda: 400)( −=′ px . Luego, la elasticidad es: 
p
p
p
p
x
x
p
Ep
Ex
−
−
=−⋅
−
=′⋅=
20
)400(
)20(400
 
Reemplacemos por los distintos valores de p y clasifiquemos la demanda para cada caso. 
• 
3
1
3
1
520
5
)5( =⇒
−
=
−
−
= η
Ep
Ex
. Luego, la demanda es inelástica. 
• 11
1020
10
)10( =⇒−=
−
−
= η
Ep
Ex
. Luego, la demanda es unitaria. 
• 331520
15
)15( =⇒−=
−
−
= η
Ep
Ex
. Luego, la demanda es elástica. 
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Derivada y diferencial 
 157
 
 
Generalización del concepto de elasticidad: Si )(xfy = , podemos definir la elasticidad de 
y con respecto a x como: 
 
dx
dy
y
x
Ex
Ey
.= o bien )´(
)(
xf
xf
x
Ex
Ey
⋅= 
 
 
 
*Recomendamos resolver los problemas 19 y 20 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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