ejercicios - Rosa Margarita Santes Sosa

Vista previa del material en texto

1. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
	Leche (x)
	Jamón (y)
	Aceite de oliva (z)
	Total
	24l
	6kg
	12l
	 €156
24x+6y+12z=156
Ecuación 1:z=3x
Ecuación 2: y=4z+4x
Ecuación 1: 3x -z= 0
Ecuación 2: 4x-y+4z=0
Ecuación 3: x-y+3z=0
 -1)-x+y-3z=0
	-3z=0
	z=3
Ecuación 1: 3=3x
3/3=x
x=1
Ecuación 2: y=4(3)+4(1)
	y=12+4
	y=16
Calcular el precio de cada artículo:
Leche: €1
Jamón: €16
Aceite de oliva: €3
2. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma del mediano y el ángulo mayor es 135° y la suma del mediano y el menor es 110°. Halla la medida de cada ángulo.
x= ángulo mayor
y= ángulo mediano
z= ángulo menor
Ecuación 1: x+y+z=180
Ecuación 2: x+y=135
Ecuación 3: y+z=110
Ecuación 1: x+y+z=180
Ecuación 2: -1) -x-y=-135
		z=45
Ecuación 3: y+45=110
		y=110-45
		y=65
Ecuación 2: x+y=135
	 x+65=135
	 x=135-65
		x=70
Halla la medida de cada ángulo:
Ángulo mayor=70°
Ángulo mediano=65°
Ángulo menor=45°
3. La suma de 3 números es 36. si la suma del menor con el mayor equivale al doble del mediano y la cuarta parte de la suma del mediano con el mayor equivale al menor disminuido en 1. ¿Cuáles son los números?
A = número menor.
B = número mediano.
C = número mayor.
Ecuación 1: A + B + C = 36
Ecuación 2: A + C = 2B ---> A - 2B + C = 0
(B+C) / 4 = A - 1 ---> B + C = 4(A - 1) ---> B + C = 4A - 4 --->
---> -4A + B + C = -4 (3)
Multiplicamos (1) y (3) por 2:
2A + 2B + 2C = 72 (4)
 A - 2B + C = 0 (5)
-8A + 2B + 2C = -8 (6)
Sumamos (4) con (5), y (5) con (6):
3A + 3C = 72 (7)
-7A + 3C = -8 (8)
Multiplicamos (8) por -1:
3A + 3C = 72 (9)
7A - 3C = 8 (10)
Sumamos (9) y (10):
10A = 80 ---> A = 80/10 ---> A = 8.
En (9) sustituimos A y despejamos C:
3×8 + 3C = 72 ---> 3C = 72 - 24 ---> C = 48/3 ---> C = 16.
En (1) sustituimos A y C, y despejamos B:
8 + B + 16 = 36 ---> B = 36 - 8 - 16 ---> B = 12
¿Cuáles son los números?
Los números son 8, 16 y 12
4. La suma de los tres lados de un triángulo es igual a 13. Cuatro veces el lado menor más tres veces el lado intermedio, es igual a cuatro veces el lado mayor. El doble del menor más el triple del lado intermedio, es igual al triple del lado mayor. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados?
x= lado mayor
y= lado mediano
z= lado menor
Ecuación 1: x+y+z=13
Ecuación 2: 4x+3y=4z —> 4x+3y-4z=0
Ecuación 3: 2x+3y=3z —> 2x+3y-3z=0
Ecuación 2: -1) -4x-3y+4z=0
Ecuación 3: 2x+3y-3z=0
Ecuación 4: -2x+z=0
Ecuación 1: -3) -3x-3y-3z=-39
Ecuación 3: 2x+3y-3z=0
Ecuación 5: -x-6z=39
Ecuación 4: -2x+z=0
Ecuación 5: -2) 2x+12z=78
13z=78
z=78/13
z=6
Ecuación 4: -2x+(6)=0
x=6/2
x=3
Ecuación 1: 3+y+6=13
y=13-9
y=4
¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados?
3= lado mayor
4= lado mediano
6= lado menor
5. La señora Mercedes fue al mercado y le ofrecieron las siguientes promociones: un paquete de 3 jabones, 2 cremas dentales y 4 cepillos de dientes, por $20 600; un segundo paquete de 5 jabones, 3 cremas dentales y 2 cepillos, por $21 000; un tercer paquete contenía 6 unidades de cada uno de los anteriores artículos, por $41 200. ¿Cuál es el costo de cada artículo?
	Costo por artículo
	Jabón (x)
	Crema dental (y)
	Cepillo(z)
	Total
	Costo primer paquete
	3x
	2y
	4z
	$20 600
	Costo segundo paquete
	5x
	3y
	2z
	$21 000
	Costo tercer paquete
	6x
	6y
	6z
	$41 200
Ecuación 1: 3x+2y+4z= 20 600 
Ecuación 2: 5x+3y+2z=21 000 
Ecuación 3: 6x+6y+6z=41 200
Ecuación 2: -2) -10x-6y-4z=42 000 
Ecuación 3: 6x+6y+6z=41 200
Ecuación 4: -4x+2z=800
Ecuación 1: -3) -9x-6y-12z= 61 800 
Ecuación 3: 6x+6y+6z=41 200
Ecuación 5: -3x-6z=-20 600
Ecuación 4: 3) -12x+6z=800
Ecuación 5: -3x-6z=-20 600
 -15x=-18 200
 x=-18 200/-15
 x=1213.3
Ecuación 5: -31213.3-6z=-20 600
-6z=-20 600+31213.3
z=-16960/6
z=2826.6
Ecuación 3: 6x+6y+6z=41 200
6(1213.3)+6y+6(2826.6)=41 200
7279.8+6y+16959.6=41 200
6y=41 200-24239.4
y=16960.6/6
y=2826.76
6. Luis compra 2 lápices, 1 pluma y 1 goma, pagando por ello $5 000, Juan compra 1 lápiz, 3 plumas y 2 gomas iguales a los de Luis en $9 000. Por último, Pedro también compra 3 lápices, 1 pluma y 2 gomas iguales a los de Luis y Juan, pagando un total de $7 000. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
	
	Lápices (x)
	Pluma (y)
	Goma (z)
	Total
	Luis
	2
	1
	1
	$5 000
	Juan
	1
	3
	2
	$9 000
	Pedro
	3
	1
	2
	$7 000
Ecuación 1= 2x+1y+1z=5
Ecuación 2= 1x+3y+2z=9
Ecuación 3= 3x+1y+2z=7
Ecuación 1= -1) -2x-1y-1z=-5
Ecuación 3= 3x+1y+2z=7
Ecuación 4= x+z=2
Ecuación 1= -3) -6x-3y-3z=-15
Ecuación 2= 1x+3y+2z=9
Ecuación 5= -5x-z=-6
Ecuación 4= x+z=2
Ecuación 5= -5x-z=-6
-4x=-4
x=-4/-4
x=1
Ecuación 4= 1+z=2
z=2-1
z=1
Ecuación 1= 2x+1y+1z=5
2+y+1=5
y=5-3
y=2
El precio de cada artículo es:
Lápices: $1 000
Pluma: $2 000
Goma: $1 000
7. La señora Juana compra 3 kg de fríjol, 2 kg de sal y 1 kg de arroz por $13 000. La Señora Petra compra 2 kg de fríjol, 1 kg de sal y 1 kg de arroz pagando un total de $9 000. Otra señora compra 1 kg de frijol, 1 kg de sal y 1 kg de arroz pagando un total de $6 000. Si las tres señoras compraron en la misma tienda, ¿cuál es el precio por kg de cada producto?
	Señora
	Frijol (x)
	Sal (y)
	Arroz (z)
	Total
	Juana
	3kg
	2kg
	1kg
	$13 000
	Petra
	2kg
	1kg
	1kg
	$9 000
	Otra señora
	1kg
	1kg
	1kg
	$6 000
Ecuación 1= 3x+2y+1z=13
Ecuación 2= 2x+1y+1z=9
Ecuación 3= 1x+1y+1z=6
Ecuación 2 = 2x+1y+1z=9
Ecuación 3 = -1) -1x-1y-1z=-6
x=3
Ecuación 1 = 3x+2y+1z=13
Ecuación 2 = -1) -2x-1y-1z=-9
x+y=4
3+y=4
y=4-3
y=1
Ecuación 3 = 3+1+z=6
4+z=6
z=6-4
z=2
El precio por kg de cada producto es:
Frijol: $3 000
Sal: $1 000
Arroz: $2 000
8. Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado y comentar el resultado.
	Hombres (x)
	Mujeres (y)
	Niños (z)
Ecuación 1: x+y+z=30
Ecuación 2: x+3y=2z+20
Ecuación 3: x+y=2z
Ecuación 1: 2) 2x+2y+2z=60
Ecuación 2: x+3y-2z=20
Ecuación 4: 3x+5y=80
Ecuación 1: 2) 2x+2y+2z=60
Ecuación 3: x+y-2z=0
Ecuación 5: 3x+3y=60
Ecuación 4: 3x+5y=80
Ecuación 5: -1) -3x-3y=-60
3y=20
y=20/2
y/10
Ecuación 4: 3x+5(10)=80
3x+50=80
3x=80-50
x=30/3
x=10
Ecuación 1: x+y+z=30
10+10+z=30
20+z=30
z=30-20
z=10
Resolver el sistema de ecuaciones planteado y comentar el resultado:
x+y+z=30
10+10+10=30
30=30
Hay 10 hombres, 10 mujeres y 10 niños.
9. Los sueldos del padre, la madre y un hijo sumados dan 1950 €. La madre gana el doble que el hijo. El padre gana 2/3 de lo que gana la madre. Calcular cuánto gana cada uno.
	Padre (x)
	Madre (y)
	Hijo (z)
	Total= €1950
x+y+z=1950
y=2z
x=2/3y
2/3y+2z+z=1950
⅔(2z)+2z+z=1950
4/3z+3z=1950
4z+9z=5850
13z=5850
z=5850/13
z=450
y=2(450)
y=909
x=⅔(900)
x=600
Calcular cuánto gana cada uno:
Padre: €600
Madre: €909
Hijo: €450
10. Las edades de tres hermanos son tales que el quíntuplo de la edad del primero, más el cuádruplo de la edad del segundo, más el triple de la edad del tercero, es igual a 60. El cuádruplo de la edad del primero, más el triple de la edad del segundo, más el quíntuplo de la del tercero, es igual a 50. Y el triple de la edad del primero, más el quíntuplo de la delsegundo, más el cuádruplo de la del tercero, es igual a 46.
a = edad del primer hermano
b = edad del segundo hermano
c = edad del tercer hermano
El sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es:
Ecuación 1: 5a + 4b + 3c = 60
Ecuación 2: 4a + 3b + 5c = 50
Ecuación 3: 3a + 5b + 4c = 46
Ecuación 1: -3) -15a - 12b - 9c = -180
Ecuación 3: 3) 15a + 25b + 20c = 230
Ecuación 4: 13b + 11c = 50
Ecuación 1: -4) -20a - 16b -12c = -240
Ecuación 2: 5) 20a +15b + 25c = 250
Ecuación 5: -b + 13c = 10
Ecuación 5: 13) -13b + 169c = 130
Ecuación 4: 13b + 11c = 50
180c = 180
c = 180/180
c = 1 año (edad del tercer hermano)
Ecuación 5: -b + 13c = 10
b = 13c - 10
b = 13(1) - 10
b = 3 años (edad del segundo hermano)
Ecuación 3: 3a + 5b + 4c = 46
3a = 46 - 5b - 4c
a = (46 - 5b - 4c) / 3
a = [46 - 5(3) - 4(1)] / 3
a = (46 - 15 - 4)/3
a = 27/3
a = 9 años (edad del primer hermano)
a = 9 años es la edad del primer hermano
b = 3 años es la edad del segundo hermano
c = 1 año es la edad del tercer hermano