LA TEORÍA DE SCHRÖDINGER - Arely Huerta Aguilar

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LA TEORÍA DE SCHRÖDINGER
Erwin Schrödinger desarrolló entre 1925 y 1926 su teoría de la mecánica ondulatoria, que es una de las maneras en que se presenta la Mecánica Cuántica. Su trabajo tuvo un gran impacto debido a que la ecuación de Broglie a pesar de ser correcta no mostraba el comportamiento completo de una partícula, además solo se puede analizar el comportamiento de una onda piloto de una partícula libre, pero no de una partícula sometida a fuerzas, así como la probabilidad de encontrar una partícula en un determinado punto. 
La ecuación de Schrödinger es una teoría no relativista y utilizó la función Ψ ( x t) para designarla como la función de onda.
Las ecuaciones que Schrödinger utilizó como punto de partida para formular su hipótesis fueron las siguientes:
Donde m es la masa en reposo, cabe señalar que con la ecuación anterior se obtiene el valor correcto de la velocidad de grupo para una partícula libre (V=V0= cte.), usando la ecuación resulta la siguiente ecuación: 
Donde:
 k = 2π/ λ 
ω=2 πν 
Por lo tanto:
Una ecuación debe cumplir con algunos requisitos, entre ellos se encuentran que debe manifestar consistencia con las ecuaciones, el impulso de una partícula debe ser constante, asimismo debe ser lineal en Ψ (x, t) , para que sea posible superponer funciones de onda y lograr el estudio de los efectos de interferencia y difracción.
Para que se cumpla el último requisito se considera una partícula libre y se describe como una onda viajera Ψ f que depende del argumento (kx –ωt). Esta función podría estar designada de la siguiente manera:
Donde α y β son constantes a determinar.
Existen ondas viajeras del tipo Ψ f = cos( kx- ω t) o Ψ f = sen( kx- ω t) que no cumplen con primer requisito, pues no se puede recoger en un factor común la dependencia espacial y temporal. Sin embargo se puede obtener una combinación lineal del tipo Ψ f = cos ( kx- ω t) + γ sen ( kx- ω t) permite obtener una ecuación de la forma: si γ = ±i, α γ = y β = −1, y entonces se cumplen las tres condiciones, quedando la ecuación: 
La onda viajera queda dada por la ecuación: 
La ecuación de la onda viajera se obtuvo considerando V= V0 = cte, para la condición V= V( x,t), la ecuación diferencial que describe la función de onda tiene la misma forma y se tiene que la ecuación de Schrödinger es:
Y así mismo la ecuación de Schrödinger en dimensión espacial es:
Donde ∇2 es el operador Laplaciano.
Pozo de potencial 
Partícula libre
Una partícula libre es aquella que no está sujeta a ningún esfuerzo o barrera de potencial y es libre de moverse en un espacio sin límites. Schrödinger plateó una ecuación para la partícula libre que está dada por: 
De manera que la ecuación simplificada queda como:
Una partícula libre podría estar sometida a un potencial y este debe ser independiente de su posición, es decir, poseer un potencial constante por lo tanto se tendrá una energía de potencial constante que supondría un escalado de la energía total de la partícula libre por lo tanto se asume que V=0
De acuerdo con la relación de de Broglie, la longitud de onda asociada a una partícula libre será:
La partícula en una caja monodimensional 
Se le llama partícula de caja a un sistema en el cual la partícula es obligada a permanecer en una región finita del espacio definida por 0 ≤ x ≤ a (donde a es una longitud finita). Este sistema sirve como modelo para el movimiento de traslación de moléculas de gases ideales, electrones en la banda de conducción de los metales y electrones π en hidrocarburos conjugados. La ecuación utilizada es la misma que para la partícula libre si se considera que el potencial dentro de la caja es el mismo en cualquier punto.
La ecuación de Schödinger que describe este sistema es: 
Partícula en una caja bidimensional 
Este modelo de partícula está en término de dos o tres dimensiones.
Para el caso del modelo bidimensional, la ecuación es:
Dentro de la caja la energía potencial es cero y fuera de ella es infinita
Realizando la sustitución: 
Se obtiene:
GRÁFICAS 
 CAMBIANDO VALORES A LA VARABLE A
	
A=10
A= -10
CAMBIANDO VALORES PARA K.
K=-20
K=20