funciones trigonometricas - Benitez gonzalez Jimena

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Funciones trigonométricas elementales
Allan Fiel E.
Identificamos a las funciones trigonométricas a partir de una circunferencia
unitaria (esto es, de radio r = 1) trazando un rayo que parte desde el centro
de la circunferencia C(0, 0) hacia cualquier punto P (x, y) de la misma, como en
la figura, abajo. Notemos que este rayo tiene cierto ángulo α ≥ 0 (medido en
grados o radianes) que mide la inclinación desde el eje horizontal X hasta tal
segmento de ĺınea.
Figure 1: Seno y coseno.
Si proyectamos el punto P (x, y) hacia el eje X hasta el punto A(x, 0), a la
distancia x medida desde el origen de la circunferencia hasta A se le conoce
como el coseno del ángulo α y escribimos cos(α). Puesto que el ángulo en cada
punto (x, y) de la circunferencia unitaria es distinto, resulta ser que el coseno es
una función de α.
Figure 2: Coseno de x.
1
Como podemos apreciar de la gráfica anterior para el coseno, su valor máximo
es 1 y el mı́nimo es −1, por lo que −1 ≤ cos(x) ≤ 1, es decir, la imagen de
la función coseno es el intervalo cerrado [−1, 1] y su dominio es la recta real
(−∞,∞). Esto significa que si el rayo de la Figura 1 gira indefinidamente en
sentido contrahorario (o en sentido horario, respectivamente) podemos calcular
el coseno de cualquier ángulo arbitrario.
El triángulo inscrito en la circunferencia que recién dibujamos es un triángulo
rectángulo y gracias a él podemos dar la primera fórmula para el coseno del
ángulo a partir de sus catetos, es decir,
cos(α) =
cateto adyacente
hipotenusa
. (1)
Por comodidad escribimos c.a. y h para referirnos al cateto adyacente y a la
hipotenusa, respectivamente.
Es pertinente puntualizar que, en vista de la igualdad anterior, podemos
calcular el coseno del ángulo en cuestión para cualquier triángulo rectángulo, y
no solamente en el escenario en el que este se encuentre inscrito en la circunferencia
unitaria. Esto es, si el ángulo α es el mismo para distintos triángulos (llamados
semejantes) podemos usar la fórmula (1) para calcular su coseno como en la
figura 3.
Por ejemplo, si el cateto adyacente de un triángulo rectángulo es igual a 12u
(la u se refiere a unidades lineales) y su hipotenusa es 15u, tenemos que coincide
Figure 3: Triángulo rectángulo.
2
con el coseno de un triángulo rectángulo cuyo c.a. es de 4u y su hipotenusa es
de 5u porque
cos(α) =
12
15
=
4
5
.
Adicionalmente, tenemos que, para n ∈ Z
cos
(nπ
2
)
= 0,
cos(0) = 1,
cos(nπ) =
{
1, si n es par
−1, si n es impar
A la distancia y medida desde el punto A(x, 0) hasta P (x, y) se le conoce
como el seno del ángulo, y escribimos sen(α) por comodidad. Análogamente a
lo descrito con respecto del coseno, el seno es también una función de α.
Figure 4: La función sen(x).
De la Figura 4 −1 ≤ sen(x) ≤ 1, es decir, la imagen de la función seno es el
intervalo cerrado [−1, 1] y su dominio es la recta real (−∞,∞), por lo que está
definida para cualquier valor real de x.
La función seno satisface que, para n ∈ Z
sen(0) = 0,
sen(nπ) = 0,
sen
(nπ
2
)
=
{
1, si n es par
−1, si n es impar
3
La fórmula para el seno del ángulo es
sin(α) =
cateto opuesto
hipotenusa
. (2)
Y escribimos también c.o. para indicar que estamos trabajando con el cateto
opuesto al ángulo α.
Si, por ejemplo, un triángulo rectángulo tiene como c.o. 9u y de hipotenusa
15u, la fórmula (2) nos ayuda a escribir
sen(α) =
9
15
=
3
5
.
Como antes, esta cantidad es equivalente al caso en el que estamos trabajando
con un triángulo rectángulo de 3u de c.o. y 5u de hipotenusa.
Si bien las funciones seno y coseno tienen ciertas analoǵıas es pertinente
recalcar que la primera es una función impar y la segunda es una función par,
esto significa que
sen(−x) = −sen(x)
y
cos(−x) = cos(x).
Estas dos funciones se conocen como las funciones trigonométricas elementales,
ya que a partir de ellas y del Teorema de Pitágoras obtenemos (prácticamente)
a todas las demás.
La primera igualdad que encontramos se refiere a la tangente de α, y se
calcula dividiendo al seno entre el coseno, es decir, usando las fórmulas (1) y (2)
tan(α) =
sen(α)
cos(α)
(3)
=
c.o.
h
/c.a.
h
=
c.o.
c.a.
.
Y utilizamos cualquiera de las tres igualdades anteriores a conveniencia.
Estamos listos para definir a las llamadas identidades rećıprocas:
csc(α) =
1
sen(α)
=
h
c.o.
.
sec(α) =
1
cos(α)
=
h
c.a.
.
cot(α) =
cos(α)
sen(α)
=
c.a.
c.o.
.
Se les conoce como cosecante, secante y cotangente de α, respectivamente. Es
importante puntualizar que la cosecante y la cotangente no están definidas para
4
ángulos α en donde el seno sea cero, esto es, cuando α = (2n+ 1)π, n ∈ Z+, es
decir, n es un entero positivo o cero. Por otro lado, la secante no estará definida
cuando α = nπ2 , n ∈ N.
Recordemos el Teorema de Pitágoras, que nos dice que la hipotenusa de
cualquier triángulo rectángulo al cuadrado se puede calcular como la suma de
cada uno de sus catetos al cuadrado, esto es,
h2 = (c.a.)2 + (c.o.)2. (4)
Como h es una distancia positiva deducimos fácilmente que
h =
√
(c.a.)2 + (c.o.)2.
Dividiendo (4) entre h2 obtenemos que, para cualquier α ∈ [0, 2π]
1 =
(c.a.
h
)2
+
(c.o.
h
)2
1 = cos2(α) + sen2(α) (5)
La fórmula (5) es de suma importancia porque debido a ella podemos encontrar
una gran cantidad de igualdades trigonométricas, por lo que es conveniente
recordarla.
Análogamente, si dividimos a (4) entre sen2(α) obtenemos
1 + cot2(α) = csc2(α). (6)
O bien, dividiendo (4) entre cos2(α) llegamos a que
1 + tan2(α) = sec2(α). (7)
A (5), (6) y (7) se les conoce como igualdades pitagóricas. En lo que sigue
mostramos algunos ejemplos en donde usamos estas identidades para deducir
otras.
Ejemplo. Veamos que
(sec(α) + tan(α))(1− sen(α)) = cos(α).
En efecto, usando las identidades que hemos deducido tenemos que
(sec(α) + tan(α))(1− sen(α)) =
(
1
cos(α)
+
sen(α)
cos(α)
)
(1− sen(α))
El lado derecho se puede escribir como
5
(sec(α) + tan(α))(1− sen(α)) =
(
1
cos(α)
+
sen(α)
cos(α)
)
(1− sen(α))
=
(
1 + sen(α)
cos(α)
)
(1− sen(α))
=
(
1− sen2(α)
cos(α)
)
=
cos2(α)
cos(α)
= cos(α).
Ejemplo. Verifiquemos la igualdad
tan(α) + cos(α)
sen(α)
= sec(α) + cot(α).
Separando los sumandos y en vista de algunas reducciones algebraicas
tan(α) + cos(α)
sen(α)
=
tan(α)
sen(α)
+
cos(α)
sen(α)
=
(
sen(α)
cos(α)
)
sen(α)
+ cot(α)
=
sen(α)
cos(α)
1
sen(α)
+ cot(α)
=
1
cos(α)
+ cot(α)
= sec(α) + cot(α).
Por lo que la identidad es cierta.
6