Actividad 7 - Valor esperado y varianzas - OCHOA PRECIADO ENRIQUE DE JESUS

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Universidad de Colima 
Facultad de ingeniería electromecánica 
“Valor esperado y varianzas” 
 
4°D 
 
Presenta 
Ochoa Preciado Enrique de Jesús 
 
Profesor 
Martínez Vargas Felipe de Jesús 
Manzanillo, Col., México, 01 de mayo de 2022 
 
 
Índice 
Introducción 3 
Cuerpo del trabajo 4 
Conclusiones 7 
Fuentes consultadas 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
 
En este trabajo encontraremos 10 problemas sobre Valor esperado y varianzas en el cual 
observamos que el valor esperado, o media, de una variable aleatoria es una medida de la 
localización central de la variable aleatoria. A continuación, se da la fórmula para obtener el 
valor esperado de una variable aleatoria x. Las dos notaciones E(x) y μ se usan para denotar 
el valor esperado de una variable aleatoria x. La ecuación (5.4) indica que para calcular el 
valor esperado de una variable aleatoria discreta se multiplica cada valor de la variable 
aleatoria por su probabilidad correspondiente f(x) y después se suman estos productos. 
Usando el ejemplo de la sección 5.2 sobre las ventas de automóviles en DiCarlo Motors, en 
la tabla 5.5 se muestra cómo se calcula el valor esperado del número de automóviles 
vendidos en un día. La suma de las entradas en la columna xf(x) indica que el valor esperado 
es 1.50 automóviles por día. Por tanto, aunque se sabe que en un día las ventas pueden ser 
de 0, 1, 2, 3, 4 o 5 automóviles, DiCarlo prevé que a la larga se venderán 1.50 automóviles 
por día. Si en un mes hay 30 días de operación, el valor esperado, 1.50, se emplea para 
pronosticar que las ventas promedio mensuales serán de 30(1.5) 45 automóviles. Aunque 
el valor esperado proporciona el valor medio de una variable aleatoria, también suele ser 
necesaria una medida de la variabilidad o dispersión. Así como en el capítulo 3 se usó la 
varianza para resumir la variabilidad de los datos, ahora se usa la varianza para resumir la 
variabilidad en los valores de la variable aleatoria. A continuación, se da la fórmula para 
calcular la varianza de una variable aleatoria discreta = 
Var(x) = σ2= 𝛴(x - μ)2f(x) 
 
 
 
Cuerpo del trabajo 
15. La tabla siguiente muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria x. 
 
 
a. Calcule E(x), el valor esperado de x. 
 
x f(x) x f(x) 
3 .25 3*.25=.75 
6 .50 6*.50=3 
9 .25 9*.25=2.25 
Total 1 6 
E(x)=µ=6 
 
b. Calcule σ2, la varianza de x. 
 
x x- µ (x- µ)2 F(x) (x- µ)2 F(x) 
3 3-6=-3 (-3) 2=9 .25 9*.25=2.25 
6 6-6=0 (0) 2=0 .50 0*.50=0 
9 9-6=3 (3) 2=9 .25 9*.25=2.25 
Total 1 4.5 
Var(x)=4.5 
 
c. Calcule σ, la desviación estándar de x. 
𝜎 = √4.5 = 2.1213 
16. La tabla siguiente muestra la distribución de probabilidad de una variable 
aleatoria y. 
 
a. Calcule E(y). 
 
y f(y) y f(y) 
2 .20 2*.20=.40 
4 .30 4*.30=1.2 
7 .40 7*.40=2.8 
8 .10 8*.10=.80 
Total 1 5.2 
E(y)=µ=5.2 
b. Calcule Var(y) y σ. 
 
y y- µ (y- µ)2 F(y) (y- µ)2 F(y) 
2 2-5.2=-3.2 (-3.2) 2=10.24 .20 10.24*.2=2.048 
4 4-5.2=-1.2 (-1.2) 2=1.44 .30 1.44*.3=.432 
7 7-5.2=1.8 (1.8) 2=3.24 .40 3.24*.4=1.296 
8 8-5.2=2.8 (2.8) 2=7.84 .10 7.84*.1=.784 
Total 1 4.56 
Var(y) =4.56 
σ=√4.56 = 2.135415 
17. Una ambulancia de voluntarios realiza de 0 a 5 servicios por día. A continuación, se 
presenta la distribución de probabilidad de los servicios por día. 
 
a. ¿Cuál es el valor esperado del número de servicios? 
 
x F(x) xf(x) 
0 .10 0*.1=0 
1 .15 1*.15=.15 
2 .30 2*.30=.6 
3 .20 3*.20=.6 
4 .15 4*.15=.6 
5 .10 5*.10=.5 
Total 1 2.45 
E(x)=µ=2.45 
 
b. ¿Cuál es la varianza del número de servicios? ¿Cuál es la desviación estándar? 
 
x x- µ (x- µ)2 F(x) (x- µ)2 F(x) 
0 0-2.45=-2.45 (-2.45) 2=6.0025 .10 6.0025*.10=0.60025 
1 1-2.45=-1.45 (-1.45) 2=2.1025 .15 2.1025*.15=0.315375 
2 2-2.45=-.45 (-.45) 2=0.2025 .30 0.2025*.30=0.06075 
3 3-2.45=.55 (.55) 2=0.3025 .20 0.3025*.20=0.0605 
4 4-2.45=1.55 (1.55) 2=2.4025 .15 2.4025*.15=0.360375 
5 5-2.45=2.55 (2.55) 2=6.5025 .10 6.5025*.10=0.65025 
Total 1 2.0475 
Var(x) =2.0475 
 
σ=√2.0475 = 1.430908802125418 
18. Los datos siguientes son el número de recámaras en casas rentadas y en casas propias 
en ciudades centrales de Estados Unidos (www.census.gov, 31 de marzo de 2003). 
 
 
a. Defina una variable aleatoria x = número de recámaras en casas rentadas y elabore una 
distribución de probabilidad para esta variable. (x = 4 representará 4 recámaras o más.) 
 
x f(x) x f(x) x- µ (x- µ)2 (x- µ)2 f(x) 
0 .04 0*.04=0 0-1.85=-1.85 (-1.85)2=3.4225 3.4225*.04=0.1369 
1 .33 1*.33=.33 1-1.85=-.85 (-.85)2=0.7225 0.7225*.33=0.238425 
2 .41 2*.41=.82 2-1.85=.15 (.15)2=0.0225 0.0225*.41=0.009225 
3 .18 3*.18=.54 3-1.85=1.15 (1.15)2=1.3225 1.3225*.18=0.23805 
4 .04 4*.04=.16 4-1.85=2.15 (2.15)2=4.6225 4.6225*.04=0.1849 
Total 1 1.85 0.8075 
http://www.census.gov/
http://www.census.gov/
b. Calcule el valor esperado y la varianza del número de recámaras en casas rentadas. 
E(x)=µ=1.85 Var(x) =.8075 
 
c. Defina una variable aleatoria y = número de recámaras en casas propias y elabore una 
distribución de probabilidad para esta variable. (y = 4 representará 4 recámaras o más.) 
 
y F(y) yf(y) y- µ (y- µ)2 (y- µ)2 F(y) 
0 0.0013 0*0.0013=0 0-2.929=-2.929 8.58 8.58*0.0013=0.011154 
1 0.0321 1*0.0321=0.0321 1-2.929=-1.929 3.72 3.72*0.0321=0.119412 
2 0.2272 2*0.2272=0.4544 2-2.929=-.929 0.86 0.86*0.2272=0.195392 
3 0.5151 3*0.5151=1.5453 3-2.929=0.071 0.005 0.005*0.5151=0.0025755 
4 0.2243 4*0.2243=0.8972 4-2.929=1.071 1.15 1.15*0.2243=0.257945 
Total 1 2.929 0.5864785 
d. Calcule el valor esperado y la varianza del número de recámaras en casas propias. 
E(y)=µ=2.929Var(y) =0.5864785 
 
e. ¿Qué observaciones resultan al comparar el número de recámaras en casas rentadas y 
en casas propias? 
El número de recámaras en casas propias es mayor que en casas rentadas; el número 
esperado de recámaras es de 2.93-1.84= 1.09 mayor y la variabilidad en el número de 
recámaras es menor en las casas propias con .58; a diferencia de .80 de casas rentadas. 
La National Basketball Association (NBA) lleva diversas estadísticas de cada equipo. Dos se 
refieren al porcentaje de tiros de campo hechos por un equipo y el porcentaje de tiros de tres 
puntos hechos por un equipo. En parte de la temporada del 2004, el registro de tiros de los 
29 equipos de la NBA indicaba que la probabilidad de anotar dos puntos en un tiro de campo 
era 0.44, y que la probabilidad de anotar tres puntos en un tiro de tres puntos era 0.34 
(www.nba.com, 3 de enero de 2004). 
http://www.nba.com/
http://www.nba.com/
a. ¿Cuál es el valor esperado para un tiro de dos puntos de estos equipos? 
 
El valor esperado de tiros de dos puntos es E(x)=µ=29*.44=12.76 
 
b. ¿Cuál es el valor esperado para un tiro de tres puntos de estos equipos? 
 
El valor esperado de tiros de tres puntos es E(x)=µ=29*.34=9.86 
 
c. Si la probabilidad de hacer un tiro de dos puntos es mayor que la probabilidad de hacer 
uno de tres puntos, ¿por qué los entrenadores permiten a algunos jugadores hacer un tiro 
de tres puntos si tienen oportunidad? Use el valor esperado para explicar su respuesta. 
Se los permiten porque esa oportunidad de tener tres puntos puede aumentar la 
probabilidad de anotar; con respecto a los valores esperados hay una diferencia de 2.9, el 
jugador al aprovechar esa oportunidad de obtener tres puntos puede hacer que sea 
diferencia se reduzca lo más posible. 
19. A continuación se presenta la distribución de probabilidad para los daños pagados por 
una empresa de seguros para automóviles, en seguros contra choques. 
 
 
a. Use el pago esperado para determinar la prima en el seguro de choques que le permitirá 
a la empresa cubrir los gastos. 
 
1 
 
x f(x) x f(x) 
0 .85 0*.85=0 
500 .04 500*.04=20 
1000 .04 1000*.04=40 
3000 .03 3000*.03=90 
5000 .02 5000*.02=100 
8000 .01 8000*.01=80 
10000 .01 10000*.01=100 
total 1 430 
E(x)=µ=430 
 
b. Laempresa de seguros cobra una tasa anual de $520 por la cobertura de 
choques. ¿Cuál es el valor esperado de un seguro de choques para un asegurado? 
(Indicación: son los pagos esperados de la empresa menos el costo de cobertura.) 
¿Por qué compran los asegurados un seguro de choques con este valor esperado? 
Costo cobertura = 520 
Esperado para asegurados = Esperado x – costo cobertura= 430-520=-90 la idea 
es proteger contra los gastos de un accidente grande 
20. La siguiente distribución de probabilidad sobre puntuaciones dadas a la 
satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos de alto nivel y de nivel 
medio en sistemas de la información va desde 1 (muy insatisfecho) hasta 5 (muy 
satisfecho). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
a. ¿Cuál es el valor esperado en las puntuaciones dadas a la satisfacción con el 
trabajo por los ejecutivos de nivel alto? 
 
 
 
 
 
E(x)=µ=4.0 
La demanda de un producto de una empresa vaía enormemente de mes a mes. La 
distribución de probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los 
dos últimos años, muestra la demanda mensual de la empresa. 
 
 
a. Si la empresa basa las órdenes mensuales en el valor esperado de la demanda 
mensual, ¿cuál será la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este 
producto? 
 
x F(x) xf(x) 
300 .20 300*.20=60 
400 .30 400*.30=120 
500 .35 500*.35=175 
600 .15 600*.15=90 
X F(x) Xf(x) x- µ (x- µ)2 (x- µ)2 F(y) 
1 .05 1*.05=.05 1-4.05=-3.05 9.3025 9.3025*.05=0.465125 
2 .09 2*.09=.18 2-4.05=-2.05 4.2025 4.2025*.09=0.378225 
3 .03 3*.03=.09 3-4.05=-1.05 1.1025 1.1025*.03=0.033075 
4 .42 4*.42=1.68 4-4.05=-.05 0.0025 0.0025*.42=0.00105 
5 .41 5*.41=2.05 5-4.05=.95 0.9025 0.9025*.41=0.370025 
Total 1 4.05 1.2475 
3 
 
total 1 445 
E(x)=µ=445 
 
b. Suponga que cada unidad demandada genera $70 de ganancia y que cada 
unidad ordenada cuesta $50. ¿Cuánto ganará o perderá la empresa en un mes si 
coloca una orden con base en su respuesta al inciso a y la demanda real de este 
artículo es de 300 unidades? 
300*70=21000,445*50=22250 
 
21000-22250=Perderá $1 250 
 
21. El estudio 2002 New York City Housing and Vacancy Survey indicó que había 
59 324 viviendas con renta controlada y 236 263 unidades con renta estabilizada 
construidas en 1947 o después. A continuación, se da la distribución de probabilidad 
para el número de personas que viven en estas unidades (www.census.gov, 12 de 
enero de 2004). 
 
 
a. ¿Cuál es el valor esperado para el número de personas que viven en cada tipo 
de unidad? 
 
x f(x) xf(x) 
1 .61 1*.61=.61 
2 .27 2*.27=.54 
3 .07 3*.07=.21 
4 .04 4*.04=.16 
5 .01 5*.01=.05 
6 0 6*0=0 
Total 1 1.57 
E(x)=µ=1.57 
 
http://www.census.gov/
http://www.census.gov/
4 
 
y f(y) yf(y) 
1 .41 1*.41=.41 
2 .30 2*.30=.60 
3 .14 3*.14=.42 
4 .11 4*.11=.44 
5 .03 5*.03=.15 
6 .01 6*.01=.06 
total 1 2.08 
E(y)=µ=2.08 
 
 
 
 
 
22. ¿Cuál es la varianza para el número de personas que viven en cada tipo 
de unidad? 
 
x x- µ (x- µ)2 f(x) (x- µ)2 f(x) 
1 1-1.57=-.57 0.3249 .61 0.3249*.61=0.198189 
2 2-1.57=.43 0.1849 .27 0.1849*.27=0.049923 
3 3-1.57=1.43 2.0449 .07 2.0449*.07=0.143143 
4 4-1.57=2.43 5.9049 .04 5.9049*.04= 0.236196 
5 5-1.57=3.43 11.7649 .01 11.7649*.01=0.117649 
6 6-1.57=4.43 19.6249 0 19.6249*0=0 
Total 1 .7451 
Var(x) =.7451 
 
 
y y- µ (y- µ)2 f(y) (y- µ)2 f(y) 
1 1-2.08=-1.08 1.1664 .41 1.1664*.41=0.478224 
2 2-2.08=-.08 0.0064 .30 0.0064*.30=0.00192 
3 3-2.08=.92 0.8464 .14 0.8464*.14=0.118496 
4 4-2.08=1.92 3.6864 .11 3.6864*.11=0.405504 
5 5-2.08=2.92 8.5264 .03 8.5264*.03=0.255792 
6 6-2.08=3.92 15.3664 .01 15.3664*.01=0.153664 
Total 1 1.4136 
Var(y) =1.4136 
 
5 
 
 
23. Haga comparaciones entre el número de personas que viven en una unidad 
de renta controlada y el número de personas que viven en una unidad de renta 
estabilizada. 
En proporción la renta controlada es un valor esperado de 1.57 y la renta 
estabilizada con un 2.08 en margen la renta estabilizada tiene .51 más que la 
renta contralada. 
24. J. R. Ryland Computer Company está considerando hacer una expansión a la 
fábrica para empezar a producir una nueva computadora. El presidente de la 
empresa debe determinar si hacer un proyecto de expansión a mediana gran escala. 
La demanda del producto nuevo es incierta, la cual, para los fines de planeación 
puede ser demanda pequeña, mediana o grande. Las probabilidades estimadas 
para la demanda son 0.20, 0.50 y 0.30, respectivamente. Con x y y representando 
ganancia anual en miles de dólares, los encargados de planeación en la empresa 
elaboraron el siguiente pronóstico de ganancias para los proyectos de expansión 
a mediana y gran escala. 
 
 
 
a. Calcule el valor esperado de las ganancias correspondientes a las dos 
alternativas de expansión. ¿Cuál de las decisiones se prefiere para el objetivo de 
maximizar la ganancia esperada? 
 
x f(x) xf(x) y f(y) yf(y) 
50 .20 50*.20=10 0 .20 0*.20=0 
150 .50 150*.50=75 100 .50 100*.50=50 
200 .30 200*.30=60 300 .30 300*.30=90 
Total 1 145 Total 1 140 
Mediana E(x)=µ=145 Grande E(x)=µ=140 
 
 
 
6 
 
b. Calcule la varianza de las ganancias correspondientes a las dos alternativas de 
expansión. ¿Cuál de las decisiones se prefiere para el objetivo de minimizar el 
riesgo o la incertidumbre? para minimizar riesgos la expansión a mediana escala 
es mejor y que la variación es menor a comparación de la gran escala 
 
x x- µ (x- µ)2 f(x) (x- µ)2 f(x) 
50 50-145=-95 9,025 .20 9,025*.20=1,805 
150 150-145=5 25 .50 25*.50=12.5 
200 200=145=55 3025 .30 3025*.30=907.5 
Total 1 2,725 
Var(x) =2,725 
 
y y- µ (y- µ)2 f(y) (y- µ)2 f(y) 
0 0-140=-140 19,600 .20 19,600*.20=3,920 
100 100-140=-40 1,600 .50 1,600*.50=800 
300 300-140=160 25,600 .30 25,600*.30=7,680 
total 1 12,400 
Var(y) =12,400 
 
7 
 
Conclusiones 
 
Con los ejercicios desarrollados, podemos concluir que las distribuciones de 
probabilidad nos permiten establecer toda la gama de resultados probables que 
puedan ocurrir en un experimento determinado, además, de que es una herramienta 
primordial, ya que con ella es posible diseñar un panorama a futuro de los 
acontecimientos, considerando tendencias actuales de diversos fenómenos. 
Sabiendo las dos características principales ( 𝑓(𝑥) ≤ 0 y que la suma de ellas debe 
dar 1), es posible anticipar estos escenarios sin necesidad completa de realizar el 
experimento en su totalidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Fuentes consultadas 
 
Anderson, D. R., & Sweeney, D. J. (2008). Estadistica para administracion y 
economia/ Statistics For Business And Economics (10a ed.). Cengage learning. 
https://drive.google.com/file/d/1e2-FvCdHVHxPNJTdFa5-cqb47IP4ltQ3/view 
 
https://drive.google.com/file/d/1e2-FvCdHVHxPNJTdFa5-cqb47IP4ltQ3/view