solucion del examen de Mecanica teorica - Isaac Castillo Soto

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Solución del examen de Mecánica teórica
27 de febrero de 2023
1.- Una masa m está atada a un extremo de una
varilla ligera de longitud l. El otro extremo de la
varilla está unido a un pivote de tal manera que la
varilla puede moverse libremente en un plano hori-
zontal. El pivote rota en el mismo plano con veloci-
dad angular constante ω en un ćırculo de radio R.
Usando las ecuaciones de Lagrange hallar la ecuación
de movimiento.
2.- Una masa m está unida a una cuerda de
longitud l. El extremo superior de la cuerda se
amarra al punto más alto de un disco vertical de
radio R (R < l/π). Compruebe que se satisface el
principio de d’Alembert y obtenga las ecuaciones de
movimiento usando las ecuaciones de Lagrange.
1.- El vector de posición de la part́ıcula está dado por (ver la figura 1)
r = R(cosωt i + senωt j) + l[cos(ωt+ θ) i + sen (ωt+ θ) j], (1)
suponiendo que en t = 0 el punto A se encuentra en el eje x positivo. Luego,
ṙ = ωR(−senωt i + cosωt j) + l(ω + θ̇)[−sen (ωt+ θ) i + cos(ωt+ θ) j]
y
ṙ2 = ω2R2 + l2(ω + θ̇)2 + 2ωRl(ω + θ̇)[sen (ωt+ θ) senωt+ cos(ωt+ θ) cosωt]
= ω2R2 + l2(ω + θ̇)2 + 2ωRl(ω + θ̇) cos θ.
m
A
θ
ωt
l
R
Figura 1: El vector de posición de la part́ıcula es la suma de un vector de magnitud R que forma un ángulo
ωt con la horizontal más un vector de magnitud l que forma un ángulo ωt+ θ con la horizontal. El punto
A gira alrededor del origen con velocidad angular constante ω.
En este caso L = T (la enerǵıa potencial gravitacional es constante porque todo el tiempo la altura de
la part́ıcula es la misma), aśı que
L =
m
2
[
ω2R2 + l2(ω + θ̇)2 + 2ωRl(ω + θ̇) cos θ
]
.
Sustituyendo en la ecuación de Lagrange
0 =
d
dt
∂L
∂θ̇
− ∂L
∂θ
1
se tiene:
0 =
d
dt
[
ml2(ω + θ̇) +mωRl cos θ
]
+mωRl(ω + θ̇) sen θ
= ml2θ̈ −mωRl sen θ θ̇ +mωRl(ω + θ̇) sen θ
= ml2θ̈ +mω2Rl sen θ,
que tiene la forma de la ecuación de movimiento de un péndulo simple.
2.- El vector de posición de m está dado por (ver la figura 2)
r = R(cos θ i− sen θ j) + [l −R(π2 + θ)](−sen θ i− cos θ j) (2)
y la única fuerza de constricción es la tensión de la cuerda, la cual está a lo largo de la ĺınea que va de m
a B, luego
F(constr) = T (sen θ i + cos θ j),
donde T es la mangitud de la tensión.
Conviene calcular la derivada parcial de r con respecto a θ (que es la única coordenada generalizada
que se está empleando) que se utilizará más adelante en dos ocasiones
∂r
∂θ
= R(−sen θ i− cos θ j) + [l −R(π2 + θ)](− cos θ i + sen θ j)−R(−sen θ i− cos θ j)
= [l −R(π2 + θ)](− cos θ i + sen θ j). (3)
A
B
θ
θ
m
Figura 2: La distancia a lo largo de la circunferencia de A a B es igual a R(π2 + θ), por lo que la distancia
entre B y la masa m es l−R(π2 + θ). El vector de posición de m es la suma de un vector (de magnitud R)
que va del origen al punto B más un vector (de longitud l −R(π2 + θ)) de B a m.
Aśı:
F(constr) · ∂r
∂θ
= T (sen θ i + cos θ j) · [l −R(π2 + θ)](− cos θ i + sen θ j)
= 0,
lo que muestra que se satisface el principio de d’Alembert.
2
Para hallar la lagrangiana calculamos primero la enerǵıa cinética, notando que
ṙ =
∂r
∂θ
θ̇
y que (− cos θ i + sen θ j) es un vector unidad (es decir, de norma igual a 1), de (3) se halla que
T =
m
2
[l −R(π2 + θ)]
2θ̇2.
Puesto que la fuerza aplicada es el peso de m y que la fuerza gravitacional es conservativa, V = mgh,
donde h es la altura de m, la cual, medida a partir del eje x, es la componente de r a lo largo de j, luego
[de (2)]
V = mg{−R sen θ − [l −R(π2 + θ)] cos θ}.
Por lo tanto la lagrangiana usual es
L =
m
2
[l −R(π2 + θ)]
2θ̇2 +mg{R sen θ + [l −R(π2 + θ)] cos θ}.
Sustituyendo esta función en la ecuación de Lagrange
0 =
d
dt
∂L
∂θ̇
− ∂L
∂θ
se obtiene
0 =
d
dt
{
m[l −R(π2 + θ)]
2θ̇
}
+m[l −R(π2 + θ)]Rθ̇
2 −mgR cos θ +mg[l −R(π2 + θ)] sen θ +mgR cos θ
= m[l −R(π2 + θ)]
2θ̈ − 2m[l −R(π2 + θ)]θ̇
2R+m[l −R(π2 + θ)]Rθ̇
2 +mg[l −R(π2 + θ)] sen θ
= m[l −R(π2 + θ)]
2θ̈ −mR[l −R(π2 + θ)]θ̇
2 +mg[l −R(π2 + θ)] sen θ.
3