solucionariotema5matiivectores-150424162044-conversion-gate02 - Daniel Sandoval Murillo

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Unidad 5. Vectores en el espacio 1
Página 133
REFLEXIONA Y RESUELVE
Relaciones trigonométricas en el triángulo
■ Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a:
Área = 8 · 5 sen a = 40 sen a cm2
■ Halla el área de este triángulo en función del ángulo b:
Área triángulo = 
Diagonal de un ortoedro
■ Halla la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son c = 3 cm, b = 4 cm y
a = 12 cm.
Diagonal = = = 13 cm
■ Escribe la expresión general de la diagonal de un ortoedro de aristas a, b y c.
En general: Diagonal = √a2 + b2 + c2
√169√32 + 42 + 122
a
b
b
c
c
a
b
b
a b sen b
2
8 cm
5 cm
a
VECTORES EN EL ESPACIO5
Volumen de un paralelepípedo
■ Halla el volumen de este paralelepípedo en fun-
ción de a y de b:
Volumen = 400 sen a cos b cm3
■ ¿Cuál será el volumen de un paralelepípedo de
aristas a, b, c, tal que las dos aristas de la base
formen entre sí un ángulo a, y las aristas latera-
les formen un ángulo b con la perpendicular?
Volumen = a b c sen a cos b
Página 135
1. La propiedad a · (b · 8v ) = (a · b) · 8v relaciona el producto de números por vec-
tores con el producto entre números.
a) De los cuatro productos que aparecen, ¿cuáles son del primer tipo y cuáles
del segundo?
b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = –2 y 
8
v un vector cualquiera re-
presentado sobre el papel.
a) Producto de números por vectores:
b · 
8
v ; (a · b) · 
8
v ; a · (b · 
8
v )
Producto entre números: a · b
b)
3 · (–2
8
v ) = –6
8
v
3 
· (
–2
v8 )
–6
v8
–2
v8
v8
°
¢
£
a · (b · 
8
v ) = 3 · (–2
8
v )
(a · b) · 
8
v = –6
8
v
a
b
c
a
b
8 cm
5 cm
10 cm
a
b
°
¢
£
Área base = 40 sen a
Altura = 10 cos b
Unidad 5. Vectores en el espacio2
2. La propiedad distributiva (a + b) · 8v = a · 8v + b · 8v relaciona la suma de números
con la suma de vectores.
a) De las dos sumas que aparecen, ¿cuál es de cada tipo?
b)Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = 5 y 
8
v un vector cualquiera re-
presentado sobre el papel.
a) Suma de números: a + b
Suma de vectores: a
8
v + b
8
v
b)
8
8
v = 3
8
v + 5
8
v
Página 137
1. Si 8u(–3, 5, 1), 8v(7, 4, –2), halla las coordenadas:
a) 2
8
u b) 0
8
v c) –
8
u d) 2
8
u + 
8
v e) 
8
u – 
8
v f ) 5
8
u – 3
8
v
a) 2
8
u = 2 · (–3, 5, 1) = (–6, 10, 2)
b) 0 · 
8
v = (0, 0, 0)
c) –
8
u = –(–3, 5, 1) = (3, –5, –1)
d) 2
8
u +
8
v = 2(–3, 5, 1) + (7, 4, –2) = (1, 14, 0)
e)
8
u – 
8
v = (–3, 5, 1) – (7, 4, –2) = (–10, 1, 3)
f) 5
8
u – 3
8
v = 5(–3, 5, 1) –3(7, 4, –2) = (–36, 13, 11)
2. Sean los vectores 8x(1, –5, 2), 8y(3, 4, –1), 8z(6, 3, –5), 8w(24, –26, –6). Halla a,
b, c para que se cumpla:
a
8
x + b
8
y + c
8
z =
8
w
a (1, –5, 2) + b (3, 4, –1) + c (6, 3, –5) = (24, –26, –6)
(a + 3b + 6c, –5a + 4b + 3c, 2a – b – 5c) = (24, –26, –6)
= –92|1 3 6–5 4 3
2 –1 –5
|°§¢§
£
a + 3b + 6c = 24
–5a + 4b + 3c = –26
2a – b – 5c = –6
8v
8
5v
8
3v
8
v8
°
¢
£
(a + b) · 
8
v = 8
8
v
a
8
v + b
8
v = 3
8
v + 5
8
v
Unidad 5. Vectores en el espacio 3
5UNIDAD
a = = = 6; b = = = –2;
c = = = 4
Solución: a = 6, b = –2, c = 4, es decir, 6
8
x – 2
8
y + 4
8
z = 
8
w.
Página 139
1. Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son 
8
u(3, –1, 5), 
8
v(4, 7, 11), 
8
w(–2, k, 3).
a) Calcula 
8
u · 
8
v.
b)Halla k para que 
8
v y 
8
w sean perpendiculares.
a)
8
u ·
8
v = (3, –1, 5) · (4, 7, 11) = 3 · 4 + (–1) · 7 + 5 · 11 = 12 – 7 + 55 = 60
b) Como 
8
v ? 0 y 8w ? 0, son perpendiculares si 8v · 8w = 0 8
8 8v · 8w = 4 · (–2) + 7 · k + 11 · 3 = –8 + 7k + 33 = 7k + 25 = 0 8 k = –
Página 141
1. Dados los vectores 8u(5, –1, 2), 8v(–1, 2, –2), calcula:
a) 
8
u · 
8
v b) | 8u | y | 8v | c) ( )
d) Proyección de 
8
u sobre 
8
v y proyección de 
8
v sobre 
8
u. (Segmento y 
vector).
e) ¿Cuánto tiene que valer x para que el vector (7, 2, x) sea perpendicular a
8
u?
a)
8
u · 
8
v = –5 – 2 – 4 = –11
b) | 8u | = = ≈ 5,48
| 8v | = = = 3
c) cos ( ) = = ≈ –0,669 8 ( ) = 132° 1' 26''
ì
8
u, 
8
v–11
√30 · 3
8
u · 
8
v
|
8
u||
8
v|
ì
8
u, 
8
v
√9√1 + 4 + 4
√30√25 + 1 + 4
ì
8
u, 
8
v
25
7
–368
–92
1 3 24| –5 4 –26 |
2 –1 –6
–92
184
–92
1 24 6| –5 –26 3 |
2 –6 –5
–92
–552
–92
24 3 6| –26 4 3 |
–6 –1 –5
–92
Unidad 5. Vectores en el espacio4
d) Segmento proyección de
8
u sobre
8
v = = = –3,67
Significa que el vector proyección de 
8
u en la dirección de 
8
v tiene módulo 3,67
y sentido contrario al de 
8
v.
Vector proyección de
8
u sobre
8
v = 
8
v = (–1, 2, –2)
Segmento proyección de
8
v sobre
8
u = = ≈ –2,008
Vector proyección de
8
v sobre
8
u = 
8
u = (5, –1, 2)
e) (5, –1, 2) · (7, 2, x) = 35 – 2 + 2x = 33 + 2x = 0 8 x = 
2. Obtén tres vectores perpendiculares a 8v que no sean paralelos entre sí:
8
v(3, 2, 7) 
Un vector, 
8
u (x, y, z), es perpendicular a 
8
v(3, 2, 7) si: 
8
u · 
8
v = 3x + 2y + 7z = 0
Por ejemplo: (0, –7, 2); (–7, 0, 3); (–2, 3, 0)
3. Halla un vector que sea perpendicular a los dos vectores dados:
8
u(5, –1, 2) 
8
v(–1, 2, –2)
Queremos hallar las coordenadas de un vector 
8
w(x, y, z) que sea perpendicular a 
8
u
y a 
8
v:
Este sistema tiene infinitas soluciones proporcionales. Una de ellas es x = –2, y = 8,
z = 9.
Es decir, el vector buscado puede ser (–2, 8, 9) o cualquier otro paralelo a él.
Página 144
1. Halla el producto vectorial de 8u (3, 7, –6) y 8v (4, 1, –2).
8
u Ò 8v = (3, 7, –6) Ò (4, 1, –2) = (–8, –18, –25)
2. Halla un vector perpendicular a 8u (3, 7, –6) y a 8v (4, 1, –2).
8
u Ò 8v = (3, 7, –6) Ò (4, 1, –2) = (–8, –18, –25) o cualquier vector proporcional a él.
°
¢
£
8
w 2 8u ò (5, –1, 2) · (x, y, z) = 5x – y + 2z = 0
8
w 2 8v ò (–1, 2, –2) · (x, y, z) = –x + 2y – 2z = 0
–33
2
–11
30
8
v · 
8
u
|
8
u|2
–11
√30
8
u · 
8
v
|
8
u|
–11
9
8
u · 
8
v
|
8
v|2
–11
3
8
u · 
8
v
|
8
v|
Unidad 5. Vectores en el espacio 5
5UNIDAD
3. Halla el área del triángulo determinado por los vectores:
8
u (3, 7, –6) y 
8
v (4, 1, –2)
Área del paralelogramo determinado por 
8
u y 
8
v:
| 8u Ò 8v | = |(3, 7, –6) Ò (4, 1, –2)| = |(–8, –18, –25)| = = 
Área del triángulo = ≈ 15,91 u2
Página 145
1. Halla el volumen del paralelepípedo definido por 8u (3, –5, 1), 8v (7, 4, 2) y
8
w (0, 6, 1).
[
8
u, 
8
v, 
8
w] = = 53 8 Volumen = 53 u3
2. Halla el valor de x para que los vectores 8u (3, –5, 1), 8v (7, 4, 2) y 8z(1, 14, x)
sean coplanarios (es decir, que el volumen del paralelepípedo determinado
por ellos sea cero).
= 47x = 0 8 x = 0|3 –5 17 4 2
1 14 x
|
|3 –5 17 4 2
0 6 1
|
√1013
2
√1013√82 + 182 + 252
Unidad 5. Vectores en el espacio6
Página 149
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Dependencia lineal
1 Dados los vectores 8u(3, 3, 2), 8v(5, –2, 1), 8w(1, –1, 0):
a) Halla los vectores 
8
u – 2
8
v + 3
8
w, –2
8
u + 
8
v – 4
8
w.
b)Calcula a y b tales que 
8
u = a
8
v + b
8
w.
a)
8
u – 2
8
v + 3
8
w = (3, 3, 2) – 2(5, –2, 1) + 3(1, –1, 0) = (–4, 4, 0)
–2
8
u +
8
v – 4
8
w = –2(3, 3, 2) + (5, –2, 1) – 4(1, –1, 0) = (–5, –4, –3)
b) (3, 3, 2) = a (5, –2, 1) + b (1, –1, 0) = (5a + b, –2a – b, a)
Solución: a = 2, b = –7, es decir: 
8
u = 2
8
v – 7
8
w.
2 Comprueba que no es posible expresar el vector 8x (3, –1, 0) como combi-
nación lineal de 
8
u (1, 2, –1) y 
8
v (2, –3, 5). ¿Son linealmente independien-
tes 
8
x, 
8
u y 
8
v ?
8
x = a
8
u + b
8
v 8 (3, –1, 0) = a (1, 2, –1) + b (2, –3, 5)
A' = ( )
Como |A' | = 28 ? 0, el sistema es incompatible.
Luego no es posible expresar 
8
x como combinación lineal de 
8
u y 
8
v.
Como ran (A' ) = 3, los tres vectores son linealmente independientes.
3 Comprueba que cualquiera de los vectores 8a (1, 2, 3), 8b (2, 1, 3), 8c (1, 0, 1)
puede expresarse como C.L. de los otros dos.
8
a = x
8
b + y
8
c 8 (1, 2, 3) = x (2, 1, 3) + y (1, 0, 1)
Por tanto: 
8
a = 2
8
b – 3
8
c
De aquí, tambiénobtenemos que: 
8
b = 
8
a +
8
c; 
8
c = 
8
a +
8
b2
3
–1
3
3
2
1
2
°
§
¢
§
£
y = –3
x = 2
y = –3
°
§
¢
§
£
1 = 2x + y
2 = x
3 = 3x + y
1 2 3
2 –3 –1
–1 5 0
°
§
¢
§
£
3 = a + 2b
–1 = 2a – 3b
0 = –a + 5b
°
§
¢
§
£
b = –7
b = –7
a = 2
°
§
¢
§
£
3 = 5a + b
3 = –2a – b
2 = a
PARA PRACTICAR
Unidad 5. Vectores en el espacio 7
5UNIDAD
s4 Determina m y n para que los siguientes conjuntos de vectores sean 
linealmente dependientes:
a) 
8
u (m, –3, 2), 
8
v(2, 3, m), 
8
w(4, 6, –4)
b) 
8
u(3, 2, 5), 
8
v(2, 4, 7), 
8
w(1, –1, n)
a) = –6m2 – 24m – 24 = –6(m2 + 4m + 4) = –6(m + 2)2 = 0 8 m = –2
Si m = –2, los vectores son linealmente dependientes.
b) = 8n + 5 = 0 8 n = 
Si n = , los vectores son linealmente dependientes.
s5 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son una base?:
A = {(1, 2, 1), (1, 0, 1), (2, 2, 2)}
B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0,1)}
C = {(–3, 2, 1), (1, 2, –1), (1, 0, 1)}
A = {(1, 2, 1), (1, 0, 1), (2, 2, 2)}
Como (2, 2, 2) = (1, 2, 1) + (1, 0, 1), los vectores son linealmente dependientes.
Por tanto, no son una base.
B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
Al ser cuatro vectores en Á3, son dependientes, luego no son una base.
C = {(–3, 2, 1), (1, 2, –1), (1, 0, 1)}
= –12 ? 0 8 Los vectores son linealmente independientes.
Un conjunto de tres vectores de Á3 linealmente independientes es una base de
Á3.
s6 ¿Para qué valores de a el conjunto de vectores S = {(1, 1, 1), (a, 1, 1), 
(1, a, 0)} es una base?
Como son tres vectores de Á3, formarán base cuando sean linealmente indepen-
dientes:
= a2 – a = a (a – 1) = 0 
Por tanto, S es una base cuando a ? 0 y a ? 1.
a = 0
a = 1|1 1 1a 1 1
1 a 0
|
|–3 2 11 2 –1
1 0 1
|
–5
8
–5
8|3 2 52 4 71 –1 n|
|m –3 22 3 m
4 6 –4
|
Unidad 5. Vectores en el espacio8
Producto escalar
7 En una base ortonormal tenemos 8a(1, 2, 2) y 8b (–4, 5, –3). Calcula:
a)
8
a · 
8
b
b) | 8a | y |
8
b |
c) ( )
d)El vector proyección de 
8
b sobre 
8
a .
a)
8
a ·
8
b = (1, 2, 2) · (–4, 5, –3) = –4 + 10 – 6 = 0
b) | 8a | = = = 3
|8b | = = = 5 ≈ 7,07
c) Como 
8
a ·
8
b = 0 8 ( ) = 90°
d) Vector proyeccción de
8
b sobre
8
a = 
8
a = 0 · 
8
a = 
8
0 (vector cero)
8 Dados los vectores 8a = 8i + m 8j + 8k y 8b = –28i + 48j + m 8k halla m para que
los vectores 
8
a y 
8
b sean:
a) Paralelos.
b)Ortogonales.
8
a(1, m, 1); 
8
b(–2, 4, m)
a) = = 8 m = –2
b)
8
a · 
8
b = (1, m, 1) · (–2, 4, m) = –2 + 4m + m = 5m – 2 = 0 8 m = 
9 Halla el vector proyección del vector 8u(3, 1, 2) sobre el vector 8v(1, –1, 2).
Vector proyección de 
8
u sobre 
8
v :
(1, –1, 2) = (1, –1, 2) = (1, –1, 2) = (1, –1, 2)
La proyección es el propio vector 
8
v.
Razonadamente:
Longitud de la proyección:
|
8
u | cos ( ) = =
= = = √66
√6
3 – 1 + 4
√
——
12 + 12 + 22
(3, 1, 2) · (1, –1, 2)
√
——
32 + 12 + 22 √
——
12 + 12 + 22
√32 + 12 + 22
ì
8
u, 
8
v
6
6
3 – 1 + 4
12 + 12 + 22
(3, 1, 2) · (1, –1, 2)
| (1, –1, 2)| 2
2
5
m
1
4
m
–2
1
8
a ·
8
b
|
8
a|2
ì
8
a, 
8
b
√2√50√(–4)2 + 52 + (–3)2
√9√12 + 22 + 22
ì
8
a, 
8
b
Unidad 5. Vectores en el espacio 9
5UNIDAD
El vector proyección se obtiene multiplicando su longitud por un vector unitario
que tenga la misma dirección y sentido que 
8
v: 
Vector proyección de 
8
u sobre 
8
v :
· = (1, –1, 2) = (1, –1, 2)
10 ¿Son 8a (1, 2, 3) y 
8
b (2, –2, 1) ortogonales? Si no lo son, halla el ángulo que
forman.
8
a · 
8
b = (1, 2, 3) · (2, –2, 1) = 2 – 4 + 3 = 1 ≠ 0 8 no son ortogonales.
Si llamamos a al ángulo que forman, entonces:
cos a = = ≈ 0,089 8 a = 84° 53' 20''
11 Calcula m para que el vector 8a (1, 3, m) sea ortogonal al vector 
8
b (1, –2, 3).
8
a 2
8
b 8 8a · 
8
b = (1, 3, m) · (1, –2, 3) = 1 – 6 + 3m = 3m – 5 = 0 8 m = 
12 Comprueba que el vector 8u(1/2, 1/2, 0) no es unitario y da las coordena-
das de un vector unitario de la misma dirección que 
8
u.
| 8u | = = = ? 1 8 8u no es unitario.
Un vector unitario de la misma dirección que 
8
u sería:
= ( , , 0). También podría ser (– , – , 0).
Producto vectorial
13 Dados 8u = 28i – 8j + 8k y 8v = –8i + 38j + 28k, comprueba que los vectores 8u Ò 8v
y 
8
v Ò 8u son opuestos, y halla su módulo.
8
u (2, –1, 1); 
8
v(–1, 3, 2)
8
u Ò 8v = (–5, –5, 5); 8v Ò 8u = (5, 5, –5) = –8u Ò 8v
| 8u Ò 8v | = = = 5 ≈ 8,66
14 Halla el área del paralelogramo que forman los vectores 8a (7, –1, 2) y 8
b (1, 4, –2).
Área = | 8a Ò 8b | = |(–6, 16, 29)|= = ≈ 33,66 u2√1133√(–6)2 + 162 + 292
√3√3 · 25√(–5)2 + (–5)2 + 52
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
8
u
|
8
u|
1
√2
1√ 21 1√(—)2 + (—)2 + 022 2
5
3
1
√
—
14 √
—
9
8
a ·
8
b
|
8
a||
8
b|
√6
√6
(1, –1, 2)
√
——
12 + 12 + 22
√6
8
v
|
8
v|
Unidad 5. Vectores en el espacio10
15 Halla un vector perpendicular a 8u (2, 3, 1) y a 8v (–1, 3, 0) y que sea unitario.
8
u Ò 8v = (–3, –1, 9)
|8u Ò 8v | = = 
Luego el vector que buscamos es: ( , , )
16 Halla un vector ortogonal a 8u (1, –1, 0) y 8v (2, 0, 1) cuyo módulo sea .
Un vector ortogonal a 
8
u y a 
8
v es 
8
u Ò 8v .
8
u Ò 8v = , , = (–1, –1, 2)
Un vector unitario perpendicular a 
8
u y a 
8
v es:
(–1, –1, 2) = (–1, –1, 2)
Para que el módulo sea :
(–1, –1, 2) = 2(–1, –1, 2) = (–2, –2, 4)
El vector (–2, –2, 4) es perpendicular a 
8
u y a 
8
v, y su módulo es .
También cumple estas condiciones su opuesto: (2, 2, –4).
Producto mixto
17 Halla el producto mixto de los tres vectores que aparecen en cada caso:
a) 
8
u (1, –3, 2), 
8
v (1, 0, –1), 
8
w (2, 3, 0)
b) 
8
u (3, 2, 1), 
8
v (1, –2, 0), 
8
w (–4, 1, 1)
c) 
8
u (1, 2, –1), 
8
v (3, 0, 2), 
8
w (–1, 4, –4)
Calcula, en cada apartado, el volumen del paralelepípedo determinado por
los tres vectores.
a) [
8
u, 
8
v, 
8
w] = = 15
El paralelepípedo tiene un volumen de 15 u3.
b) [
8
u, 
8
v, 
8
w] = = –15
El paralelepípedo tiene un volumen de 15 u3.
|3 2 11 –2 0
–4 1 1
|
|1 –3 21 0 –1
2 3 0
|
√24
√24
√6
√24
1
√6
1
| (–1, –1, 2)|
)|1 –12 0||0 11 2||–1 00 1|(
√24
9
√91
–1
√91
–3
√91
√91√(–3)2 + (–1)2 + 92
Unidad 5. Vectores en el espacio 11
5UNIDAD
c) [
8
u, 
8
v, 
8
w] = = 0
Los tres vectores no forman un paralelepípedo (los vectores son coplanarios).
s18 Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por 8u (1, 2, 3), 
8v (–2, 1, 0) y 8w = 8u Ò 8v. 
Justifica por qué el resultado es | 8u Ò 8v |2.
•
8
w = 
8
u Ò 8v = (1, 2, 3) Ò (–2, 1, 0) = (–3, –6, 5)
[
8
u, 
8
v, 
8
w] = = 70 8 Volumen = 70 u3
• | 8u Ò 8v | = = 
[
8
u, 
8
v, 
8
w] = (
8
u Ò 8v ) · 8w = (8u Ò 8v ) · (8u Ò 8v ) = | 8u Ò 8v |2
19 Calcula el volumen del tetraedro determinado por los vectores siguientes:
8
a (3, –1, 1), 
8
b (1, 7, 2), 
8
c (2, 1, –4)
[
8
a, 
8
b, 
8
c ] = = –111 8 Volumen = · 111 = 18,5u3
s20 Calcula el valor de m para que los vectores 8u (2, –3, 1), 8v (1, m, 3) y 
8
w (–4, 5, –1) sean coplanarios.
[
8
u, 
8
v, 
8
w] = = 2m + 8 = 0 8 m = –4
Página 150
s21 Prueba que los vectores (1, a, b), (0, 1, c), (0, 0, 1) son linealmente inde-
pendientes cualesquiera que sean a, b y c.
= 1 ? 0 para cualquier valor de a, b, c.
Por tanto, son linealmente independientes.
|1 a b0 1 c
0 0 1
|
PARA RESOLVER
|2 –3 11 m 3
–4 5 –1
|
1
6|3 –1 11 7 22 1 –4|
√70√9 + 36 + 25
|1 2 3–2 1 0
–3 –6 5
|
|1 2 –13 0 2
–1 4 –4
|
Unidad 5. Vectores en el espacio12
22 Dados los vectores 8a (1, 2, –1) y 
8
b (1, 3, 0), comprueba que el vector 
8
a Ò 8b
es perpendicular a 
8
a + 
8
b y a 
8
a – 
8
b.
8
a (1, 2, –1)
8
b (1, 3, 0)
8
a +
8
b = (2, 5, –1)
8
a – 
8
b = (0, –1, –1)
8
a Ò
8
b = (3, –1, 1)
(
8
a +
8
b ) · (
8
a Ò
8
b ) = (2, 5, –1) · (3, –1, 1) = 0. Por tanto, 
8
a +
8
b 2 8a Ò
8
b
(
8
a –
8
b ) · (
8
a Ò
8
b ) = (0, –1, –1) · (3, –1, 1) = 0. Por tanto, 
8
a –
8
b 2 8a Ò
8
b
Hasta aquí, la comprobación rutinaria, numérica. Más interesante es la siguientereflexión:
Los vectores 
8
a +
8
b y 
8
a –
8
b son las dia-
gonales del paralelogramo determinado
por 
8
a y 
8
b . Por tanto, están en el plano
definido por 
8
a y 
8
b . Y el vector 
8
a Ò
8
b
es perpendicular a dicho plano.
Así, 
8
a +
8
b y 
8
a –
8
b son perpendiculares a 
8
a Ò
8
b .
23 a) Comprueba que el paralelogramo determinado por los vectores 8u (3, –2, 1)
y 
8
v (4, 3, –6) es un rectángulo.
b)Halla su área multiplicando la base por la altura y comprueba que obtie-
nes el mismo resultado si hallas | 8u Ò 8v | .
a)
8
u ·
8
v = (3, –2, 1) · (4, 3, –6) = 12 – 6 – 6 = 0. Luego 
8
u y 
8
v son perpendicula-
res, y el paralelogramo es un rectángulo.
b)
Área = ≈ 29,22 u2
Por otra parte:
| 8u Ò 8v | = |(9, 22, 17)| = ≈ 29,22 u2
24 Dado el vector 8v (–2, 2, –4), halla las coordenadas de los siguientes vecto-
res:
a) Unitario y perpendicular a 
8
v. b) Paralelos a 
8
v y de módulo 6.
a)
8
u (x, y, z) ha de cumplir –2x + 2y – 4z = 0 y ser unitario.
Por ejemplo, , , 0 .
b) (– , , –2 ) y ( , – , 2 )√6√6√6√6√6√6
)√22√22(
√854
√854°¢
£
Base = | 8u | = √
—
14
Altura = | 8v | = √
—
61
8
a
8 8
a + b
8 8
a – b
8
b
Unidad 5. Vectores en el espacio 13
5UNIDAD
25 Halla un vector ortogonal a 8u (2, 3, –1) y a 8v (1, 4, 2) cuya tercera compo-
nente sea 1.
8
u Ò 8v = (10, –5, 5) // (2, –1, 1)
El vector que buscamos es (2, –1, 1).
s26 Dados los vectores 8u1 (2, 0, 0), 
8
u2 (0, 1, –3), 
8
u3 = a
8
u1 + b
8
u2, ¿qué relación
deben cumplir a y b para que 8u3 sea ortogonal al vector 
8
v (1, 1, 1)?
8
u3 = a (2, 0, 0) + b (0, 1, –3) = (2a, b, –3b)
Para que 
8
u3 sea perpendicular a 
8
v ha de ser:
8
u3 ·
8
v = (2a, b, –3b) · (1, 1, 1) = 2a + b – 3b = 2a – 2b = 0, es decir, a = b.
s27 Calcula las coordenadas de un vector 8u que sea ortogonal a 8v (1, 2, 3) y 
8
w (1, –1, 1) y tal que [
8
u, 
8
v, 
8
w] = 19.
8
v Ò 8w = (5, 2, –3)
Un vector ortogonal a 
8
v y a 
8
w es de la forma (5k, 2k, –3k).
[
8
u, 
8
v, 
8
w] = = k = k · 38 = 19 8 k = 
Por tanto: 
8
u ( , 1, )
s28 a) Obtén l para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes:
8
u1 = (3, 2, 5), 
8
u2 = (2, 4, 7), 
8
u3 = (1, –3, l)
b) Para l = 3, expresa el vector 8v = (7, 11, 14) como combinación lineal
de 
8
u1, 
8
u2 y 
8
u3.
a) = 8l + 27 = 0 8 l = 
b) Para l = 3, tenemos que: 8u1(3, 2, 5); 
8
u2(2, 4, 7); 
8
u3(1, –3, 3)
Expresamos 
8
v como combinación lineal de 
8
u1, 
8
u2, 
8
u3:
(7, 11, 14) = a (3, 2, 5) + b (2, 4, 7) + c (1, –3, 3)
= 51|3 2 12 4 –3
5 7 3
|°§¢§
£
3a + 2b + c = 7
2a + 4b – 3c = 11
5a + 7b + 3c = 14
–27
8|3 2 52 4 71 –3 l|
–3
2
5
2
1
2|5 2 –31 2 31 –1 1||
5k 2k –3k
1 2 3
1 –1 1
|
Unidad 5. Vectores en el espacio14
a = = = 2; b = = = 1;
c = = = –1
Por tanto: 
8
v = 2
8
u1 +
8
u2 –
8
u3
s29 a) Determina los valores de a para los que resultan linealmente depen-
dientes los vectores (–2, a, a), (a, –2, a) y (a, a, –2).
b) Obtén en esos casos una relación de dependencia entre los vectores.
a) = 2a3 + 6a2 – 8 = 2(a – 1) (a + 2)2 = 0 
Para a = 1 y para a = –2, los tres vectores dados son linealmente dependientes.
b) Para a = 1, queda: (–2, 1, 1), (1, –2, 1), (1, 1, –2), y tenemos que:
–1 · (–2, 1, 1) – 1 · (1, –2, 1) = (1, 1, –2)
Para a = –2, queda: (–2, –2, –2), (–2, –2, –2), (–2, –2, –2), y tenemos que:
–1 · (–2, –2, –2) + 0 · (–2, –2, –2) = (–2, –2, –2)
s30 Dados los vectores 8u (1, –1, 2) y 8v (3, 1, –1), halla el conjunto de vectores
que, siendo perpendiculares a 
8
u, sean coplanarios con 
8
u y 
8
v.
Sea 
8
w(x, y, z) un vector tal que:
1.°) Es perpendicular a 
8
u, es decir:
(x, y, z) · (1, –1, 2) = x – y + 2z = 0
2.°) Es coplanario con 
8
u y 
8
v, es decir:
[
8
u, 
8
v, 
8
w] = = –x + 7y + 4z = 0
Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:
Sumando: 
Soluciones: (3l, l, –l) l ? 0
6z = –6y 8 z = –y
x = y – 2z = y + 2y = 3y
°
¢
£
x + 2z = y
–x + 4z = –7y
°
¢
£
x – y + 2z = 0
–x + 7y + 4z = 0
|1 –1 23 1 –1
x y z
|
a = 1
a = –2|–2 a aa –2 a
a a –2
|
–51
51
3 2 7| 2 4 11 |
5 7 14
51
51
51
3 7 1| 2 11 –3 |
5 14 3
51
102
51
7 2 1| 11 4 –3 |
14 7 3
51
Unidad 5. Vectores en el espacio 15
5UNIDAD
s31 Dados los vectores 8u (a, 1 + a, 2a), 8v (a, 1, a) y 8w (1, a, 1), se pide:
a) Halla los valores de a para los que los vectores 
8
u, 
8
v y 
8
w son linealmen-
te dependientes.
b) Estudia si el vector 
8
c (3, 3, 0) depende linealmente de 
8
u, 
8
v y 
8
w para el
caso a = 2.
c) Justifica razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad 
8
u · (
8
v Ò 8w) = 0.
a) [
8
u, 
8
v, 
8
w] = = a3 – a = a(a2 – 1) = 0 
b) Para a = 2, los vectores 
8
u, 
8
v y 
8
w son linealmente independientes. Como son
tres vectores de Á3 linealmente independientes, forman una base de Á3. 
Así, cualquier otro vector, y, en particular 
8
c(3, 3, 0), depende linealmente de
ellos.
Obtenemos la combinación lineal:
Para a = 2, tenemos que: 
8
u(2, 3, 4), 
8
v(2, 1, 2), 
8
w(1, 2, 1)
(3, 3, 0) = x (2, 3, 4) + y (2, 1, 2) + z (1, 2, 1)
= 6
x = = = ;
y = = = ;
z = = = 3
Por tanto:
8
c = 
8
u + 
8
v + 3
8
w
c)
8
u · (
8
v Ò 8w) = [8u, 8v, 8w] = 0 para a = 0. Está probado en el apartado a).
3
2
–3
2
18
6
2 2 3| 3 1 3 |
4 2 0
6
3
2
9
6
2 3 1| 3 3 2 |
4 0 1
6
–3
2
–9
6
3 2 1| 3 1 2 |
0 2 1
6
|2 2 13 1 2
4 2 1
|°§¢§
£
2x + 2y + z = 3
3x + y + 2z = 3
4x + 2y + z = 0
a = 0
a = 1
a = –1
|a 1 + a 2aa 1 a
1 a 1
|
Unidad 5. Vectores en el espacio16
s32 a) Halla el número de vectores linealmente independientes que hay en el
conjunto S = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (2, 0, –3), (–1, 1, 2)}.
b) Un vector no nulo tiene sus tres componentes iguales. ¿Puede escribirse
como combinación lineal de los dos primeros vectores de S?
c) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes igua-
les a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo
y tercero de S.
a) Tenemos que hallar el rango de la matriz:
M = Como = –8 ? 0, ran (M) = 3.
Por tanto, hay tres vectores linealmente independientes en S.
b) Sí. Si tiene sus tres componentes iguales y es no nulo, es de la forma: 
8
u = (k, k, k)
con k ? 0. Entonces, podemos obtenerlo a partir de los dos primeros vectores
de S como sigue:
8
u = k · (1, 1, 1) + 0 · (0, 2, 1)
c) Sea 
8
v(1, 1, x) el vector que buscamos. Para que se pueda poner como combi-
nación lineal de los vectores segundo y tercero de S, tenemos que:
(1, 1, x) = a (0, 2, 1) + b (2, 0, –3)
Debe tener solución: 
Por tanto, el vector es 
8
v (1, 1, –1).
s33 Halla un vector 8u de la misma dirección que 8v (1, –2, 3) y tal que deter-
mine con el vector 
8
w (–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u2.
Si 
8
u es de la misma dirección que 
8
v (1, –2, 3), será de la forma 
8
u(x, –2x, 3x),
con x ? 0.
Para que forme con 
8
w(–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u2, ha de ser:
| 8u Ò 8w | = |(–10x, –5x, 0)| = = |x | = 25;
es decir: 125x2 = 625 8 x2 = 5 8 x = ±
Por tanto, hay dos soluciones: ( , –2 , 3 ) y (– , 2 , –3 )√5√5√5√5√5√5
√5
√125√100x2 + 25x2
1 1
b = —, a = —
2 2
1 3 –2
— – — = x 8 x = — = –1 8 x = –1
2 2 2
°
§
¢
§
£
2b = 1
2a = 1
a – 3b = x
|1 1 10 2 1
2 0 –3
|)1 1 10 2 12 0 –3
–1 1 2
(
Unidad 5. Vectores en el espacio 17
5UNIDAD
s34 Halla un vector 8v coplanario con 8a (2, –1, 1) y 
8
b (1, 0, 3) y ortogonal a 
8
c
(2, 3, 0).
Sea 
8
v (x, y, z) tal que:
1.°) es coplanario con 
8
a y 
8
b, es decir:
= –3x – 5y + z = 0
2.°) es ortogonal a 
8
c, es decir: (x, y, z) · (2, 3, 0) = 2x + 3y = 0
Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:
Soluciones: (–3l , 2l , l ) (l ? 0)
Todos los vectores de esta forma cumplen las condiciones. Por ejemplo, para
l = 1, tenemos el vector (–3, 2, 1).
s35 Sean 8a y 
8
b tales que |8a | = 4 y |
8
b | = 2, con ( ) = 60°.Calcula | 8a + 
8
b | y | 8a – 
8
b |.
|8a + 
8
b |2 = (8a + 
8
b) · (
8
a + 
8
b) = 
8
a ·
8
a + 
8
b ·
8
b + 2
8
a ·
8
b = 
= | 8a |2 + |
8
b |2 + 2 · | 8a | · |
8
b | · cos ( ) =
= 16 + 4 + 2 · 4 · 2 · cos 60° = 16 + 4 + 8 = 28 8 |8a + 
8
b | = = 2
Por otra parte:
|8a – 
8
b |2 = (8a – 
8
b) · (
8
a – 
8
b) = 
8
a ·
8
a + 
8
b ·
8
b – 2
8
a ·
8
b =
= | 8a |2 + |
8
b |2 – 2 · | 8a | · |
8
b | · cos ( ) =
= 16 + 4 – 8 = 12 8 |8a – 
8
b | = = 2
s36 De dos vectores 8u y 8v sabemos que son ortogonales y que |8u | = 6 y |8v | = 10.
Halla | 8u + 8v | y | 8u – 8v |.
Si 
8
u y 
8
v son ortogonales, entonces 
8
u ·
8
v = 0. Así:
| 8u + 8v |2 = (8u + 8v ) · (8u + 8v ) = 8u · 8u + 8v · 8v + 28u · 8v = 
= | 8u | 2 + |8v | 2 + 0 = 36 + 100 = 136 8 |8u + 8v | = ≈ 11,66
| 8u – 8v |2 = (8u – 8v ) · (8u – 8v ) = 8u · 8u + 8v · 8v – 28u · 8v = 136 8
8 |8u – 8v | = ≈ 11,66√136
√136
√3√12
ì
8
a, 
8
b
√7√28
ì
8
a, 
8
b
ì
8
a, 
8
b
9 1
z = 5y + 3x = 5y – — y = –– y
2 2
3
x = – — y
2
°
§
§
¢
§
§
£
–3x + z = 5y
2x = –3y
°
¢
£
–3x – 5y + z = 0
2x + 3y = 0
|x y z2 –1 1
1 0 3
|
Unidad 5. Vectores en el espacio18
Observación: Si 
8
u 2 8v , entonces forman los lados de un rectángulo con base y
altura | 8u | y | 8v |. En este caso, 8u + 8v y 8u – 8v son sus diagonales, que tienen
el mismo módulo (por tratarse de un rectángulo). Además, para hallar la longitud
de la diagonal, podemos aplicar en este caso el teorema de Pitágoras:
x2 = 102 + 62 8 x2 = 136 8 x = ≈ 11,66
s37 Calcula el ángulo que forman 8a y 
8
b sabiendo que | 8a | = 3, |
8
b | = 5 y 
| 8a + 
8
b | = 7.
Puesto que |8a + 
8
b | 2 = (8a + 
8
b ) · (
8
a + 
8
b ), empecemos desarrollando esta expresión:
| 8a + 
8
b | 2 = (8a + 
8
b ) · (
8
a + 
8
b ) = 
8
a ·
8
a +
8
a ·
8
b +
8
b ·
8
a +
8
b ·
8
b =
= | 8a | 2 + |
8
b | 2 + 2(8a ·
8
b )
Sustituimos | 8a + 
8
b | , | 8a | y |
8
b | por sus valores, y 8a ·
8
b por su expresión,
8
a ·
8
b = | 8a | |
8
b | cos ( ):
72 = 32 + 52 + 2 · 3 · 5cos ( )
cos ( ) = 8 ( ) = 60°
Veamos otra forma de resolverlo, basada en la resolución de triángulos aprendida
en 1.° de Bachillerato:
Aplicamos el teorema del coseno a este triángulo:
72 = 32 + 52 – 2 · 3 · 5cos a 8
8 cos a = = – 8 a = 120°
Observamos que el ángulo buscado es el suplementario de a:
( ) = 180° – a = 180° – 120° = 60°
8
a
8
a
8
b
8
b
a
ì
8
a, 
8
b
8
a
8
b
3
7
5
a
1
2
72 – 32 – 52
–2 · 3 · 5
ì
8
a, 
8
b
1
2
ì
8
a, 
8
b
ì
8
a, 
8
b
ì
8
a, 
8
b
10
6
x √136
Unidad 5. Vectores en el espacio 19
5UNIDAD
38 De los vectores 8u y 8v sabemos que cumplen 8u + 8v = 8a, 28u – 83v = 
8
b, siendo
8
a (2, –1, 0) y 
8
b (1, 3, –1). Halla el ángulo formado por 
8
u y 
8
v.
El ángulo formado por 
8
u y 
8
v coincide con el ángulo formado por 
8
u' = 5
8
u y 
8
v' = 5
8
v:
8
u' = (7, 0, –1); 
8
v' = (3, –5, 1)
8
u' ·
8
v' = 20
| 8u' | = ; | 8v' | = 
cos ( ) = = = 0,4781
( ) = ( ) = 61° 26' 21''
39 Los vectores 8u, 8v y 8w cumplen las siguientes condiciones:
|8u | = 5, |8v | = 4, |8w | = 7, 8u + 8v + 8w = 80
Calcula 
8
u · 
8
v +
8
u · 
8
w + 
8
v · 
8
w.
☛ Desarrolla el siguiente producto escalar:
(
8
u +
8
v +
8
w) · (
8
u +
8
v +
8
w)
Desarrollando el producto escalar indicado:
(
8
u +
8
v +
8
w) · (
8
u +
8
v +
8
w) = |8u | 2 + |8v |2 + |8w |2 + 2(8u · 8v) + 2(8u · 8w) + 2(8v · 8w)
Por otra parte: (
8
u +
8
v +
8
w) · (
8
u +
8
v +
8
w) = 
8
0 ·
8
0 = 0
Así: 52 + 42 + 72 + 2(
8
u ·
8
v +
8
u ·
8
w +
8
v ·
8
w) = 0
8
u ·
8
v +
8
u ·
8
w +
8
v ·
8
w = – = –45
Página 151
40 Si 8u · 8v = 8u · 8w, ¿podemos asegurar que 8v = 8w?
No. Por ejemplo, si 
8
u(3, –2, 0), 
8
v(5, 1, 0) y 
8
w(7, 4, 0), tenemos que:
8
u ·
8
v = 
8
u ·
8
w
Sin embargo, 
8
v ? 8w.
°
¢
£
8
u ·
8
v = 15 – 2 = 13
8
u ·
8
w = 21 – 8 = 13
CUESTIONES TEÓRICAS
90
2
ì
8
u', 
8
v'
ì
8
u, 
8
v
20
√
—
50 √
—
35
8
u' ·
8
v'
|
8
u'||
8
v'|
ì
8
u', 
8
v'
√35√50
2
8
u + 2
8
v = 2
8
a
–2
8
u + 3
8
v = –
8
b
5
8
v = 2
8
a – 
8
b
3
8
u + 3
8
v = 3
8
a
2
8
u – 3
8
v = 
8
b
5
8
u = 3
8
a + 
8
b
°
¢
£
8
u + 
8
v = 
8
a
2
8
u – 2 
8
v = 
8
b
Unidad 5. Vectores en el espacio20
41 Prueba, utilizando el producto escalar, que si 8a 2 
8
b y 
8
a 2 8c entonces 
8
a 2 (m
8
b + n
8
c ).
8
a 2
8
b 8 8a ·
8
b = 0
8
a 2 8c 8 8a · 8c = 0
Para demostrar que 
8
a 2 (m
8
b + n
8
c ), tenemos que probar que su producto 
escalar es cero:
8
a · (m
8
b + n
8
c ) = m
8
a ·
8
b + n
8
a ·
8
c = m · 0 + n · 0 = 0
Por tanto, 
8
a 2 (m
8
b + n
8
c ).
42 Demuestra que si 8a y 
8
b son dos vectores no nulos que tienen el mismo
módulo, entonces 
8
a +
8
b y 
8
a – 
8
b son ortogonales.
Supongamos que | 8a | = |
8
b | ? 0, entonces:
(
8
a + 
8
b) · (
8
a – 
8
b) = 
8
a ·
8
a + 
8
a ·
8
b – 
8
a ·
8
b – 
8
b ·
8
b = | 8a |2 – |
8
b |2 = 0 (pues | 8a | = |
8
b |)
Observación: Si recordamos que 
8
a + 
8
b y 
8
a – 
8
b son las diagonales del parale-
logramo determinado por 
8
a y 
8
b, hemos probado que las diagonales de un 
rombo son perpendiculares.
43 a) ¿Puede haber dos vectores 8u y 8v tales que 8u · 8v = 3, | 8u | = 1, | 8v | = 2?
b) Si dos vectores verifican |8u · 8v | = |8u | |8v |, ¿qué puedes decir del ángulo que
forman?
a)
8
u ·
8
v = | 8u | | 8v | cos ( ) = 1 · 2 · cos ( ) = 2 cos ( ) = –3 8
8 cos ( ) = – > 1 Imposible.
Luego no existen dos vectores que cumplan estas condiciones.
b) Si | 8u | | 8v | = | 8u · 8v | 8 |8u | | 8v | = 8
8
Por tanto, 
8
u y 
8
v tienen la misma dirección.
44 Justifica por qué el producto mixto de los vectores 8a, 
8
b y 
8
a + 
8
b es igual a
0 cualesquiera que sean 
8
a y 
8
b.
Los vectores 
8
a, 
8
b y 
8
a + 
8
b son coplanarios; luego el volumen del paralelepípedo
determinado por ellos (que coincide con su producto mixto en valor absoluto) es
cero.
| 8u | | 8v |= | 8u | | 8v | cos (8u, 8v ) 8 cos (8u, 8v ) = 1 8 (8u, 8v ) = 0°
| 8u | | 8v |=–| 8u | | 8v | cos (8u, 8v ) 8 cos (8u, 8v ) = –1 8 (8u, 8v ) = 180°
°
§
¢
§
£
+ | 8u | | 8v | cos (8u, 8v )
– | 8u | | 8v | cos (8u, 8v )
3
2
ì
8
u, 
8
v
ì
8
u, 
8
v
ì
8
u, 
8
v
ì
8
u, 
8
v
Unidad 5. Vectores en el espacio 21
5UNIDAD
45 Dados los vectores 8a (1, –2, 3), 
8
b (3, 1, 1), 
8
c (–2, 0, 1), comprueba que:
a) 
8
a Ò (
8
b + 
8
c ) = 
8
a Ò 
8
b + 
8
a Ò 8c
b) (
8
a Ò 
8
b) Ò 8c ? 8a Ò (
8
b Ò 8c )
a) 
8
a Ò (
8
b + 
8
c ) = (1, –2, 3) Ò (1, 1, 2) = (–7, 1, 3)
8
a Ò 
8
b + 
8
a Ò 8c = (–5, 8, 7) + (–2, –7, –4) = (–7, 1, 3)
b) (
8
a Ò 
8
b) Ò 8c = (–5, 8, 7) Ò (–2, 0, 1) = (8, –9, 16)
8
a Ò (
8
b Ò 8c ) = (1, –2, 3) Ò (1, –5, 2) = (11, 1, –3)
46 Si 8a Ò 
8
b = 
8
a Ò 8c, ¿es 
8
b = 
8
c necesariamente? Pon ejemplos.
No. Por ejemplo, si consideramos 
8
a(1, 2, 3), 
8
b(2, 4, 6) y 
8
c(3, 6, 9), entonces:
8 8a Ò 
8
b = 
8
a Ò 8c, pero 
8
b ? 8c.
s47 Sean 8a, 
8
b, 
8
c tres vectores linealmente independientes. Indica razonada-
mente cuál o cuáles de los siguientes productos mixtos valen 0:
[
8
a + 
8
c, 
8
a – 
8
c, 
8
a + 
8
b + 
8
c ], [
8
a + 
8
c, 
8
b, 
8
a + 
8
b ], [
8
a – 
8
c, 
8
c – 
8
b, 
8
b – 
8
a ]
Puesto que 
8
a, 
8
b, y 
8
c son L.I., los tomamos como base. Por tanto:
8
a +
8
c = (1, 0, 1); 
8
a – 
8
c = (1, 0, –1); 
8
a +
8
b +
8
c = (1, 1, 1)
[
8
a + 
8
c, 
8
a – 
8
c, 
8
a + 
8
b + 
8
c ] = = 1 ? 0. Son L.I.
Análogamente:
[
8
a + 
8
c, 
8
b, 
8
a + 
8
b ] = = –1 ? 0. Son L.I.
[
8
a – 
8
c, 
8
c – 
8
b, 
8
b – 
8
a ] = = 0. Son L.D.
Interpretación geométrica de este último resultado:
Los vectores 
8
a – 
8
c, 
8
c – 
8
b, 
8
b – 
8
a son
los lados del triángulo cuyos vértices
son los extremos de 
8
a , 
8
b y 
8
c cuan-do los situamos con origen común. Por
tanto, 
8
a – 
8
c, 
8
c – 
8
b y 
8
b – 
8
a son co-
planarios.
8
b
8
a
8
c
8 8
b – a
8 8
c – b
8 8
a – c
|1 0 –10 –1 1
–1 1 0
|
|1 0 10 1 0
1 1 0
|
|1 0 11 0 –1
1 1 1
|
°
¢
£
8
a Ò 
8
b = 
8
0
8
a Ò 8c = 
8
0
Unidad 5. Vectores en el espacio22
48 “Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto”.
Para demostarlo, llamamos H al punto en que se cortan dos alturas, AHA
y BHB. Da los pasos que se indican a continuación:
a) Justifica que 
b)De las igualdades anteriores se llega a:
8
HC · (
8
HB – 
8
HA) = 0
y de aquí se concluye que 
8
HC 2 AB y, por tanto, que las tres alturas se
cortan en H. (Justifica las afirmaciones anteriores).
a)
8
HC – 
8
HB = 
8
BC; y, como AHA es la altura correspondiente al lado BC, entonces:
8
BC 2 
8
AHA 8
8
BC 2 
8
HA 8
8
HA · 
8
BC = 0 8
8
HA · (
8
HC – 
8
HB ) = 0
Análogamente, como 
8
HC – 
8
HA = 
8
AC, tenemos que: 
8
HB · (
8
HC – 
8
HA) = 0
b)
8
HC · (
8
HB – 
8
HA) = 
8
HC ·
8
HB – 
8
HC ·
8
HA = 
8
HB ·
8
HC – 
8
HA ·
8
HC =
(1)
= 
8
HB ·
8
HC – 
8
HA ·
8
HB = 
8
HB · (
8
HC – 
8
HA) =
(2) 
0
(1) 
8
HA ·
8
HC – 
8
HA ·
8
HB = 0 8
8
HA ·
8
HC = 
8
HA ·
8
HB
(2) 
8
HB · ( 
8
HC – 
8
HA) = 0
Por tanto, si 
8
HC · (
8
HB – 
8
HA) = 0, como 
8
HB – 
8
HA = 
8
AB, entonces 
8
HC 2
8
AB;
luego H también pertenece a la altura correspondiente al vértice C. Así, las
tres alturas se cortan en el mismo punto, H.
8
HA · (
8
HC – 
8
HB) = 0
8
HB · (
8
HC – 
8
HA) = 0
°
¢
£
C
BA
HB
HA
H
PARA PROFUNDIZAR
Unidad 5. Vectores en el espacio 23
5UNIDAD
Página 151
AUTOEVALUACIÓN
1. a) Halla el valor de m para el cual 8u(1, 2, –1), 8v(0, 1, 2) y 8w(–1, m, 3) son
linealmente dependientes.
b)Obtén, en este caso, una relación de dependencia entre 
8
u, 
8
v y 
8
w.
a) Para que 
8
u, 
8
v y 
8
w sean L.D., el rango de la matriz que forman ha de ser me-
nor que 3. Así:
M = 
|M | = –2 – 2m = 0 8 m = –1
Si m = –1, los vectores 
8
u, 
8
v y 
8
w son L.D.
b) Sea 
8
u = a8v + b8w 8 (1, 2, –1) = a(0, 1, 2) + b(–1, –1, 3) 8
8
Así, 
8
u = 
8
v – 
8
w.
2. 8u(3, –2, √
—
3), 
8
v(4, –2, –4). Halla |8u |, |8v |, ( ) y el vector proyección de 8u
sobre 
8
v.
• | 8u | = = = = 4
• | 8v | = = = = 6
• cos ( ) = = =
= = = = 0,3780
( ) = arc cos (0,3780) = 67° 47' 26''
• Vector proyección de 
8
u sobre 
8
v :
8
u = (4, –2, –4) = 1 – (4, –2, –4))√34(16 – 4√316
8
u ·
8
v
|
8
u|2
ì
8
u, 
8
v
4 – √3
6
16 – 4√3
24
12 + 4 – 4√3
24
3 · 4 + (–2) · (–2) + (–4) · √3
4 · 6
8
u ·
8
v
|
8
u|·|
8
v|
ì
8
u, 
8
v
√36√16 + 4 + 16√42 + (–2)2 + (–4)2
√16√9 + 4 + 3√32 + (–2)2 + (√—3)2
ì
8
u, 
8
v
b = –1
a = 1
°
§
¢
§
£
1 = –b
2 = a – b
–1 = 2a + 3b
)1 2 –10 1 2–1 m 3(
Unidad 5. Vectores en el espacio24
3. Dados los vectores 8u(3, –4, 0) y 8v(m, 0, 7):
a) Halla m para que los vectores 
8
u y 
8
v sean perpendiculares.
b)Halla un vector 
8
w perpendicular a 
8
u y a 
8
v.
c) Obtén tres vectores unitarios. 
8
u', 
8
v', 
8
w', que tengan, respectivamente, la mis-
ma dirección que
8
u, 
8
v y 
8
w.
d)¿Forman 
8
u', 
8
v' y 
8
w' una base ortonormal?
a) Como | 8u | ? 0 y | 8v | ? 0, 8u 2 8v ï 8u · 8v = 0
8
u ·
8
v = 3m + (–4) · 0 + 0 · 7 = 3m = 0 8 m = 0
Así, 
8
v(0, 0, 7).
b)
8
w = 
8
u Ò 8v es perpendicular a 8u y a 8v.
8
w = (3, –4, 0) Ò (0, 0, 7) = (–28, –21, 0)
c) | 8u | = = = 5
| 8v | = 7
| 8w| = 7 = 7 = 7 · 5 = 35
Sean:
8
u' = (3, –4, 0)
8
u' , , 0 //
8
u
8
v' = (0, 0, 7)
8
v'(0, 0, 1) // 
8
v
8
w' = (–28, –21, 0)
8
w' – , – , 0 // 
8
w
8
u', 
8
v', 
8
w' tienen módulo 1.
d) (
8
u', 
8
v', 
8
w') no son coplanarios al ser perpendiculares entre sí. Por tanto, forman
una base.
Por ser perpendiculares entre sí y, además, unitarios, la base (
8
u', 
8
v', 
8
w') es 
ortonormal.
4. Halla el área del triángulo determinado por los vectores 8u(5, –1, 3) y 8v(4, 0, 7).
Área = | 8u Ò 8v | = | (–7, –23, 4)| = = = 12,2 u2
5. Halla el volumen del tetraedro determinado por los vectores:
8
u(5, –1, 3), 
8
v(4, 0, 7), 
8
w(–2, 6, 3)
Volumen = · valor absoluto de = |–112| = = 18,7 u3
56
3
1
6)|5 –1 34 0 7–2 6 3|(16
√5941
2
√(–7)2 + (–23)2 + 421
2
1
2
1
2
)3545(135
1
7
)–4535(15
√25√(–4)2 + (–3)2 + 02
√25√32 + (–4)2 + 02
Unidad 5. Vectores en el espacio 25
5UNIDAD
6. Halla un vector de módulo 10 que sea perpendicular a (3, –1, 0) y forme un án-
gulo de 60° con (0, 0, 1).
Llamamos (x, y, z) al vector buscado:
• Su módulo es 10 8 = 10 8 x2 + y2 + z2 = 100
• Es perpendicular a (3, –1, 0) 8 3x – y = 0
• Forma un ángulo de 60° con (0, 0, 1) 8
8 = cos 60° 8 = 8 2z = 10 8 z = 5
Así:
Sustituyendo la 3.a y 2.a ecuación en la 1.a:
x2 + 9x2 + 25 = 100 8 10x2 = 75 8 x = ±
Soluciones: , 3 , 5 y – , –3 , 5)15√ 215√ 2()15√ 215√ 2(
15√ 2
x2 + y2 + z2 = 100
y = 3x
z = 5
°
§
¢
§
£
x2 + y2 + z2 = 100
3x – y = 0
z = 5
1
2
z
1 · 10
(0, 0, 1) · (x, y, z)
| (0, 0, 1)| · | (x, y, z)|
√x2 + y2 + z2
Unidad 5. Vectores en el espacio26
<<
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