Teoría Combinatoria_ab9bf9e249867d6f163a7c04a9e4cfb1 - Kevin Martínez

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109 
COMBINATORIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4: COMBINATORIA 
 
 
 
TEMARIO 
 
 4.1 SUCESIONES 
4.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 
4.3 FUNCIÓN FACTORIAL 
4.4 NÚMEROS COMBINATORIOS 
4.5 POTENCIA DE UN BINOMIO 
4.6 COMBINATORIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO 
 
Lograr que el alumno: 
Domine los conceptos básicos del Cálculo Combinatorio. 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 
 
 
4 
 
 
110 
4.1 SUCESIONES 
 
4.1.1 Definición 
 
Una sucesión es una función definida de N→R que se acostumbra a denotar por na en lugar 
de 𝑓(𝑛) así, ∀ Nn , na ∈ R, entonces el conjunto de números reales enumerados: 
,...,...,, 21 naaa se denomina sucesión numérica o simplemente sucesión. 
Los números na se denominan elementos o términos de la sucesión. Así el primer término de 
la sucesión es 1a , el segundo término es 2a , su k-ésimo término es ka el siguiente término de 
ka es ak+1 también llamado sucesor, el anterior al k-ésimo término es ak-1 también llamado 
antecesor y así sucesivamente. 
Con na se representa el término de la sucesión que ocupa el lugar n o simplemente el n-ésimo 
término de la sucesión. 
 
Nota: Una manera muy conveniente para definir de forma abreviada una sucesión es 
utilizando el término n-ésimo encerrado entre llaves, es decir:  na 
 
 
E.1 Ejercicios 
 
Dada la sucesión ,...,,
3
1
2
1
1 
a) Determinar el k-ésimo término, su siguiente y el anterior término. 
b) Probar que 
( )1
1
1
+
=− +
kk
aa kk 
c) Calcular 11 +− naa 
 
 
 
 
 
a) 
1
1
1
11
11
−
=
+
== −+
k
a,
k
a,
k
a kkk 
 
b) 
( ) ( )1
1
1
1
1
11
1
+
=
+
−+
=
+
−=− +
kkkk
kk
kk
aa kk 
 
c) 
11
1
1
1
11
+
=
+
−=− +
n
n
n
aa n 
 
 
 
 
111 
4.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 
 
4.2.1 Símbolo de Sumatoria 
 
En ciertos casos se presenta sumar las imágenes de sucesiones con dominios en N, es decir, 
sumar términos que se obtiene de una regla o fórmula general donde interviene como variable 
un número natural. 
Para no presentar todos los términos de esa suma, que pueden ser infinitos, se simplifica 
utilizando el símbolo de sumatoria  . 
Por ejemplo, para indicar la suma: a 1+ a2 + a 3+ a4 + a5 escribimos 
=
5
1i
ia . 
La notación 
=
n
i
ia
1
significa la suma abreviada de los n términos: 
a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an y se lee: “sumatoria de ai con i variando desde 1 a n”. La letra griega 
mayúscula sigma,  , indica una suma, y el símbolo ai representa el i-ésimo término, la letra i 
es el índice de sumatoria, o variable de sumatoria, y los números 1 y n los valores mínimos y 
máximos de la variable de sumatoria, respectivamente. 
Ejemplos: 
 
91362516941654321 222222
6
1
2 =++++++=+++++=
=i
i 
 
)12(..........531)12(
1
−++++=−
=
nk
n
k
 (Suma de los primeros naturales impares). 
 
 
4.2.2 Propiedades 
 
1. La sumatoria de términos formados por la suma de dos o más sucesiones es igual a la 
suma de las sumatorias de los términos de cada una de las sucesiones. 
 

===
+=+
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba
111
)( 
 
2. La sumatoria de términos con un factor común es igual al producto del factor común 
por la sumatoria de los términos que resulta de suprimir ese factor común. 
 

==
=
n
i
i
n
i
i akka
11
; k es constante 
 
 
 
 
 
112 
E.2 Ejercicios 
 
Determinar el resultado de las siguientes sumas: 
 
a) 




+=

1
5
0 i
i
i
 b)
1
2
15
1
−






=

k
k
 
 
 
 
 
 
a)
20
71
60
213
60
50484540300
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
5
0
==+++++=+++++=




+=

i
i
i
 
 
b) =



+



+



+



+



=
−





=

4
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
1
0
2
1
1
2
1
5
1
k
k
 
 
 
16
31
16
124816
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1 =++++=++++= 
 
 
 
 
Para hallar el resultado de la suma utilizar el comando Evaluate . 
 
a)
20
71
1
5
0
=




+=

i
i
i
 b)
16
31
1
2
15
1
=
−






=

k
k
 
 
 
4.2.3 Principio de Inducción Matemática 
 
Se entiende por inducción la generalización de conceptos a partir de casos o hechos 
particulares. En matemática se usa un método especial de prueba llamado inducción 
matemática para probar ciertos tipos de afirmaciones. 
Una forma de enunciarlo es la siguiente: Sea P(x) una función proposicional donde “P” 
representa una determinada propiedad y la variable “x” representa un número natural. Si esta 
propiedad se cumple para el número 1, y supuesta que se cumple para un número natural “h”, 
se demuestra que se cumple para el siguiente de “h” o sea “h+1”, entonces dicha propiedad es 
válida para todos los números naturales. 
 
 
113 
En símbolos: 
a) P(1) es verdadera 
b) Si P(h) es verdadera, implica que P(h+1) también es verdadera, entonces la 
propiedad es válida para todos los números naturales. 
 
 
Por ejemplo: La suma de “n” números naturales consecutivos está dada por el semiproducto de 
“n” por su sucesor. 
T) 
2
)1(
...........321
+
=++++
nn
n 
D) 
a) Si n =1, entonces es: 
11
2
)11(1
1 =
+
= 
El primer miembro contiene sólo el número 1 y el segundo miembro es 
( )
2
111 +
, que también 
es igual a 1, por lo tanto, P(1) es verdadero. 
 
b) Supongamos que se cumple para n=h. Así la hipótesis de inducción es: 
 
2
)1(
...321
+
=++++
hh
h 
 
Nuestra meta es demostrar que P(h+1) es verdadero, es decir, que: 
 
 
2
1)1()1(
)1(...321
+++
=++++++
hh
hh 
Podemos demostrar que la última fórmula es verdadera si volvemos a escribir el primer 
miembro y usamos la hipótesis de inducción de esta forma: 
 
)1()...321()1(...321 ++++++=++++++ hhhh agrupando los h primeros términos 
 
)1(
2
)1(
 ++
+
= h
hh
 por la hipótesis de inducción 
 
2
)1(2)1(
 
+++
=
hhh
 sumando términos 
 
2
)2)(1( ++
=
hh
 factorizando 
 
 
2
1)1()1( +++
=
hh
 
 
 
 
114 
De donde: 
 
 
2
1)1()1(
)1(...321
+++
=++++++
hh
hh 
 
Lo cual necesitábamos demostrar. 
 
Luego la propiedad se cumple también para (h+1). De a) y b) por el principio de inducción 
matemática la propiedad es válida para todo número natural. 
 
 
E.3 Ejercicios 
 
Demostrar por inducción matemática: 
 
a)
( )
4
1
1
22
3 +=
=

nn
i
n
i
 b) 11
1
−+=
=
 )!n(!i.i
n
i
 
 
 
 
 
a) 
( )
4
1
1
22
3 +=
=

nn
i
n
i
 
 
i) Si 1=n 
 
 ( ) 1 para válidaes propiedad La 
1
4
111
 miembro Segundo
11 miembroPrimer 
22
3
=




=
+
=
n 
 
ii) ''Suponiendo ''que vale para n=h (hipótesis inductiva) 
 
( )
4
1
1
22
3 +=
=

hh
i
h
i
 
 
Demostraremos que vale para .1+= hn 
 
 
 
 
 
 
 
115 
Sumando a ambos miembros 
3)1( +h se tiene: 
( )
( )
( )3
22
33 1
4
1
1
1
++
+
=++
=
 h
hh
hi
h
i
 
 
( )
( )3
22
3 1
4
11
1
++
+
=
+
=
 h
hh
i
h
i
 
 
 
( ) ( )
4
1411
1
322
3 +++=
+
=

hhh
i
h
i
 
 
 
( ) ( )
4
4411
1
22
3 +++=
+
=

hhh
i
h
i
 Factoreando 
 
 
( ) ( )
4
211
1
22
3 ++=
+
=

hh
i
h
i
 o bien 
( ) ( )
4
1111
1
22
3 


 +++
=
+
=

hh
i
h
i
 
 
Esto último prueba que vale para 1+h . Luego de i) y ii) por principio de inducción 
matemática la propiedad es válida para todo número natural n. 
 
 
 
 
 
b) 1)!1(!.
1
−+=
=
 nii
n
i
 
 
i) Si 1=n 
 
1 para válidaes propiedad La 
11)!-1(1 miembro Segundo 
1!1.1 miembroPrimer 
=



=+
=
n 
 
ii) ''Suponemos ''que es válida para n=h (hipótesis inductiva) 
 
1)!1(!
1
−+=
=
hii
h
i
 
 
Demostraremos que vale para 1+= hn 
 
 
 
116 
Sumando a ambos miembros )!1)(1( ++ hh 
( )( ) 1)!1(!1 1!
1
−+=+++
=
hhhii
h
i
+ )!1)(1( ++ hh 
 
 )!1)(1(1)!1(!1
1
+++−+=
+
=
hhhii
h
i
 
 
Sacando factor común del primer y tercer término del segundo miembro tenemos: 
 
   1)1(1)!1(!
1
1
−+++=
+
=
hhii
h
i
 
 
 1)2()!1(!
1
1
−++=
+
=
hhii
h
i
 
 
Por definición de factorial, el segundo miembro es igual a: 1 )!2( −+h . Luego: 
 
   1!1)1(!
1
1
−++=
+
=
hii
h
i
 
 
Queda demostrado que se cumple para 1+= hn , o sea que la propiedad es válida cualquiera 
sea .n 
 
 
 
 
 
Para demostrar estas identidades, desarrollar la suma del primer miembro utilizando el 
comando Evaluate y observar si es igual a la expresión del segundo miembro. En el caso 
de que sea necesario utilizar el comando Factor del menú Maple. 
 
 
 
4.3 FUNCIÓN FACTORIAL 
 
Función factorial es la aplicación: ! )(/: 0 xxff =→ NN 
Se lee: “factorial de x” o “x factorial”. 
 
Definida por: 
 
a) 0!=1 
b) (n+1)!=(n+1)n! 
 
 
117 
De acuerdo a esto resulta: 
 
0!=1 
1!=1.0!=1.1=1 
2!=2.1!=2.1=2 
3!=3.2!=3.2.1=6 
 
( ) ( ) ( ) 1.2.3 ... 2 1 ! 1 ! −−=−= nnnnnn o sea ( )nnn 1 ...3.2.1! −= 
 
En general el factorial de un número 1n es igual al producto de los n primeros números 
naturales a partir de 1. 
 
Nota: la función factorial no es inyectiva pues 0 y 1 tienen la misma imagen. Tampoco es 
sobreyectiva ya que existen números naturales que no se identifican con el factorial de ellos, 
tal es el caso de 7, que carece de preimagen en N0. 
 
 
4.4 NÚMEROS COMBINATORIOS 
 
4.4.1 Definición 
 
Sean m y n números enteros y no negativos, llamaremos número combinatorio de numerador 
m y denominador n, con mn  , al símbolo 





n
m
, definido por: 
!)!(
!
nnm
m
n
m
−
=





 
 
 
Ejemplo: 
 
56
1.2.3!.5
!5.6.7.8
!3!.5
!8
3
8
===





 
 
 
Observación: Otra forma de expresar es: 
 
!
)1)...(2)(1(
n
nmmmm
n
m +−−−
=





 
 
En efecto: multiplicando numerador y denominador de la expresión dada por (m-n)!: 
 
)!(!
1.2)...1)()(1)...(1( 
)!(!
)!)(1)...(2)(1( 
nmn
nmnmnmmm
nmn
nmnmmmm
n
m
−
−−−+−−
=
−
−+−−−
=





 
 
Pero el numerador es el producto de “m” factores decrecientes a partir de “m”, o sea m! 
 
 
118 
Luego: 
 
)!(!
!
nmn
m
n
m
−
=





 Con lo que queda demostrado que las dos expresiones son equivalentes. 
 
 
4.4.2 Casos Particulares 
 
Para Nm se cumple: 
 
a) ==
−
=





1!
!
!0)!0(
!
0 m
m
m
mm
1 
 
b) 1
!!0
!
!)!(
!
==
−
=





m
m
mmm
m
m
m
 
 
c) m
m
mm
m
mm
=
−
−
=
−
=





!1)!1(
)!1( 
!1)!1(
!
1
 
 
d) 
 
m
m
mm
mmm
m
m
m
=
−
−
=
−−−
=





− )!1(!1
)!1( 
)!1(! )1(
!
1
 
 
 
4.4.3 Números Combinatorios de Órdenes Complementarios 
 
Dos números combinatorios son complementarios cuando tienen igual numerador y la suma de 
sus denominadores es igual al numerador. 
 
Ejemplo: 
 






n
m
 y 





− nm
m
 son complementarios pues: ( ) mnmn =−+ 
 
 
Otro ejemplo: 
 






4
7
 y 





3
7
 son complementarios. 
 
 
Propiedad: Los números combinatorios complementarios son iguales. 
 
 
119 
 
E.4 Ejercicios 
 
Simplificar: 
 
a) 
!1
!1










−
+
n
n
 b) 
!1!4
!2!














−−
−
nn
nn
 
 
 
 
 
Tener en cuenta que: 





−=
=
=
)!1(!
1!1
1!0
nnn
 
 
 a) nn
n
nnn
n
nn
n
n
+=
−
−+
=
−
+
=
−
+ 




























2
)!1(
!1 1
!1
!!1
!1
!1
 
 
 
b) ( )( )3 2 
!4
!432 
!1!4
!32!1 
!1!4
!2!
−−=
−
−−−
=
−−
−−−
=
−−
−






















































nnn
n
nnnn
nn
nnnn
nn
nn
 
 
 
 
 
 
Para simplificar estas expresiones utilizar el comando Expand de la barra de 
herramienta. 
 
a) nn
n
n
+=
−
+










2
!1
!1
 b) ( )( )3 2 65
!1!4
!2!
23 −−=+−=
−−
−














nnnnnn
nn
nn
 
 
 
E.5 Ejercicios 
 
Hallar x : 
( )
( )
30
!1
!1
=
−
+
x
x
 
 
 
 
 
120 
 
 
 
 
30
!1
!1
=
−
+










x
x
 , 30
!1
!1 1
 ;30
!1
!!1
=
−
−+
=
−
+
























x
xxx
x
xx
 
 0302 =−+ xx , Resolviendo 65
2
111
2
12011
212,1 −==
−=
+−
= xxx 
 
Solución: .5=x Nota: 6− no es solución, la función factorial se define para números 
naturales. 
 
 
 
 
Para resolver esta ecuación primeramente se deberá aplicar el comando Simplify al 
primer miembro, y luego el comando Solve Exact . 
 
 
E.6 Ejercicios 
 
Desarrollar y simplificar: 
 





− 2m
m
 
 
 
 
 
 
 
2
1 
!2!2
!2 1 
!2!2
!
!2!2
!
2






































−
=
−
−−
=
−
=
−−−
=





−
mm
m
mmm
m
m
mmm
m
m
m
 
 
 
Otro método: 
 
Se halla el número combinatorio complementario: 
 
 
2
1 
22




 −
=





=





−
mmm
m
m
 
 
 
 
 
121 
 
 
 
En primer lugar utilizar el comando Expand para desarrollar; luego ir a menú 
Maple/factor para simplificar. 
 
 
E.7 Ejercicios 
 
Hallar x : 
 






+
=





1
77
2 xx
 
 
 
 
 
 
Por propiedad de los números combinatorios complementarios es: 
;712 =++ xx .062 =−+ xx 
Resolviendo se obtienen las raíces 2 y 3− . La única solución de la ecuación dada es 2=x 
Si se toma 3− en el segundo miembro tendríamos un número combinatorio de denominador 
negativo y esto no ha sido definido. 
 
 
 
 
Para hallar la solución de la ecuación ir a la barra de menú Maple/solve/numeric 
 
 
E.8 Ejercicios 
 
Desarrollar y simplificar: 






− 2m
m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
122 
 
 
 
 
2
1 
!2!2
!21 
!2!2
!
!2!2
!
2






































−
=
−
−−
=
−
=
−−−
=





−
mm
m
mmm
m
m
mmm
m
m
m
 
 
Otro método: Se halla el número combinatorio complementario: 
 
2
1 
22




 −
=





=





−
mmm
m
m
 
 
 
4.4.4 Fórmula De Stieffel 
 
La suma de dos números combinatorios de igual numerador y denominador consecutivo, es 
igual al número combinatorio cuyo numerador es el sucesor de los dados y el denominador es 
el mayor de los denominadores de los números dados. 
 






+
+
=





+
+





1
1
1 n
m
n
m
n
m
 ; 





=




 −
+





−
−
n
m
n
m
n
m 1
1
1
 
 
Probaremos la segunda expresión: 
 
 
=
−−
−
+
−−−−
−
=




 −
+





−
−
!)!1(
)!1(
)!1(!)1(1
)!1(1
1
1
nnm
m
nnm
m
n
m
n
m
 
 
 =
−−
−
+
−−
−
=
!)!1(
)!1(
)!1()!(
)!1(
nnm
m
nnm
m
 
sacando común denominador: 
 
 =
−
−−+−
=
!)!(
)!1)(()!1(
nnm
mnmmn
 
 
 
( )
=
−
−+−
=
!)!(
)!1(
nnm
nmnm
 
 
 =
−
−
=
!)!(
)!1(
nnm
mm
 
 
 





=
−
=
n
m
nnm
m
!)!(
!
 
 
123 
 
Luego, 
 






=




 −
+





−
−
n
m
n
m
n
m 1
1
1
 
Nota: El común denominador !)!( nnm − se puede expresar: ( ) ( )!1 !1)( −−−− nnnmnm , que 
contiene todos los factores de los denominadores. 
 
Análogamente se prueba que: 





+
+
=





+
+





1
1
1 n
m
n
m
n
m
 
 
 
E.9 Ejercicios 
 
Verificar la propiedad anterior: 
 






=





+





5
8
5
7
4
7
 
 
Observación: La suma de dos números combinatoriosno es, en general, un número 
combinatorio, pero si tienen igual numerador y denominadores consecutivos, vale la fórmula 
de Stieffel. 
 
 
4.4.5 Triángulo de Tartaglia (o Pascal) 
 
Mediante el triángulo de Tartaglia se determinan los coeficientes de la potencia de un 
binomio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estos números permiten obtener los coeficientes de las potencias de un binomio. 
 
...
4
4
 
3
4
 
2
4
 
1
4
 
0
4
3
3
 
2
3
 
1
3
 
0
3
 
2
2
 
1
2
 
0
2
 
1
1
 
0
1
 
 
0
0


























































































( )01 ba +→
( )111 ba +→ 
( )31331 ba +→ 
( )2121 ba +→ 
( )41 4 6 4 1 ba +→
 
124 
 
Ejemplo: 
 
 ( ) 32233 1331 babbaaba +++=+ 
 
 
4.5 POTENCIA DE UN BINOMIO (BINOMIO DE NEWTON) 
 
Para desarrollar la potencia de un binomio, con exponente natural, se utiliza la fórmula del 
binomio de Newton: 
 
( ) nnnnn ba
n
n
ba
n
ba
n
ba
n
ba 022110 ...
210 






++





+





+





=+ −− 
 
Utilizando el símbolo de sumatoria se reduce a: 
( ) iin
n
i
n
ba
i
n
ba −
=
 





=+ 
0
 
 
Demostraremos esto por inducción matemática 
 
a) La fórmula es válida para n = 1. En efecto 
 
Primer miembro: ( ) baba +=+ 1 
 
Segundo miembro: babababa
i
ii
i
+=





+





=




 −
=
 10011
1
0 1
1
0
11
 
 
b) Suponemos que es válida para n = h. Así la hipótesis de inducción es: 
 
( ) hhhhh ba
h
h
ba
h
ba
h
ba
h
ba 022110 ...
210 






++





+





+





=+ −− 
 
Para demostrar que es válido para (h+1), escribimos primero: 
 
( ) ( )( )hh bababa ++=+ + 1 
 
Usamos la hipótesis de inducción para sustituir ( )hba + , multiplicamos esa expresión por 
( )ba + y obtenemos: 
 
( ) ( ) 











++





+





+





+=+ −−
+ hhhhh ba
h
h
ba
h
ba
h
ba
h
baba 022110
1
...
210
 
 
 
125 
aplicando propiedad distributiva obtenemos: 
( )












++





+





+





+












++





+





+





=+
+−−
−++
1032211
1211011
...
210
 
...
210
hhhh
hhhhh
ba
h
h
ba
h
ba
h
ba
h
ba
h
h
ba
h
ba
h
ba
h
ba
 
 
donde los términos del primer par de corchetes resultan de multiplicar por a el segundo 
miembro de la hipótesis de inducción, y los del segundo par de multiplicar por b. 
 
Asociando y sacando factor común obtenemos: 
 
( ) 101211011
1
...
21100
+−++






+











+





−
++











+





+











+





+





=+ hhhhh
h
ba
h
h
ba
h
h
h
h
ba
hh
ba
hh
ba
h
ba 
 
Aplicando en cada corchete la ley de Stieffel: 
 





 +
=





+





1
1
10
hhh
; 




 +
=





+





2
1
21
hhh
; 




 +
=





+





− h
h
h
h
h
h 1
1
 
 
y como: 




 +
=





0
1
0
hh
 y 





+
+
=





1
1
h
h
h
h
 
 
Después de sustituir, nos queda: 
 
( ) 10211011
1
1
...
2
1
1
1
0
1
+−++






+
+
++




 +
+




 +
+




 +
=+ hhhh
h
ba
h
h
ba
h
ba
h
ba
h
ba 
 
De esta manera hemos demostrado que la fórmula es válida para n = h+1. 
Por a), b) y el principio de inducción matemática, la fórmula es válida para todo número 
natural. 
 
 
4.5.1 Características principales de esta fórmula 
 
1. El desarrollo de la potencia enésima de un binomio (a+b) consta de n+1 términos: 
2. Los coeficientes son números combinatorios de numerador n y sus denominadores 
varían de 0 a n. 
3. En cada término el exponente de a es la diferencia entre el numerador y el 
denominador del número combinatorio que es el coeficiente de ese término, siendo el 
exponente de b el denominador. 
4. Los términos equidistantes de los extremos tienen coeficientes iguales pues son 
números combinatorios complementarios. 
5. La suma de los coeficientes es n2 . 
 
126 
E.10 Ejercicios 
 
 Desarrollar: ( )523 2xx +− 
 
 
 
 
Utilizar el comando Expand para desarrollar el binomio. 
 
 
4.5.2 Determinación de un término cualquiera 
 
El término de lugar h en el desarrollo, es: 
 
( ) ( ) ( )11
1
 de −−−





−
=+ hhn
n
h ba
h
n
baT 
 
 
E.11 Ejercicios 
 
Hallar el término que figura en el sexto lugar de ( )822 xx + 
 
( ) ( ) ( ) =





=+
52382
6 2
5
8
2 de xxxxT 13 448 x 
 
 
 
Desarrollar como el ejercicio anterior y localizar el término requerido. 
 
 
4.6 COMBINATORIA 
 
La combinatoria o análisis combinatorio estudia la forma de agrupar los elementos de un 
conjunto teniendo en cuenta distintos criterios como el orden, el número de elementos de un 
conjunto, etc. 
Para el estudio de estos problemas, la combinatoria se divide en dos partes: combinatoria 
simple, que considera grupos formados por diferentes elementos, es decir sin repetir dichos 
elementos y la combinatoria con repetición que considera grupos con elementos repetidos o 
que se pueden repetir. 
 
 
 
 
127 
4.6.1 Combinatoria Simple 
 
De acuerdo al criterio de agrupar los elementos de un conjunto tenemos: variaciones o 
arreglos, permutaciones y combinaciones. 
 
 
4.6.1.1 Variaciones o Arreglos 
 
Se llaman variaciones de m elementos tomados de n en n o de orden n, siendo n menor o igual 
que m, a los grupos que se pueden formar con n elementos tomados de los m dados y 
considerados dos grupos distintos, cuando difieren por lo menos en un elemento o en el grupo 
que se consideran. 
 
Notación: 
nmV , o 
n
mV o nmA , Se lee: variaciones de m elementos de orden n. 
 
 
4.6.1.2 Formación de Variaciones 
 
Consideremos cuatro elementos: a, b, c, d. 
 
Las variaciones o arreglos de orden 1 o monarias son: a; b; c; d. Es decir: 41,4 =V 
 
Para obtener las de segundo orden o binarias, se agrupa cada una de las de primer orden con 
los )14( − elementos restantes: 
ab ba ca da 
ac bc cd db 
ad bd cd dc 
 
El número total es el producto de las de primer orden con las )14( − restantes. Es decir: 
 
123.4)14(42,4 ==−=V 
 
Para obtener las de tercer orden o ternarias, a cada una de las de segundo orden se les asocia 
cada uno de los )24( − elementos restantes que no figuran en él. 
 
abc acb adb … dba dca 
abd acd adc … dbc dcb 
 
Por lo tanto, el número de variaciones de tercer orden es: 24)24)(14(43,4 =−−=V 
 
 
 
 
 
128 
4.6.1.3 Deducción de la Fórmula General 
 
Generalizando las observaciones anteriores y considerando un conjunto de m elementos, las 
variaciones de primer orden o monarias son m, es decir el número total de elementos. 
mVm =1, 
 
Las de segundo orden se obtienen de agrupar cada una de las de primer orden con cada uno de 
los )1( −m elementos restantes, luego el número de ésta será: 
 
)1(2, −= mmVm 
 
 
Las de tercer orden serán tantas como las que resulten de multiplicar el número de las de 
segundo orden con cada uno de los )2( −m elementos que no figuran en el grupo. 
 
)2)(1(3, −−= mmmVm 
 
Así sucesivamente continuamos hasta llegar a las de orden n, que se obtendrán de multiplicar 
las de orden )1( −n con los )1( −− nm elementos restantes, 
 
  )1( )2( ... )2)(1( 
,
−−−−−−= nmnmmmm
nm
V 
 
El número de variaciones es el producto de n factores decrecientes siendo el primero m. 
 
 
4.6.2 PermutacionesSe llaman permutaciones de m elementos, a las variaciones de m elementos de orden m. 
Por lo tanto las permutaciones resultan ser un caso particular de las variaciones cuando el 
número de elementos es igual al número de orden. 
 
Notación: 
mmm VP ,= 
Ejemplo: 
 
Considerando tres elementos a, b, c, las permutaciones son: 
 
abc bac cab 
acb bca cba 
 
O sea: 61.2.3)23)(13(33 ==−−=P 
 
 
 
129 
4.6.2.1 Número de Permutaciones 
 
De acuerdo con la definición se tiene: 
 
1.2 ... )2)(1( )1)...(2)(1( , −−=+−−−== mmmmmmmmVP mmm 
 
Por propiedad conmutativa del producto es: 
 
 
 
Donde m! se denomina factorial de m y es igual al producto de los m primeros números 
naturales a partir de 1. 
 
Ejemplo: 1205.4.3.2.15 ==P 
 
 
4.6.3 Combinaciones 
 
Se llaman combinaciones de m elementos de orden n, siendo n menor o igual que m, a los 
grupos de n elementos tomados de los m dados y considerando distintos dos grupos cuando 
difieren por lo menos en un elemento. No interesa el orden. 
 
Notación: 
nm
C
,
 Se lee: combinaciones de m elementos de orden n. 
 
Consideremos los elementos a, b, c, d. 
 
Las combinaciones de 1º orden de esos elementos son: a; b; c; d, es decir 4. 
Luego: 41,4 =C 
 
Las combinaciones de 2º orden se obtienen agregando a la derecha de cada una de las de 1º 
orden, cada uno de los elementos que le siguen en el orden en que fueron dados. 
ab bc cd 
ac bd 
ad 
Luego: 62,4 =C 
 
Las de 3º orden se obtienen agregando a la derecha de cada una de las de 2º orden, cada uno 
de los elementos que le siguen al último elemento que figuran en ella. 
abc bcd 
abd 
acd 
Luego: 43,4 =C 
 
En forma análoga se hallan las de 4º orden. 
! )1)(2...(3.2.1 mmmmPm =−−=
 
130 
4.6.3.1 Deducción de la fórmula 
 
Consideramos formadas las combinaciones de m elementos de orden n, o sea 
nmC , , de acuerdo 
con la definición cada grupo debe tener algún elemento diferente de los otros grupos. Si 
formamos las permutaciones con los elementos de cada uno de ellos obtendremos de cada uno 
nP permutaciones pues cada grupo tiene n elementos. En total se tendrán formadas las nmV , , 
luego el número de estas será igual al producto de las combinaciones de m elementos de orden 
n por las permutaciones de n elementos. 
n
P
nm
V
nm
C
,
,
= , que es la fórmula general 
De donde 
nm
V
n
P
nm
C
,
 
,
= 
 
Para concretar la idea tomemos las combinaciones de tercer orden con los elementos: 
 a, b, c, d, y debajo de cada una de ellas las permutaciones: 
 
abc abd acd bcd 
acb adb adc bdc 
bac bad cad cbd 
bca bda cda cdb 
cab dab dac dbc 
cba dba dca dcb 
 
4
3.2.1
2.3.4
3
3,4
34
 
3,43
 
3,4 ,
====
P
V
CVPC 
 
 
4.6.3.2 Fórmula Factorial de las Combinaciones 
 
De acuerdo a la fórmula obtenida resulta: 
 
!
)1)....(2)(1(,
, n
nmmmm
n
P
nm
V
nm
C
+−−−
== 
 
Multiplicando numerador y denominador por (m-n)! resulta: 
 
 
)!(!
)!1)()(1)...(2)(1( 
)!(!
)!)(1)...(2)(1( 
, nmn
nmnmnmmmm
nmn
nmnmmmm
nm
C
−
−−−+−−−
=
−
−+−−−
= 
 
 
 
 
131 
Pero el numerador es el factorial de m, luego: 
)!(!
!
, nmn
m
nm
C
−
= 
 
Ejemplo: 
( )
10
21321
12345
353
5
35
==
−
=
....
....
!!
!
,
C 
 
 
4.6.3.3 Combinaciones Complementarias 
 
Dos combinaciones son complementarias cuando son del mismo número de elementos y la 
suma de sus órdenes es igual al número de elementos. 
 
nm
C
,
 y 
)(, nmm
C
−
 son complementarias pues: mnmn =−+ )( 
 
 
4.6.3.4 Propiedad 
 
El número de combinaciones complementarias es igual. En efecto: 
)!(!
!
, nmn
m
nm
C
−
= 
!)!(
!
)!()!(
!
)(, nnm
m
nmmnm
m
nmm
C
−
=
−−−
=
−
 
 
Como los segundos miembros son iguales resulta: 
 
)(,, nmm
C
nm
C
−
= 
 
 
E.12 Ejercicios 
 
Con los números dígitos primos formar: 
a) Las variaciones de tercer orden 
b) Las combinaciones binarias y ternarias 
 
 
 
 
Los números dígitos primos son: 2, 3, 5 y 7. 
 
 
 
 
 
132 
a) Las variaciones de tercer orden son: 
 
 
235 325 523 723
237 327 527 725
253 352 532 732
257 357 537 735
273 372 572 752
275 375 573 753
 242.3.4
3,4
==V 
 
b) Las combinaciones de segundo orden son: 
 
23 25 27 35 37 57 
 6
2.1
3.4
2,4
==C 
 
Las combinaciones de tercer orden son: 
 
235 237 257 357 4
3.2.1
2.3.4
3,4
==C 
 
 
 
 
Para hallar las variaciones de un conjunto de m elementos de orden n, utilizar la siguiente 
identidad: 
 
! 
, n,
n
n
m
P
nm
CV nm 





== 
 
y luego utilizar el comando Evaluate para hallar la solución. 
 
De la misma manera, para hallar las permutaciones y las combinaciones utilizar: 
 
! n nP = 
 






=
n
m
nm
C 
,
 
 
 
 
133 
E.13 Ejercicios 
 
Dados los números dígitos: 2, 3, 5, 7, 9 
a) Decir cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con ellos. 
b) Decir cuántos productos distintos de 2, 3, 4 y 5 factores se pueden formar. 
 
 
 
 
 
a) Como al cambiar el orden de las cifras se obtienen números distintos, corresponde a un 
problema de variaciones. 
 
603.4.5
3,5
==V Se pueden formar 60 números 
 
b) Como al cambiar el orden de los factores no cambia el producto, corresponde considerar las 
combinaciones de segundo, tercero, cuarto y quinto orden, ya que en cada producto puede 
haber 2, 3, 4 y 5 factores. 
 
+
2,5
C +
3,5
C +
4,5
C 26151010
5,5
=+++=C 
Se pueden obtener 26 productos distintos. 
 
 
E.14 Ejercicios 
 
Calcular m en cada caso: 
 
a) 




 −
=
3
1
2,3
1 m
m
V b) 8
2),1(4
1
2,2
1 =
−
+
m
V
m
C 
 
 
 
 
 
a) 




 −
=
3
1
2,3
1 m
m
V 
 
 
3.2.1
)3)(2)(1(
)1(
3
1 −−−=−
mmm
mm 
 
6322 2 +−−= mmmm 
 
 067
2 =+− mm 
 
134 
2
57
2
24497 =
−
=m 16 21 == mym 
La solución es: 6=m ya que m debe ser mayor o igual a 2. 
 
b) 8
2),1(4
1
2,2
1 =
−
+
m
V
m
C 
 
8)2)(1(
4
1
2
)1(
2
1 =−−+
−
mm
mm
 , 
 
;8
4
222
4
2
=+−−+− mmmmm multiplicando por 4 y sumando términos: 
 
32242 2 =+− mm 
 
01522 =−− mm 
 
35
2
82
2
6042
21 −==
=
+
= mymm 
 
La solución es 5=m 
 
 
 
 
Para resolver estas ecuaciones tener en cuenta las identidades anteriores. Una vez hecha las 
sustituciones correspondientes, desarrollar cada uno de los miembros utilizando el comando 
Expand de la barra de herramientas. A continuación igualar las expresiones obtenidas y 
resolver la ecuación resultante utilizando el comando Solve Exact . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
137 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
136 
ÍNDICE 
CAPÍTULO 4: COMBINATORIA ....................................................................................................................... 109 
4.1 SUCESIONES ............................................................................................................................................ 110 
4.1.1 DEFINICIÓN ................................................................................................................................................ 110 
E.1 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 110 
4.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA ...................................................................................................................... 111 
4.2.1 SÍMBOLO DE SUMATORIA .............................................................................................................................. 111 
4.2.2 PROPIEDADES .............................................................................................................................................111 
E.2 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 112 
4.2.3 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA ........................................................................................................... 112 
E.3 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 114 
4.3 FUNCIÓN FACTORIAL............................................................................................................................... 116 
4.4 NÚMEROS COMBINATORIOS .................................................................................................................. 117 
4.4.1 DEFINICIÓN ................................................................................................................................................ 117 
4.4.2 CASOS PARTICULARES ................................................................................................................................... 118 
4.4.3 NÚMEROS COMBINATORIOS DE ÓRDENES COMPLEMENTARIOS ............................................................................ 118 
E.4 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 119 
E.5 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 119 
E.6 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 120 
E.7 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 121 
E.8 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 121 
4.4.4 FÓRMULA DE STIEFFEL .................................................................................................................................. 122 
E.9 EJERCICIOS .............................................................................................................................................. 123 
4.4.5 TRIÁNGULO DE TARTAGLIA (O PASCAL) ............................................................................................................ 123 
4.5 POTENCIA DE UN BINOMIO (BINOMIO DE NEWTON) .............................................................................. 124 
4.5.1 CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE ESTA FÓRMULA .............................................................................................. 125 
E.10 EJERCICIOS ............................................................................................................................................ 126 
4.5.2 DETERMINACIÓN DE UN TÉRMINO CUALQUIERA ................................................................................................. 126 
E.11 EJERCICIOS ............................................................................................................................................ 126 
4.6 COMBINATORIA ...................................................................................................................................... 126 
4.6.1 COMBINATORIA SIMPLE ................................................................................................................................ 127 
4.6.1.1 VARIACIONES O ARREGLOS ......................................................................................................................... 127 
4.6.1.2 FORMACIÓN DE VARIACIONES ..................................................................................................................... 127 
4.6.1.3 DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL ......................................................................................................... 128 
4.6.2 PERMUTACIONES ......................................................................................................................................... 128 
4.6.2.1 NÚMERO DE PERMUTACIONES .................................................................................................................... 129 
4.6.3 COMBINACIONES ......................................................................................................................................... 129 
4.6.3.1 DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA ....................................................................................................................... 130 
4.6.3.2 FÓRMULA FACTORIAL DE LAS COMBINACIONES ............................................................................................... 130 
4.6.3.3 COMBINACIONES COMPLEMENTARIAS .......................................................................................................... 131 
 
137 
4.6.3.4 PROPIEDAD ............................................................................................................................................. 131 
E.12 EJERCICIOS ............................................................................................................................................. 131 
E.13 EJERCICIOS ............................................................................................................................................. 133 
E.14 EJERCICIOS ............................................................................................................................................. 133