Ejemplo Resuelto 1 2 A

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ANÁLISIS ESTRCUTURAL I 
 
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL CORDOBA 
 
TRABAJOS VIRTUALES EN ALMA LLENA. 
Ejercicio N°5 
I) Por efecto de las cargas exteriores 
a- Desplazamiento horizontal de la viga 
b- Rotación del nudo 3 
c- Trazado de la deformada del sistema 
II) Por efecto de variación de la temperatura 
d- Desplazamiento vertical del punto 4 
DATOS: 
𝐸𝐸 = 2 𝑥𝑥106 
𝑡𝑡
𝑚𝑚2
 
𝐼𝐼2 = 2 𝐼𝐼1 = 5 𝑥𝑥10−4 𝑚𝑚4 
𝛥𝛥𝑡𝑡0 = 50° 
𝛥𝛥𝑡𝑡𝛥𝛥 = 20° 
𝛥𝛥𝑡𝑡𝛥𝛥 = 70° 
 𝛼𝛼𝑡𝑡 = 1,2 𝑥𝑥10−5
1
°𝐶𝐶
 
ℎ = 0,25 𝑚𝑚 
 
 
 
RESOLUCIÓN: 
Se resolverá el ejercicio considerando dos estados de cargas: 
• Estado I: cargas exteriores 
• Estado II: variación de temperatura 
Para ello es importante recordar que: 
- Para conocer una deformación (rotación o desplazamiento) debo aplicar una fuerza 
unitaria virtual o bien un momento unitario virtual en la estructura 
- El diagrama de momentos de una estructura influye casi el 100% sobre el resultado 
de la deformación por lo que se justifica despreciar la influencia del corte y esfuerzo 
normal. 
 
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ESTADO I: efecto de las cargas exteriores 
a) Desplazamiento horizontal de la viga 
 
 
 
𝛴𝛴𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 → −𝑅𝑅1𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 𝒕𝒕 
𝛴𝛴𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 → 𝑅𝑅1𝑦𝑦 + 𝑅𝑅6 − 8 = 0 
𝛴𝛴𝑀𝑀1 = 0 → −𝑅𝑅6 . 3 + 3 . 2 − 2 . 0,5
+ 6 . 1,5 = 0 
𝑅𝑅6 . 3 = 6 − 1 + 9 = 14 
𝑹𝑹𝟔𝟔 =
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑
= 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒕𝒕 
𝑹𝑹𝟏𝟏𝟏𝟏 = − 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 + 𝟖𝟖 = 𝟑𝟑,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒕𝒕 
 
 
 
 
 
1) Trazamos el diagrama de momentos y luego 
observamos que podemos descomponer el mismo en 
una superposición de diagramas simples. 
 
 
 
S.R. 
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2) Luego aplicamos la fuerza unitaria virtual en el punto donde se desea averiguar el 
desplazamiento recordando que dicha fuerza debe tener una dirección y sentido. 
En este caso como se quiere averiguar el desplazamiento horizontal de la viga se 
coloca una fuerza virtual unitaria en esa dirección y aplicada en el nudo 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existen dos formas de resolver el ejercicio: 
a- Método Gráfico 
b- Método Analítico 
Para el primero existen tablas auxiliares que me indican l expresión matemática como 
resultado de la superposición de diagramas. 
MÉTODO GRÁFICO 
1�𝛿𝛿5𝐻𝐻 = �𝑀𝑀�
𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝐸𝐸 𝐼𝐼
 
𝐸𝐸1�𝛿𝛿5𝐻𝐻 = �𝑀𝑀�
𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑥𝑥
 𝐼𝐼
 
I: invariable 
 
S.V. 
Igualando el trabajo externo virtual con el trabajo interno 
virtual surge la expresión planteada como la integral del 
producto entre el momento virtual y el momento real por 
diferencial de x (dx) 
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NOTA: se debe tener en el tramo que se está analizando una función de momento continua, 
de no ser así, descompongo la integral en una sumatoria de gráficos. Cuando los diagramas 
de momento están de lados diferentes entonces se le coloca signos (+ del lado de arriba). 
 
 
De esta forma se superponen para cada tramo de la estructura, el diagrama real y el 
diagrama virtual de momentos y resolvemos con las tablas auxiliares. 
 
Despejando obtenemos el desplazamiento en el punto 5 horizontal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐿𝐿′ =
𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛥𝛥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 . 𝐿𝐿 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑡𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Rotación del nudo 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La rotación del nudo 3 se resuelve aplicando un momento virtual unitario, hallando el 
diagrama virtual que provoca ese momento y superponiendo esta ultimo con el diagrama 
real de la estructura calculado al inicio. 
𝐸𝐸 1�𝜑𝜑3 = �𝑀𝑀�
𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑥𝑥
 𝐼𝐼
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S.V. 
 
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c) Trazado de la deformada de la estructura 
Para el trazado de la deformada debemos tener presente como son los desplazamientos 
en todos los puntos o nodos de la estructura. En segundo lugar, observar el diagrama real 
de momentos de la estructura y los tipos de apoyo. Para el caso de apoyos dobles la 
deformada se indica como lo muestra la figura. Y debemos destacar la condición de 
ángulos rectos en los nudos que giran. 
 
ESTADO II: efecto de variación de la temperatura 
d) Desplazamiento vertical del punto 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Es importante visualizar que el promedio de temperatura inferior y superior actúan en 
cada barra de la estructura provocando alargamientos o acortamientos de la barra 
mientras que la diferencia entre las variaciones de temperatura superior Δts e inferior Δti 
solo actúa en el tramo horizontal de la estructura (viga) colaborando a la deformación por 
flexión. 
Superponiendo M virtual (𝑴𝑴� ) con el diagrama de Δt1 = diferencia de temperatura (Δti- 
Δts), y por otro lado el diagrama de Δt0 promedio( 𝚫𝚫𝚫𝚫𝚫𝚫+𝚫𝚫𝚫𝚫𝚫𝚫
𝟐𝟐
) obtenemos el desplazamiento 
del punto vertical 4. 
 
 
 
 
 
1�𝛿𝛿4𝑉𝑉 = �𝑁𝑁� 𝛥𝛥𝑡𝑡0 𝛼𝛼𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑥𝑥
+ �𝑀𝑀� 
𝛥𝛥𝑡𝑡1
ℎ
 𝛼𝛼𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
𝛥𝛥𝑡𝑡0 =
𝛥𝛥𝑡𝑡𝑖𝑖 + 𝛥𝛥𝑡𝑡𝑠𝑠
2
=
20°𝐶𝐶 + 70°𝐶𝐶
2
= 45°𝐶𝐶 
𝛥𝛥𝑡𝑡1 = 𝛥𝛥𝑡𝑡𝑖𝑖 − 𝛥𝛥𝑡𝑡𝑠𝑠 = 20°𝐶𝐶 − 70°𝐶𝐶 = 4 − 50°𝐶𝐶 
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