Rigidez de pórtico Ejercicio

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EJEMPLO RIGIDEZ EN PORTICOS
Encontrar la matriz de rigidez de la estructura 
indicada usando el método de rigidez directa
Todos los elementos 
son de 30x30
E = 210000 t/m2
4m
2,5m
1
2 3
4
4m
2,5m
1
2
3
7
8
9
4
5
6
10
11
12
GL globales
1
2
3
[ ]






























−
−−−
−
−
−
−
=
L
EI4
L
EI6
0
L
EI2
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
L
EI2
L
EI6
0
L
EI4
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
k
22
2323
22
2323
c
α
i
j
"m "
Rigidez elemental
EJEMPLO RIGIDEZ EN PORTICOS
GL locales
α = 90°
i
j
1
α = 90°
i
j
3
i j2 α = 0°
[ ]
























−
−
=
100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
B
75600,00 0,00 0,00 -75600,00 0,00 0,00
0,00 1088,64 1360,80 0,00 -1088,64 1360,80
0,00 1360,80 2268,00 0,00 -1360,80 1134,00
ke = -75600,00 0,00 0,00 75600,00 0,00 0,00
0,00 -1088,64 -1360,80 0,00 1088,64 -1360,80
0,00 1360,80 1134,00 0,00 -1360,80 2268,00
Rigidez elemental columna
EJEMPLO RIGIDEZ EN PORTICOS
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
B = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Matriz de transformación columna
Unidades: tonelada y metro
Rigidez columna 1 en coordenadas globales
EJEMPLO RIGIDEZ EN PORTICOS
Rigidez columna 2 en coordenadas globales
Unidades: tonelada y metro
47250,00 0,00 0,00 -47250,00 0,00 0,00
0,00 265,78 531,56 0,00 -265,78 531,56
0,00 531,56 1417,50 0,00 -531,56 708,75
ke = -47250,00 0,00 0,00 47250,00 0,00 0,00
0,00 -265,78 -531,56 0,00 265,78 -531,56
0,00 531,56 708,75 0,00 -531,56 1417,50
Rigidez elemental viga
EJEMPLO RIGIDEZ EN PORTICOS
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
B = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Unidades: tonelada y metro
Rigidez viga en coordenadas globales
EJEMPLO RIGIDEZ EN PORTICOS
7 8 9 10 11 12
7
8
9
10
11
12
47250 0 0 -47250 0 0
0 266 532 0 -266 532
keg= 0 532 1418 0 -532 709
-47250 0 0 47250 0 0
0 -266 -532 0 266 -532
0 532 709 0 -532 1418
Unidades: tonelada y metro
Matriz de rigidez del pórtico
EJEMPLO RIGIDEZ EN PORTICOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1089 0 -1361 0 0 0 -1089 0 -1361 0 0 0 1
0 75600 0 0 0 0 0 -75600 0 0 0 0 2
-1361 0 2268 0 0 0 1361 0 1134 0 0 0 3
0 0 0 1089 0 -1361 0 0 0 -1089 0 -1361 4
0 0 0 0 75600 0 0 0 0 0 -75600 0 5
Kp = 0 0 0 -1361 0 2268 0 0 0 1361 0 1134 6
-1089 0 1361 0 0 0 48339 0 1361 -47250 0 0 7
0 -75600 0 0 0 0 0 75866 532 0 -266 532 8
-1361 0 1134 0 0 0 1361 532 3686 0 -532 709 9
0 0 0 -1089 0 1361 -47250 0 0 48339 0 1361 10
0 0 0 0 -75600 0 0 -266 -532 0 75866 -532 11
0 0 0 -1361 0 1134 0 532 709 1361 -532 3686 12
Unidades: tonelada y metro
Todos los elementos 
son de 30x30
E = 210000 t/m2
4m
2,5m
1
2 3
4
4m
2,5m
1
2
3
7
8
9
4
5
6
10
11
12
GL globales
1
2
3
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de rigidez directa
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1089 0 -1361 0 0 0 -1089 0 -1361 0 0 0 1
0 75600 0 0 0 0 0 -75600 0 0 0 0 2
-1361 0 2268 0 0 0 1361 0 1134 0 0 0 3
0 0 0 1089 0 -1361 0 0 0 -1089 0 -1361 4
0 0 0 0 75600 0 0 0 0 0 -75600 0 5
Kp = 0 0 0 -1361 0 2268 0 0 0 1361 0 1134 6
-1089 0 1361 0 0 0 48339 0 1361 -47250 0 0 7
0 -75600 0 0 0 0 0 75866 532 0 -266 532 8
-1361 0 1134 0 0 0 1361 532 3686 0 -532 709 9
0 0 0 -1089 0 1361 -47250 0 0 48339 0 1361 10
0 0 0 0 -75600 0 0 -266 -532 0 75866 -532 11
0 0 0 -1361 0 1134 0 532 709 1361 -532 3686 12












=






b
a
bbba
abaa
b
a
U
U
KK
KK
F
F [ ]bbK
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de rigidez directa
{ } [ ]{ }bbbb UKF =
{ } { }0Ua =
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
U7 = 1 U10 = 1
{ } { }001001U tb =
F7 y F10 representan las fuerzas necesarias para producir
un desplazamiento lateral unitario en el nivel
( ) 21782*1089KL pa ==
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de rigidez directa
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
4m
2,5m
2
3
4
1
4
5
GL globales
Todos los elementos 
son de 30x30
E = 210000 t/m2
4m
2,5m
1
2 3
4
1
2
3
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
[ ]






























−
−−−
−
−
−
−
=
L
EI4
L
EI6
0
L
EI2
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
L
EI2
L
EI6
0
L
EI4
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
k
22
2323
22
2323
c
α
i
j
"m "
GL locales columnas
α = 90°
i
j
1 α = 90°
i
j
3
Rigidez elemental columnas
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
[ ]
























−
−
=
100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
B
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
75600,00 0,00 0,00 -75600,00 0,00 0,00
0,00 1088,64 1360,80 0,00 -1088,64 1360,80
0,00 1360,80 2268,00 0,00 -1360,80 1134,00
ke = -75600,00 0,00 0,00 75600,00 0,00 0,00
0,00 -1088,64 -1360,80 0,00 1088,64 -1360,80
0,00 1360,80 1134,00 0,00 -1360,80 2268,00
Rigidez elemental columnas
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
B = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Matriz de transformación columnas
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
1,0886E+03 0,0000E+00 -1,3608E+03 -1,0886E+03 0,0000E+00 -1,3608E+03
keg= 0,0000E+00 7,5600E+04 0,0000E+00 0,0000E+00 -7,5600E+04 0,0000E+00
-1,3608E+03 0,0000E+00 2,2680E+03 1,3608E+03 0,0000E+00 1,1340E+03
-1,0886E+03 0,0000E+00 1,3608E+03 1,0886E+03 0,0000E+00 1,3608E+03
0,0000E+00 -7,5600E+04 0,0000E+00 0,0000E+00 7,5600E+04 0,0000E+00
-1,3608E+03 0,0000E+00 1,1340E+03 1,3608E+03 0,0000E+00 2,2680E+03
1 4 5
1
4
5
1,0886E+03 0,0000E+00 -1,3608E+03 -1,0886E+03 0,0000E+00 -1,3608E+03
keg= 0,0000E+00 7,5600E+04 0,0000E+00 0,0000E+00 -7,5600E+04 0,0000E+00
-1,3608E+03 0,0000E+00 2,2680E+03 1,3608E+03 0,0000E+00 1,1340E+03
-1,0886E+03 0,0000E+00 1,3608E+03 1,0886E+03 0,0000E+00 1,3608E+03
0,0000E+00 -7,5600E+04 0,0000E+00 0,0000E+00 7,5600E+04 0,0000E+00
-1,3608E+03 0,0000E+00 1,1340E+03 1,3608E+03 0,0000E+00 2,2680E+03
1 2 3
1
2
3
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
Rigidez columna 1 en 
coordenadas globales
Rigidez columna 3 en 
coordenadas globales
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
[ ]




















−
−−−
−
−
=
L
EI4
L
EI6
L
EI2
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
L
EI2
L
EI6
L
EI4
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
k
22
2323
22
2323
c
α
i
j
"m "
GL locales viga
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
i j2 α = 0°
Rigidez elemental viga
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
Rigidez elemental viga
Matriz de transformación viga
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
266 532 -266 532
ke= 532 1418 -532 709
-266 -532 266 -532
532 709 -532 1418






0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
B = 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
2 3 4 5
266 532 -266 532 2
keg= 532 1418 -532 709 3
-266 -532 266 -532 4
532 709 -532 1418 5
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
Rigidez viga en 
coordenadas globales
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de condensación
1 2 3 45
2177 0 1361 0 1361 1
0 75866 532 -266 532 2
K = 1361 532 3686 -532 709 3
0 -266 -532 75866 -532 4
1361 532 709 -532 3686 5
( )
ba
1
bbabaa
p
a KKKKKL
−−=
Kaa Kab
Kab Kbb
( ) 1332KL pa =
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de Wilbur
Todos los elementos 
son de 30x30
E = 210000 t/m2
4m
2,5m
1
2 3
4
1
2
3
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método de Wilbur
Nivel h1 (m) h2(m) ΣKc1 ΣKv1 D1(m-2) Kp1 (t/m)
1 2,5 0 5,40E-04 1,69E-04 3,02E+04 1334
Iv = 0,00068
Ic = 0,00068
Kv = 0,00017
Kc = 0,00027
Unidades: tonelada y metro
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
Encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
indicada usando el método del edificio simple
( ) [ ] 2177kKL 1p ==
21771089*2k i ==
1089
L
EI12
k
3columnas
==
Unidades: tonelada y metro
Todos los elementos 
son de 30x30
E = 210000 t/m2
4m
2,5m
1
2 3
4
1
2
3
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS
Calcule la matriz de rigidez lateral de la estructura indicada en 
la figura usando el método de condensación para los tres 
grados de libertad dinámicos indicados.
Considere f’c = 280k/cm2
4m
6m
1
2
A
B
Peso del nivel: 465k/m2
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL DE LA 
ESTRUCTURA
Rigidez lateral de los pórticos KLp
A 1579007
B 1579007
1 1461268
2 1579007
Unidades: k-f y metro
Calcule la matriz de rigidez lateral de la estructura indicada en 
la figura usando el método de condensación para los tres 
grados de libertad dinámicos indicados.
EJEMPLO RIGIDEZ LATERAL DE LA 
ESTRUCTURA
∑
∑=
j
jj
cmi w
yw
y
( ) ( )2pcmi2Pcmi yyxxr −+−=
( ) ( )p
m
1p
p
tp
E ALKAK ∑
=
=










=
θθθθ
θ
θ
KKK
KKK
KKK
K
yx
yyyyx
xxyxx
E
 
 
VIGAS 
COLUMNAS 
1 
2 
3 
4 
A B C D 
Calcule centro de cortante, centro de rigidez y excentricidad 
estática
EJEMPLO cc; cr y e
∑
∑=
yi
pyi
cri K
xKp
x
∑
∑=
xi
pxi
cri K
yKp
y
yi
N
j
cmjyj
cci V
xF
x
∑
== 1
xi
N
j
cmjxj
cci V
yF
y
∑
== 1
criccixi xxe −=
cricciyi yye −=
Fi (t) Vi (t)
13.30 13.30
11.87 25.17
6.78 31.95
Coordenadas del centro de masa
Nivel Xcm Ycm
1 7.02 7.78
2 7.07 7.72
3 7.07 7.72
3
2
1
Fuerzas laterales y cortantes por nivel
3
2
1
Coordenadas del centro de masa
Nivel
1
Calcule centro de cortante, centro de rigidez y excentricidad 
estática
EJEMPLO cc; cr y e
Nivel Kp1 Kp2 Kp3 Kp4 Kpa Kpb Kpc Kpd
1 3469 3469 3469 7155 7155 3469 3469 3469
2 4119 4119 4119 5827 5827 4119 4119 4119
3 5022 5022 5022 6781 6781 5022 5022 5022
12610 12610 12610 19763 19763 12610 12610 12610
Nivel Kpx(t/cm) Kpy(t/cm)
1 17564 17564
2 18183 18183
3 21846 21846
57593 57593
Rigideces en cada dirección
Rigideces de pórticos (t/cm)
Calcule centro de cortante, centro de rigidez y excentricidad 
estática
3
2
1
3
2
1
EJEMPLO cc; cr y e