ANTOLOGIA ALGEBRA - Qwerty (4)

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Escuela Náutica Mercante “Cap. 
Alt. Luis Gonzaga Priego González” 
de Tampico 
ALGEBRA LINEAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOMBRE DE LA LICENCIUATURA: 
 
PN Y MN 
 
Semestre: I ro. 
 
Clave de la asignatura: ALG 103 
 
Elaboró: I.C. Jose Cruz Munguia Favila 
 
 
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INDICE 
 
INDICE……………………………………………………………………………………..2 
 
PRESENTACION………………………………………………………………………….3 
 
PROGRAMA DE ESTUDIOS ................................................................................... 4 
 
OBJETIVOS ............................................................................................................. 5 
 
METODOLOGÍA DE TRABAJO ............................................................................... 6 
 
ALGEBRA ELEMENTAL 
 
 
1.1 Números reales y lenguaje algebraico………………………………………….......7 
 
 
1.2 Operaciones algebraicas ……………………………………………………….……8 
 
 
 
1.3 Productos notables……………………………………………………………………10 
 
1.4 Factorización …………………………………………………………….……………13 
 
 
1.5 Fracciones algebraicas ………………………………………………………………23 
 
 
1.6 Ecuaciones lineales …………………………………………………………………..26 
 
 
1.7 Sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres incógnitas……………………… 
 
 
1.8 Exponentes y radicales………………………………………………………………. 
 
 
1.9 Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado…………………………………….. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Presentación 
 
 
 
• Esta antología se ha diseñado pensando en apoyar las 
actividades del estudiante. 
 
 
• Se afirman conceptos matemáticos para desarrollar 
correctamente procedimientos algebraicos para lograr 
aprendizaje significativo. 
 
 
• Fue planeada para estudiantes de la ENMT de primer semestre 
cuya preparación en algebra insuficiente no les permita iniciar 
cursos posteriores en asignaturas como la Trigonometría, 
Geometría Analítica y Calculo diferencial e integral entre otras. 
 
 
• Estos apuntes harán posible que tengan los estudiantes facilidad 
del dominio de técnicas esenciales empleadas en el campo 
convencional del algebra elemental y lineal. 
 
 
• Este material didáctico apoyara al estudiante a que tenga un 
pensamiento, crítico y reflexivo para tener una mejor visión de la 
naturaleza de las matemáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROGRAMA DE ESTUDIOS 
 
 
 
1. Álgebra Elemental 
 
1.1 Números reales y lenguaje algebraico. 
 
1.2 Operaciones algebraicas 
 
1.3 Productos notables 
 
1.4 Factorización 
 
1.5 Fracciones algebraicas 
 
1.6 Ecuaciones lineales 
 
1.7 Sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres incógnitas 
 
1.8 Exponentes y radicales 
 
1.9 Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OBJETIVOS 
 
 
 
 
General: 
 
Resuelve algebraicamente problemáticas inherentes a la profesión. 
 
 
Específicos: 
 
 
 
 
• El objetivo de esta asignatura es informarles sobre el enfoque 
(competencias) que deben de aplicar para obtener un conocimiento 
de aprendizaje significativo. 
 
 
 
 
 
 
• El álgebra como disciplina de las matemáticas busca propiciar el 
desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y critico entre los 
estudiantes por medio del modelo de competencias. 
 
 
 
 
• Aplicaran los conocimientos sobre sistemas numéricos, a través del manejo 
de sus propiedades y operaciones para la resolución de problemas. 
 
 
 
 
 
 
• Conceptos fundamentales del lenguaje algebraico, de terminología y 
notación para plantear modelos matemáticos. 
 
 
 
 
• Esto implica el que pueden hacer las aplicaciones del algebra más allá 
del salón de clases, para a futuro servir a la sociedad. 
 
 
 
 
 
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METODOLOGÍA DE TRABAJO 
 
 
 
La construcción del conocimiento se producirá a través de la socialización, el 
desarrollo de actividades individuales y colaborativas, que generarán y 
consolidarán los aprendizajes, con la mediación y orientación del docente. 
 
 
La antología es un apoyo didáctico durante el desarrollo de la asignatura, la cual 
está organizada en siete temas con sus respectivos subtemas de trabajo, además 
de este recurso, tú estudiante dispondrás de diferentes herramientas como las 
tecnológicas que permitirán ayudarte a complementar tu información. 
 
 
En este documento encontrarás lecturas, ejercicios o actividades que permitan llevar a 
cabo investigaciones, solución de problemas, debates, etcétera, estrategias que 
permitan ejercitar y alimentar tu pensamiento crítico para tomar decisiones. 
 
 
Revisa el material para familiarizarte con los contenidos, puedes administrar tu 
tiempo y planear tu trabajo, lee con atención la información para que te apropies 
de los contenidos, resuelve y/o realiza las actividades ye valuaciones que se 
presenten, participa, consulta material complementario, entrega en tiempo y 
forma las actividades que se soliciten. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OBJETIVO ESPECIFÍCO: 
 
Ejecutar las operaciones algebraicas para 
la resolución de problemas utilizando el 
lenguaje algebraico e interpretando 
formulas 
 
 
 
 
CAPITULO 1. ALGEBRA ELEMENTAL 
 
NUMEROS REALES Y 
LENGUAJE ALGEBRAICO 
Los números reales son el conjunto de números 
sobre los que estudian las matemáticas, ya que 
son todos los números que pueden ser 
representados en una recta numérica. 
EJEMPLOS: 
1) 2 + 6 = 8 
2) (5) (8) = 40 
3) 85 – 10 = 75 
4) 16 / 2 = 8 
5) 5/8 – 2/8 = 3/8 
6) (16) (5) = 80 
7) (6 – 3) + 3 = 6 
8) 5 – 3/4 = 17/4 
9) (1/3) (1/2) = 1/6 
10) 12345 – 12345 = 0 
11) (3) (2/3) = 2 
12) (3/4) (3/4) = 9/16 
13) 3/7 – 4/7 = -1/7 
14) (200) (3) – 900/2 = 450 
15) 7 – 2 + 5 + 50 – 2/3 = 178/3 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1) 33333 – 11111 = 22222 
2) 227389 / 29 = 7841 
3) 92847 / 92847 = 1 
4) El cuadrado de la suma de dos números 
 
5) El triple del cuadrado de la suma de dos números. 
 
6) La suma de 3 números 
A+b+c 
7) La semi suma de dos números. 
(a+b)/2 
8) El cuadrado de un número 
 
9) 9048 + 95732 = 104780 
10) (100 – 200) (2) = - 400 
11) (64 – 4) (12 – 2) = 600 
12) (800) (32 – 32) = 0 
13) 55 – 200 = - 145 
14) (-1) ( 233) = - 233 
15) 1/2 – 3/4 + 1 = 3/4 
El lenguaje algebraico es una forma de 
traducir a símbolos y números lo que 
normalmente tomamos como expresiones 
particulares. De esta forma se pueden 
manipular cantidades desconocidas con 
símbolos fáciles de escribir lo que permite 
simplificar teoremas, formular ecuaciones e 
inecuaciones y el estudio de cómo 
resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a 
resolver problemas matemáticos 
mostrando generalidades. 
EJEMPLOS: 
Los siguientes son ejemplos de las 
expresiones algebraicas más usadas, en 
forma verbal y escrita: 
La suma de dos números 
a + b 
La resta o diferencia de dos números 
X – y 
El producto de dos números 
ab 
El cociente de dos números 
X/y 
El cociente de la suma de dos números, 
sobre la diferencia 
a+b/a-b 
El doble de un número 
2X 
El doble de la suma de dos números 
2(a+b) 
El triple de la diferencia de dos números 
3(x-y) 
La mitad de un número 
X/2 
La mitad de la diferencia de dos números 
(x-4)/2 
 
 
 
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Tema: Operaciones algebraicas 
 
Muchas veces para solucionar problemas cotidianos, éstos se tienen que transformar de lenguaje 
común a lenguaje algebraico, para así obtener una respuesta matemática que ayude a resolverlos. 
“Una expresión algebraica es el resultado de aplicar las cuatro operaciones fundamentales a las 
variables y las constantes” (Rees, Sparks & Sparks, 1991, p. 35). 
Para poder realizar las operaciones fundamentales es importante que sepas manejar las leyes de los 
signos.Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados mediante 
operaciones aritméticas;adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. La expresión 
algebraica está conformada por TÉRMINOS. Ejemplos: 
 
1. (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) 
= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 
= x3 + x2 + 6x – 3 
2. (4x2 − 1) − (x2 + 2) 
= 4x2 − 1 − x2 − 2 
= 3x2 – 3 
3. 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) = 
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 = 
= 2x2 − x – 3 
4.(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) 
= x 6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2 − 4x 
+ 6 
= x 6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x 
+ 6 
= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6 
5.(2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) 
= 6x6 − 10x5 − 12x4 + 8x3 − 6x2 − 
− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2 + 15x + 
+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 
= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12x4 + 25x4 + 18x4 +8x3 − 30x3 + 30x3 − 6x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 
18 
= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x – 18 
 
6. =++−
23323223
3
1
3
2
2
1
4
3
yxyxyxyx 
 
 
3223
6
1
12
13
yxyx + 
 
7. ( )  =+−−−+−− 2222 237 nmnmnmnm 
  2222 237 nmnmnmnm −+−−+−− = 
  =−+−−−− 2222 237 nmnmnmnm 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicios Propuestos 
 
 
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRODUCTOS NOTABLES 
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y 
cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin 
verificar la multiplicación. 
 Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por 
ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un 
producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. 
FACTOR COMÚN 
 
El resultado de multiplicar un binomio por un término se 
obtiene aplicando la propiedad distributiva: 
Ejemplos: 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5._ 
 
 
 
6._ 
 
 
 
7._ 
 
 
 
 
 
8._ 
 
 
 
9._ 
 
 
 
 
 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_(expresi%C3%B3n)
https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_perfecto
https://es.wikipedia.org/wiki/Binomio_conjugado
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
 
 
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10._ 
 
 
 
11._ 
 
 
 
12._ 
 
 
 
13._ 
 
 
 
14._ 
 
 
 
15._ 
 
 
 
16._ 
 
 
 
17._ 
 
 
 
18._ 
) ) 
 
 
19._ 
) ) 
 
 
20._ 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMAS PROPUESTOS 
1._ 
= 
2._ 
= 
3._ 
= 
 4._ 
= 
5._ 
= 
6._ 
= 
7._ 
= 
8._ 
= 
9._ 
= 
10._ 
= 
11.- 
= 
12.- 
 
13.- 
 
14.- 
 
15.- 
+1 
16.- 
+9 
17.- 
 
18.- (x+8) (x-5) 
 
19.- ( 
 
20.- (x+5y) ( 
 
 
 
 
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Tema 4: Factorización 
 
Factorización. 
Factorizar significa descomponer un número o una expresión algebraica en los multiplicadores (factores) que lo/la 
originaron. 
La factorización y los productos notables son operaciones contrarias. El siguiente esquema nos representa esta 
relación. 
 
 
 
 Productos notables 
 
 
 
 
 
 
 Dos binomios con un término común Trinomio de segundo grado 
 
 
 El cuadrado de un binomio Trinomio cuadrado perfecto 
 
 
 Dos binomios conjugados Diferencia de cuadrados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Factorización 
 
 
 
1. Factorización de un trinomio de segundo grado. 
 
Este trinomio se distingue porque tiene un término cuadrático (variable a la 2a potencia), un término lineal 
(variable a la 1a potencia) y un término independiente (no contiene a la variable). 
Un trinomio de segundo grado se factoriza en dos binomios con un término común, de acuerdo al esquema 
anterior. 
Observamos en el siguiente mapa el procedimiento para factorizar el trinomio de segundo grado: x2 - 5x - 14 
 
Descripción de la actividad Ejecución de la actividad 
1o Extraemos la raíz cuadrada del término cuadrático. Esta raíz es 
el término común en ambos binomios. 
( x ) (x ) 
2o “Buscamos” dos números que multiplicados den como 
resultado el término independiente, pero que sumados esos 
mismos factores resulten igual al coeficiente lineal (de x) 
(-7) (2) = -14 
 
(-7) + (2) = -5 
3o Esos números “encontrados” son los términos NO comunes y 
se sustituyen, con todo y su signo, en los binomios del primer 
paso. 
(x - 7) (x + 2) 
4º Por lo tanto concluimos que : X2 - 5x - 14 = (x - 7) (x + 2) 
 
 
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Ejemplos. 
1. x2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7) (-6 )(-7 ) = +42 
 
 
 (-6 ) + (-7 ) = -13} 
 
 
2. x2 + 4x - 12 = (x + 6)(x - 2) (+6) (-2) = -12 
 
 
 (+6) + (-2) = +4 
 
 
3. x2 - 11x + 10 = (x - 1)(x - 10) (-1) (-10) = +10 
 (-1) + (-10) = -11 
 
 
4. x2 + 7x - 78 = (x + 13 )(x – 6 ) (+13) (-6) = -78 
 (+13) + (-6) = +7} 
 
 
5. x2 - 5x - 84 = (x + 7) (x - 12) (-7) (+12) = - 84 
 (+7) + (-12) = - 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Factoriza los siguientes trinomios de segundo grado. 
 
 
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto (TCP). 
Estos trinomios se caracterizan por tener dos términos cuadráticos (raíz cuadrada exacta) y un tercer término, que 
No es cuadrático. Este término debe ser igual, en valor absoluto, al doble del producto de las raíces de los términos 
cuadráticos para garantizar que se trata de un TCP. 
Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza en un binomio al cuadrado, en donde los elementos de este binomio 
son las raíces de los cuadráticos separados por el signo del término no cuadrático. 
En el siguiente mapa observamos el procedimiento para factorizar el TCP: 
 9x2 – 24xy + 16y2. 
Descripción de la actividad Ejecución de la actividad 
1º Extraemos la raíz cuadrada de los términos cuadráticos 9x2 - 24xy + 16y2 
 
 
 3x 4y 
2º Comprobamos que el doble del producto de las dos raíces es 
igual, en valor absoluto, al término No cuadrático. 
2(3x)(-4y) = -24xy 
3º Con esto aseguramos que se trata de un TCP y el binomio 
estará formado por las raíces 3x y 4y. 
(3x – 4y) 
4º Por lo tanto afirmamos que: 9x2 - 24xy + 16y2 = (3x - 4y)2 
 
 
 
Ejemplos. 
1. 1 - 8z + 16z2 = (1 - 4z)2 
 
1 4z 2(1)(4z) = 8z 
 
2. 4u2 + 20uv + 25v2 = (2u + 5v)2 
 
2u 5v 2(2u)(5v) = 20uv 
 
1. x2 – x – 6 11. x2 – 16x + 63 21. x2 + 17x + 52 
 
2. x2 + 8x + 7 12. x2 – 17x + 66 22. x2 + 7x +10 
 
3. x2 – 9x – 22 13. x2 + 17x – 38 23. x2 – 19x + 70 
 
4. x2 – 7x + 12 14. x2 + 16x – 17 24. x2 – 20x + 19 
 
5. x2 + 4x – 45 15. x2 – x – 72 25. x2 – 7x – 228 
 
6. x2 – 14x + 45 16. x2 + 16x +48 26. x2 – 22x + 105 
 
7. x2 – 14x + 24 17. x2 – 16x - 57 27. x2 + 30x + 189 
 
8. x2 – 7x + 6 18. x2 – 17x + 70 28. x2 – 25x + 156 
 
9. x2- 12x – 45 19. x2 + 22x + 57 29. x2 + 12x – 364 
 
10. x2 + 12x + 27 20. x2 – 23x + 132 30. x2 + 42x + 432 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. e2 - 3ef + 9f2 = ( e - 3f )2 
 
 e 3f 2( e)(3f) = 3ef 
4. 36w2 + 4wz + z2 = (6w + z)2 
 
6w z 2(6w)( z) = 4wz 
5. 16f2 - 56fg + 49g2 = (4f - 7g)2 
 
4f 7g 2(4f)(7g) = 56fg 
 
 
Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. x2 – 4xy + 4y2 17. 81x2 + 72x + 16 33. x18 – 14x9y3 + 49y6 
 
2. x2 + 34xy+289y2 18. 36x2 – 108xy + 81y2 34. 36x10 + 84x5y3 + 49y6 
 
3. x2 – 18xy + 81y2 19. 64x2 + 128xy + 64y2 35. 16x4 – 24x2y2 + 9y4 
 
4. 49x2 + 70x + 25 20. 121x2 – 110x + 25 36. 49x6– 56x3y4 + 16y8 
 
5. 36x2 + 84x + 49 21. - x + 37. 9x
14 – 42x7y3 + 49y6 
 
6. x2 – 10xy + 25y2 22. + + 38. 64x
6 + 32x3y2 + 4y4 
 
7. 144x2 – 216x + 81 23. x2 - x + 39. 25x8- 110x4y5 + 121y10 
 
8. x2 + 16xy + 64y2 24. x2 + x + 40. 169x10 – 78x5y5 + 9y10 
 
9. x2 + 60x + 900 25. x2 - x + 41. 9x4 – 12x3 + 4x2 
 
10. x2 – 50xy + 625y2 26. x2 - 10x + 4 42. 9y
8 – 12y9 + 4y10 
 
11. 4x2 + 16xy + 16y2 27. 9x2 – x + 43. 81x8 – 54x7 + 9x6 
 
12. 25x2 + 60xy +36y2 28. x2 + x + 44. 81x6 + 54x4 + 9x2 
 
13. 9x2 – 12xy + 4y2 29. x2 - x + 45. 25y14 + 50y12 + 25y10 
 
14. 49x2 – 70x + 25 30. 25x2 + 4x + 46. 16x4 – 48x5 + 36x6 
 
15. 81x2 – 54xy + 9y2 31. 4x4 – 12x2y2 + 9y4 47. 100x12 + 180x10 + 81x8 
 
16. 16x2 + 64x + 64 32. 25x8 – 20x4y2 + 4y4 46. 121y10 – 264y9 + 144y8 
 
 
 
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3.Factorización de una diferencia de cuadrados. 
 
 
Estas expresiones están formadas por dos términos cuadráticos (raíz cuadrada exacta) separados por un signo de 
diferencia. 
Se factorizan en dos binomios conjugados en donde el término común es la raíz cuadrada del cuadrático positivo y 
el término simétrico es la raíz cuadrada del cuadrático “negativo”. 
 En el siguiente mapa observamos el procedimiento para factorizar la diferencia de cuadrados: 
49 w2 - z2 
Descripción de la actividad Ejecución de la actividad 
1º Extraemos raíz cuadrada de ambos términos cuadráticos. 49 w2 - z2 
 
 
 7w z 
 
2º Anotamos las dos raíces en los binomios. 
(7w + z) (7w - z) 
 
3º Finalmente tenemos que: 
49w2 - z2 = (7w + z)(7w - z) 
 
 
 
Ejemplos. 
1. 121x2 - 16y2 = (11x - 4y) (11x + 4y) 
 
11x 4y 
 
2. u2 - v2 = ( u + v) ( u - v) 
 
 
 u v 
 
3. c2 - 64d2 = ( c - 8d) ( c + 8d) 
 
 
 c 8d 
Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados. 
 
1. a2 – 9b2 9. 25a2 – 16 y2 17. c2 - d6 
 
2. 16w2 – x2 10. 9x4 – 16y6 18. a8 – b4 
 
3. 25b2 – y2 11. 49a8 – 25b2 19. 81c12 – 16c4 
 
4. c2 – 36d2 12. 25x6 – 9y4 20. 625r16 – 256t12 
 
5. x2 – 64y2 13. 64h8 – 81k6 21. 16x4 – d8 
 
6. 4a2 – 9b2 14. r4 – t6 22. x4 - y2 
 
 
 
P á g i n a 18 | 28 
 
7. 9h2 - 16k2 15. i6 – j4 23. 225 x2 – a6 
 
8. 36r2 – 25t2 16. a12 – b2 24. x2 – y4 
 
 
 4.Factorización de una adición o sustracción de cubos. 
Una suma o diferencia de cubos está formado por dos términos que se suman o se restan y tienen raíz cúbica 
exacta. 
Esta expresión se factoriza en el producto de un binomio por un trinomio. Al binomio lo forman las raíces cúbicas 
de los “cubos”, sumadas o restadas según sea la expresión original. El trinomio está formado por la suma de los 
“cuadrados” de las raíces cúbicas, menos o más el producto de las raíces cúbicas, si la expresión original es suma o 
resta, respectivamente. 
 
Ejemplo 1: Factoriza x3 − y3 
 
Descripción de la actividad Ejecución de la actividad 
1º Extraer la raíz cúbica de ambos términos. 
 x3 − y3 
 
 
 x y 
2º Formamos el binomio y el trinomio, ya mencionados. (x − y) (x2 + xy + y2) 
3º Finalmente tenemos que: x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) 
 
 
Ejemplo 2: Factoriza 64y3 + 8z3 
 
 
Descripción de la actividad Ejecución de la actividad 
1º Extraer la raíz cúbica de ambos términos. 
 64y3 + 8z3 
 
 
 4y 2z 
2º Formamos el binomio y el trinomio, ya 
mencionados. 
(4y + 2z)(16y2 − 8yz + 4z2) 
3º Finalmente tenemos que: 64y3 + 8z3 = (4y + 2z) (16y2 - 8yz + 4z2) 
 
Factoriza las siguientes sumas o diferencia de cubos perfectos. 
 
1. 8x3 – y3 9. 729t6 – 216v3 
 
2. a3 + 27b6 10. x3 + 512 y6 
 
3. 64x6 – 8y3 11. m6 – n3 
 
4. a3 + 64b3 12. 1331c3 + 512d6 
 
5. 125a9 – b6 13. x6 – y3 
 
6. x6 + 27y9 14. 8a3 + 1000b3 
 
 7. m3 – m6 
 
15. x6 – y9 
 8. a6 + 216b6 
 
 
P á g i n a 19 | 28 
 
 
 
 
5.Factorización de un trinomio de segundo grado con el coeficiente cuadrático diferente de UNO. 
Este trinomio también tiene un término cuadrático, un término lineal y un término independiente, con la 
diferencia de que su coeficiente cuadrático no es UNO; sin embargo, su factorización es análoga a la que ya 
realizamos. 
Los trinomios de esta forma se factorizan en dos binomios diferentes. 
 
En el siguiente mapa observamos el procedimiento para factorizar: 6x2 - 7x - 3 
 
Descripción de la actividad Ejecución de la actividad 
1º Multiplicamos toda la expresión por el coeficiente 
cuadrático (6) 
6x2(6) - 7x(6) - 3(6) 
2º Reescribimos el trinomio multiplicado por 6, con algunas 
variantes. 
(6x)2 - 7(6x) - 18 
3º Este trinomio ya es análogo al que tiene coeficiente 
cuadrático UNO y momentáneamente lo factorizamos en dos 
binomios con un término común, con +2 y -9 como los 
términos No comunes que multiplicados resultan -18 y 
sumados, -7 
(6x)2 - 7(6x) - 18 = (6x + 2)(6x – 9) 
4º Dividimos toda la expresión por 6, para regresar a nuestro 
trinomio original. = 
5º En el miembro izquierdo obtenemos el trinomio original; en 
el miembro de la derecha el divisor 6 lo factorizamos como 2 
por 3. 
6x2 – 7x - 3 = 
6º En el miembro de la derecha dividimos (6x + 2) entre dos y 
(6x – 9) entre tres, obteniendo: 
6x2 – 7x - 3 = (3x + 1) (2x – 3) 
7º Finalmente tenemos que: 6x2 – 7x - 3 = (3x + 1) (2x – 3) 
 
1. 3x2 - 2x - 8 = (3x2)(3) - (2x)(3) - 8(3) 
 = (3x)2 - 2(3x) - 24 
 = (3x – 6) (3x + 4) 
 = 
 =(x – 2) (3x + 4) 
 
2. 2x2 + 7x - 30 = (2x2)(2) + (7x)(2) - 30(2) 
 = (2x)2 + 7(2x) - 60 
 = (2x - 5)(2x + 12) 
 = 
 = (2x - 5)(2x + 6) 
 
 
Factoriza los siguientes trinomios de segundo grado (a ≠ 1) 
1. 2x2 + 7x + 3 21. 5x2 – 8x – 21 41. 8x2- 26x + 15 
 
2. 6x2 + 13x + 6 22. 6x2 – 16x - 6 42. 21x2 – 19x + 4 
 
3. 3x2 – 13x – 10 23. 7x2 – 25x – 12 43. 6x2 + 19x – 7 
 
 
 
P á g i n a 20 | 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 3x2 – 7x – 6 24. 7x2 – 24x – 16 44. 9x2 + 8x – 1 
 
5. 5x2 – 8x + 3 25. 3x2 – x – 10 45. 15x2 + 27x – 6 
 
6. 6x2 + 5x - 6 26. 6x2 – 17x + 5 46. 3x2 + 8x – 35 
 
7. 2x2 – 7x + 6 27. 8x2 – 15x – 2 47. 4x2 + 12x – 27 
 
8. 3x2 + 10x – 8 28. 4x2– 31x + 21 48. 11x2 + 42x – 8 
 
9. 2x2 – x – 6 29. 20x2 – 2x – 6 49. 8x2 + 10x – 3 
 
10. 5x2 + 6x – 8 30. 2x2 – 3x – 35 50. 6x2 – 19x + 15 
 
11. 6x2 – 13x + 6 31. 3x2 + 6x– 9 51. 3x2 + x – 14 
 
12. 9x2 – 3x – 2 32. 6x2 + 11x – 35 52. 3x2 + 4x – 32 
 
13. 3x2 – 7x + 4 33. 4x2 – 7x + 3 53. 8x2 – 38x – 10 
 
14. 6x2 – x – 5 34. 10x2 – 3x – 4 54. 10x2 + 17x – 6 
 
15. 5x2 + 16x – 16 35. 6x2 + 9x – 6 55. 10x2 – x – 2 
 
16. 4x2 – 7x + 3 36. 8x2 – 2x – 21 56. 5x2 + 31x – 28 
 
17. 2x2 + 3x – 9 37. 2x2 + 13x – 7 57. 13x2 + 24x – 4 
 
18. 4x2 – 16x + 15 38. 3x2 + 10x – 25 58. 2x2 – 8x – 42 
 
19. 5x2 + 11x – 12 39. 4x2 + 2x – 72 59. 20x2 – 21x + 4 
 
20. 2x2 + 7x + 6 40. 12x2 + 7x – 5 60. 8x2 + 35x – 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 21 | 28 
 
Instrucciones: Realice las factorizaciones misceláneas correspondientes a los ejercicios que siguen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las respuestas a cada uno de los ejercicios misceláneos son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema 5: Fracciones algebraicas 
 
Operaciones con fracciones algebraicas. 
Las operaciones más comunes con fracciones algebraicas son la multiplicación y la división. Estas operaciones se 
facilitan si factorizamos los elementos de las fracciones y consideramos que al dividir entre un número (divisor) 
equivale a multiplicar por el recíproco del divisor. 
Ejemplos 
 
 . . = . . 
 
 = 
 
 
 
 . . = . . 
 
 = 
 
 . : = . . 
 = . . 
 = 1 
 
Instrucciones: Realice las reducciones a la mínima expresión de las fracciones algebraicas siguientes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 24 | 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las respuestas a los ejercicios correspondientes son 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 25 | 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 26 | 28 
 
Tema 6: Ecuaciones lineales 
Instrucciones: Obtenga el valor de la incógnita en las ecuaciones siguientes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Hallar el número que disminuido en sus equivale a su duplo disminuido en 11 
 
 
16) Hallar el número que aumentado en sus equivale a su triplo disminuido en 14 
 
 
17) El largo de un buque que es 800 pies excede en 744 pies a los del ancho. Cuál es el ancho del buque. 
 
 
18) Hallar dos números consecutivos tales que los del mayor equivalgan al menor disminuido en 4 
 
 
19) Hallar dos números consecutivos tales que los del menor excedan en 17 a los del mayor 
 
 
20) Después de gastar y de lo que tenía me quedan 39 pesos. ¿Cuánto tenía? 
 
 
Las respuestas a cada inciso son las siguientes: 
 
Ejercicio Respuestas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 27 | 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación correspondiente al ejercicio Respuestas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 28 | 28