Integración por Cuadratura de Gauss - Legendre - Apuntes de Ingeniería Civil

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INTEGRACIÓN POR CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Este método es similar a la regla del trapecio con múltiples
intervalos; pero aquí los intervalos no necesariamente son
iguales. Este criterio de integración numérica; lo que en
realidad hace es buscar dos o más puntos de la función,
raíces de polinomios ortogonales o de Legendre, de modo
que se reduzca el error que conlleva método del trapecio
que muchas veces son muy grandes.
Algoritmo de integración
𝐼 = න𝑎
𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≅ 𝑏 − 𝑎2 ෍𝑖=1𝑛 𝑤𝑖 . 𝑓 𝑏 − 𝑎2 𝑧𝑖 + 𝑎 + 𝑏2
Donde: 𝑛 número de puntos a emplear𝑤𝑖 es el coeficiente de la cuadratura de Gauss𝑧𝑖 es la abscisa de la cuadratura de Gauss
Las raíces de los polinomio de Legendre 𝑃𝑛+1(𝑧) y sus
factores de ponderación para la cuadratura de Gauss –
Legendre se pueden encontrar en forma tabular; tal como
se muestra en la siguiente tabla.
𝑧𝑖 𝑧𝑖
Dos puntos: 𝑛 = 2
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 ∶ Calcule la integral ,0.21.2𝑒𝑥2𝑑𝑥׬ usando el método
de la cuadratura de Gauss para dos puntos𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ________________________________________________________
𝐼 = න𝑎
𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≅ 𝑏 − 𝑎2 𝑤1 . 𝑓 𝑏 − 𝑎2 𝑧1 + 𝑎 + 𝑏2 + 𝑤2 . 𝑓 𝑏 − 𝑎2 𝑧2 + 𝑎 + 𝑏2
De los valores tabulares obtenemos:𝑤1 = 𝑤2 = 1 ;𝑧1 = −0.5773502692 ; 𝑧2 = 0.5773502692
Reemplazando valores en 𝐼:
𝐼 ≅ 1.2 − 0.22 1. 𝑓 1.2 − 0.22 (−0.5773502692)+ 1.2 + 0.22 + 1. 𝑓 1.2 − 0.22 𝑧2+ 1.2 + 0.22𝐼 ≅ 0.5 1. 𝑓 0.41132 + 1. 𝑓 0.98868
𝐼 ≅ 0.5 1. 1.18434 + 1. 2.65777 = 1.921055
Por lo tanto
න0.21.2𝑒𝑥2𝑑𝑥 ≅ 1.92106
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 ∶ Calcule la integral 13׬ 3𝑒𝑥𝑑𝑥, usando el método
de la cuadratura de Gauss para 2 y 3 puntos𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ________________________________________________________𝑛 = 2: 𝐼 ≅ 51.9309𝑛 = 3: 𝐼 ≅ 52.1004