Método de Posición Falsa - Apuntes de Ingeniería Civil

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METODO DE POSICION FALSA
El método de posición falsa, también llamada de
Regula – Falsi, al igual que el algoritmo de la
secante, aproxima la derivada de 𝑓′(𝑥𝑘) del
algoritmo de la secante por el cociente
pero este caso los valores de 𝑥𝑘 y 𝑥𝑘−1 se
encuentran el lados opuestos de la raíz buscada y
sus valores funcionales correspondientes tiene
signos opuestos; esto es𝑓 𝑥𝑘 × 𝑓 𝑥𝑘−1 < 0
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓 𝑥𝑘−1𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
Se denotan 𝑥𝑘 y 𝑥𝑘−1 como 𝑎 y 𝑐, respectivamente.
El método consiste en trazar una línea recta que
unen los puntos 𝐴 y 𝐵 de coordenadas (𝑎, 𝑓 𝑎 ) y(𝑐, 𝑓 𝑐 ) respectivamente. Se reemplaza 𝑓 𝑥 en el
intervalo (𝑎, 𝑐) con el segmento de recta 𝐴𝐵 y en el
punto de intersección se este segmento con el eje𝑥, 𝑏 será la siguiente aproximación a ҧ𝑥.
Se evalúa 𝑓 𝑏 y se compara su signo con el de𝑓 𝑐 ; si son iguales, se actualiza 𝑐 sustituyendo su
valor con el de 𝑏; si los signos son diferentes, se
actualiza 𝑎 sustituyendo su valor con el de 𝑏. El
objetivo de este método es mantener los valores
los valores los valores descritos (𝑎 y 𝑐) cada vez
más cercanos entre sí y la raíz entre ellos.
Se traza una nueva recta línea secante entre los
puntos actuales 𝐴 y 𝐵 y se repite el proceso hasta
que satisfaga el criterio de exactitud.𝑐 − 𝑎 < 𝑇𝑜𝑙 1 𝑜 𝑓 𝑏 < 𝑇𝑜𝑙 2
En este caso se toma como aproximación a ҧ𝑥 la
medida entre 𝑎 y 𝑐.
Para calcular el valor de 𝑏 se sustituye 𝑥𝑘 por 𝑐 y𝑥𝑘−1 por 𝑎 en el algoritmo de la secante con lo que
se llega a:
𝑏 = 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑓 𝑐 − 𝑓 𝑎 𝑓 𝑎 = 𝑎𝑓 𝑐 − 𝑐𝑓 𝑎𝑓 𝑐 − 𝑓 𝑎
𝑓 1 = −7 ; 𝑓(−1) = −29 ; 𝑓(2) = 16
Según el teorema de Bolzano hay una raíz real, 
por lo menos, en el intervalo [1, 2]; por lo tanto.𝑎 = 1 ; 𝑓(𝑎) = −7𝑐 = 2 ; 𝑓(𝑐) = 16⟹ 𝑏 = 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑓 𝑐 − 𝑓 𝑎 𝑓 𝑎 = 1 − 2 − 116 − −7 −7 = 1,304347𝑓(𝑏) = (1,304347)3+2(1,304347)2+10(1,304347) − 20𝑓(𝑏) = −1,334774
𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒐: Utilice el método de posición falsa para obtener
una raíz real del polinomio.𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 = 0
Con una tolerancia 10−3 para 𝑓(𝑏)𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Como 𝑓 𝑏 < 0, (igual signo que 𝑓 𝑎 ), entonces se 
reemplaza el valor de 𝑎 con el de 𝑏, quedando el 
nuevo intervalo [1,304347 , 2].𝑎 = 1,304347; 𝑓(𝑎) = −1,334774𝑐 = 2 ; 𝑓(𝑐) = 16
⟹ 𝑏 = 1,304347 − 2 − 1,30434716 − −1,304347 −1,304347 = 1,357912𝑓 𝑏 = 𝑓 1,357912 = −0,229142𝑎 = 1,357912;𝑓(𝑎) = −0,229142𝑐 = 2 ;𝑓(𝑐) = 16
It. Nº a c b 𝒇(𝒃)
1 1,0 2,0 1,304347 1,334774
2 1,304347 2,0 1,357912 0,229142
3 1,357912 2,0 1,366977 0,38608
4 1,366977 2,0 1,368500 0,006499
5 1,368500 2,0 1,368756 0,001099
6 1,368756 2,0 1,368799 1,93x10−4
Como 1,93x10−4 < 10−3, entonces una raíz aproximada
es: ҧ𝑥 = 1.368799