clase13 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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CLASE 13
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Definición 13.1. Dada una función f : I → R decimos que x0 ∈ I es un punto máximo (absoluto)
de f si f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ I . En este caso decimos que f(x0) es el valor máximo
(absoluto) de f . De forma similar podemos definir un punto mı́nimo y el valor mı́nimo de f .
Observación. Los puntos máximos absolutos no son únicos en general, pero el valor máximo si
lo es. Por ejemplo, la función coseno definida en todos los reales tiene un único valor máximo
absoluto: 1. Este valor máximo se obtiene en cualquier punto en el dominio de la forma 2πk donde
k es un número entero.
Definición 13.2. Sea f : I → R una función definida en un intervalo I . Decimos que x0 ∈ I es un
punto máximo local de f si existe δ > 0 tal que f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[∩ I .
El número real f(x0) se denomina valor máximo local. De manera análoga podemos definir punto
mı́nimo local y valor mı́nimo local de f .
Observación. Claramente, el máximo (mı́nimo) absoluto es en particular un máximo (mı́nimo)
local. La recı́proca no es cierta en general.
Teorema 13.3. (Teorema de Fermat) Si f : I → R tiene un máximo o mı́nimo local en un punto
x0 en el interior de I y f es derivable en ese punto, entonces f ′(x0) = 0.
Observación. La afirmación recı́proca no es cierta en general. Por ejemplo f(x) = x3 es una
función creciente para todo x ∈ R. Sin embargo f ′(x) = 3x2 implica que f ′(0) = 0 pero el cero
no es un punto máximo o mı́nimo local como vemos en la figura 12.
Teorema 13.4. (Criterio de la primera derivada) Sea f : I → R una función continua en I y
derivable en el interior de I − {x0}.
1. Si f ′(x) ≥ 0 para x < x0 y f ′(x) ≤ 0 para x > x0, entonces x0 es el máximo de f .
2. Si f ′(x) ≤ 0 para x < x0 y f ′(x) ≥ 0 para x > x0, entonces x0 es el mı́nimo de f .
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x
y
a
b
Figura 13.1: Valores máximos y mı́nimos locales.
Restringiendo f a subintervalos de I encontramos un criterio similar para máximos y mı́nimos
locales.
Ejemplo 13.5. Para la función f(x) = |x| tenemos que f ′(x) = −1 < 0 para x < 0 y f ′(x) =
1 > 0 para x > 0. Por el criterio de la primera derivada el punto x0 = 0 es el mı́nimo de f .
Definición 13.6. Sea f : I → R una función continua. Un punto crı́tico de f es un punto x0 en el
interior de I donde la función no es derivable, o la función es derivable y f ′(x0) = 0.
Teorema 13.7. (Criterio de la segunda derivada) Sean f : I → R una función que se puede derivar
dos veces en el interior de I y x0 un punto crı́tico en dicho interior (por ende, f ′(x0) = 0).
1. Si f ′′(x0) < 0, entonces x0 es un máximo local.
2. Si f ′′(x0) > 0, entonces x0 es un mı́nimo local.
Damos una idea de la prueba de la primera parte y dejamos la segunda como ejercicio. Como
f ′′(x0) = ĺım
x→x0
f ′(x)− f ′(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
f ′(x)
x− x0
< 0,
entonces para x suficientemente cerca de x0 tenemos que
f ′(x)
x− x0
< 0. Esto implica que f ′(x) > 0
cuando x < x0 y f ′(x) < 0 cuando x > x0. Por el criterio de la primera derivada, x0 debe ser
máximo local.
Observación. Si f ′′(x0) = 0 en general no podemos decidir si el punto crı́tico x0 es un máximo
local, mı́nimo local o ninguno de los dos. Por ejemplo, la funciones definidas por f(x) = −x4,
g(x) = x4 y h(x) = x3 tienen un punto crı́tico en x0 = 0 y segunda derivada nula en x0. Sin
embargo x0 = 0 es un máximo de f , un mı́nimo de g, y ninguna de las anteriores para h. En estos
casos es mejor usar el criterio de la primera derivada.
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Ejemplo 13.8. La función f(x) = 6x− x2 tiene como derivada f ′(x) = 6− 2x, entonces x0 = 3
es el único punto crı́tico de la función. Como f ′′(x) = −2 < 0 esto nos dice que x0 es un máximo
local. De hecho x0 es el máximo absoluto de f porque f ′(x) > 0 para x < x0 y f ′(x) < 0 para
x > x0.
Ahora volvemos al problema original: ¿Cómo calcular los máximos y mı́nimos de una función
continua definida en un intervalo cerrado? Como vimos antes, el Teorema de Weierstrass nos dice
que dichos puntos deben existir.
Teorema 13.9. Sea f : I → R una función continua definida en un intervalo cerrado. Para encon-
trar el máximo (o mı́nimo) absoluto evaluamos f en los extremos de I y en los puntos crı́ticos. Si
f(x0) es el máximo de dichos valores, entonces el punto x0 es un máximo absoluto de f .
Ejemplo 13.10. La función de costo de una empresa está definida por C(x) = −2x4 + 25x3 −
98x2 + 129x miles de dólares, donde x representa cientos de unidades producidas en una fábrica
con una capacidad máxima de producción de 400 unidades diarias. Encuentre el máximo costo y
el mı́nimo costo de producción.
El dominio de la función en este caso es el intervalo cerrado [0, 4]. La función es derivable
en todo punto ası́ que es necesario evaluarla sólo en los extremos y en los puntos crı́ticos. En los
extremos tenemos que C(0) = 0 y C(4) = 36. Como C ′(x) = −8x3 +75x2−196x+129 haciendo
C ′(x) = 0 obtenemos dos puntos crı́ticos: x1 = 1 y x2 = 3. Entonces C(1) = 54 y C(3) = 18
implican que 0 soles es el costo mı́nimo y 54 000 soles es el máximo costo de producción.
Observación. En caso sea necesario clasificar los puntos como máximos o mı́nimos locales pode-
mos usar el criterio de la primera o segunda derivada.
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