clase06 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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CLASE 6
DERIVADAS
6.1. La derivada. Definición y ejemplos
Definición 6.1. Sea A ⊂ R un intervalo o unión de intervalos, x0 ∈ A y f : A→ R. La derivada
de f en x0 es el lı́mite
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
en caso exista.
Cuando x0 pertenece al interior del dominio de f , la derivada puede interpretarse geométrica-
mente como la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función f en el punto (x0, f(x0)) (ver
la figura 6.1).
x
y L : y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).
x0
f(x0)
x
f(x)
f(x)− f(x0)
x− x0
Figura 6.1: La derivada como recta tangente.
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Ejemplo 6.2. Sea f : R → R, definido por f(x) = c, donde c es constante. Luego tenemos que,
para todo x0 ∈ R,
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
c− c
x− x0
= ĺım
x→x0
0 = 0.
Como podemos ver la derivada en cualquier punto del dominio de una función constante es siempre
cero.
Ejemplo 6.3. Sea f : R→ R, definido por f(x) = x+ 5. Tenemos que para todo x0 ∈ R
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
x+ 5− (x0 + 5)
x− x0
= ĺım
x→x0
1 = 1.
Definición 6.4. Considerando los puntos x0 ∈ A para los cuales f ′(x0) existe, formamos un sub-
conjunto B ⊂ A y una función f ′ : B → R que asocia, a cada elemento x ∈ B, su derivada f ′(x).
La función f ′ obtenida es llamada la función derivada de f .
Ejemplo 6.5. Para f : R→ R, f(x) = x2, para todo x0 ∈ R
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
x2 − x20
x− x0
= ĺım
x→x0
x+ x0 = 2x0.
La igualdad f ′(x) = 2x se escribe, por abuso de notación, como
(x2)′ = 2x.
Esta notación será frecuente para aplicaciones usuales.
Notaciones (aquı́ y = f(x)):
f ′(x),
df(x)
dx
, y′,
dy
dx
.
6.2. Derivadas de funciones conocidas
Recordemos las identidades del seno y coseno de la suma de ángulos:
sen(α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β)
cos(α + β) = cos(α) cos(β)− sen(α) sen(β).
Mendiante estas, podemos deducir las derivadas de las funciones trigonométricas seno y coseno.
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Ejemplo 6.6. Calculemos la derivada de la función seno:
sen′(x) = ĺım
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
,
= ĺım
h→0
sen(x) cos(h) + cos(x) sen(h)− sen(x)
h
= ĺım
h→0
sen(x)
cos(h)− 1
h
+ cos(x)
sen(h)
h
= sen(x) ĺım
h→0
cos(h)− 1
h
+ cos(x) ĺım
h→0
sen(h)
h
= cos(x),
recordando que ĺım
h→0
cos(h)− 1
h
= 0 y ĺım
h→0
sen(h)
h
= 1.
Del mismo modo, calculamos la derivada de la función coseno
cos′(x) = ĺım
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
,
= ĺım
h→0
cos(x) cos(h)− sen(x) sen(h)− cos(x)
h
= ĺım
h→0
cos(x)
cos(h)− 1
h
− sen(x)sen(h)
h
= cos(x) ĺım
h→0
cos(h)− 1
h
− sen(x) ĺım
h→0
sen(h)
h
= − sen(x).
En conclusión, tenemos que sen′(x) = cos(x) y cos′(x) = − sen(x), para todo x ∈ R.
Teorema 6.7. Sea A intervalo o unión de intervalos, x0 ∈ A y f : A→ R. Si f es derivable en x0,
entonces f es continua en x0.
Demostración. La prueba se basa en el cálculo del siguiente lı́mite, sabiendo que x0 ∈ A:
ĺım
x→x0
f(x)− f(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
(x− x0) = f ′(x0) ĺım
x→x0
(x− x0) = 0,
y esto implica que ĺım
x→x0
f(x) = f(x0).
El recı́proco del teorema anterior es falso. Por ejemplo, considere f : R → R, f(x) = |x|.
Ciertamente f es continua, en particular, es continua en x = 0. Sin embargo, no existe f ′(0). En
efecto, para analizar la existencia de la derivada del valor absoluto en x = 0, debemos estudiar el
lı́mite
ĺım
h→0
|0 + h| − |0|
h
.
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Para esto, calculemos el lı́mite lateral derecho:
ĺım
h→0+
|h| − |0|
h
= ĺım
h→0+
h
h
= 1,
donde notamos que, si h tiende a 0 por la derecha entonces |h| = h > 0. Por otro lado,
ĺım
h→0−
|h| − |0|
h
= ĺım
h→0+
−h
h
= −1,
pues en este caso |h| = −h < 0. Como los lı́mites laterales son distintos, concluimos que no existe
el lı́mite.
Ejemplo 6.8. Verifiquemos que la función logaritmo ln : ]0,+∞[→ R es derivable. Comenzamos
calculando su derivada en x0 = 1:
ln′(1) = ĺım
h→0
ln(1 + h)− ln(1)
h
= ĺım
h→0
1
h
ln(1 + h) = ĺım
h→0
ln
(
(1 + h)1/h
)
Dado que ln es continua, el lı́mite anterior existirá, si existe el lı́mite ĺım
h→0
(1 + h)1/h. Este lı́mite ya
apareció anteriormente: si h = 1/n:
e = ĺım
n→∞
Å
1 +
1
n
ãn
Ası́, tenemos que ln′(1) = ln(e) = 1.
Si ahora x > 0 es cualquiera, tenemos
ln′(x) = ĺım
h→0
ln(x+ h)− ln(x)
h
= ĺım
h→0
1
h
ln
(
1 +
h
x
)
,
= ĺım
h→0
1
x
x
h
ln
(
1 +
h
x
)
=
1
x
ĺım
u→0
1
u
ln
(
1 + u
)
,
=
1
x
ĺım
u→0
ln
(
1 + u
)
− ln(1)
u
=
1
x
ln′(1) =
1
x
,
gracias al cambio u = h/x (u→ 0 cuando h→ 0) y observando que ln(1) = 0. Por lo tanto, para
x > 0
ln′(x) =
1
x
.
La fórmula de la derivada de la función exponencial ex, será dada en la clase 7, como una
aplicación de la regla de la cadena. En esa clase, probaremos que
d
dx
ex = ex.
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