clase10 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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CLASE 10
APLICACIONES DE LA DERIVADA
10.1. Razón de cambio
Variación o incremento
En adelante, consideraremos funciones definidas sobre intervalos de la recta y la letra I deno-
tará a un intervalo cualquiera.
Definición 10.1. Sea f : I → R con x0, x ∈ I , y = f(x), la variación de x es
∆x = x− x0.
La variación de la función f entre x0 y x, también llamada variación de y, es
∆y = y − y0 = f(x)− f(x0).
Ejemplo 10.2. Suponga que el costo total, en dólares, de fabricar q unidades de cierto artı́culo es
C(q) = 3q2 + 5q + 10.
Si el nivel actual de producción es de 40 unidades, calcule la variación del costo si se producen 41
unidades.
Solución. Vemos que q = 40 y ∆q = 1. Entonces, la variación del costo entre 40 y 41 unidades es
∆C = C(q + ∆q)− C(q) = C(41)− C(40) = 5258− 5010 = 248.
Ejemplo 10.3. La función de ingreso de la empresa de cosméticos ABC está determinada por
I(q) = q2 + 3q millones de soles, donde q está dada en miles de unidades. Si actualmente se están
vendiendo 25 000 unidades ¿Cuál será la variación en el ingreso cuando las ventas
1. aumenten en 5 000 unidades, y
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2. disminuyan en 3 000 unidades?
Solución. Como en la función de ingreso, la variable q está en miles de unidades, entonces vender
25 000 unidades se debe interpretar como q0 = 25. De la misma manera, un aumento de las ventas
de 5 000 unidades se interpreta como ∆q = 5 y una disminución de las ventas en 3 000 unidades
se interpreta como ∆q = −3.
Primero determinaremos la variación del ingreso I entre q0 = 25 y q = q0 +∆q = 25+5 = 30.
En este caso:
∆I = I(30)− I(25),
= (302 + 3 · 30)− (252 + 3 · 25),
= +290.
Es decir, cuando las ventas varien de 25 000 a 30 000 unidades, el ingreso de la empresa ABC
aumentará en 290 millones de soles.
Ahora determinaremos la variación del ingreso I entre q0 = 25 y q = q0 + ∆q = 25− 3 = 22.
En este caso:
∆I = I(22)− I(25),
= (222 + 3 · 22)− (252 + 3 · 25),
= −150.
Es decir, cuando las ventas varien de 25 000 a 22 000 unidades, el ingreso de la empresa ABC
disminuirá en 150 millones de soles.
Razón de cambio promedio e instantánea
Definición 10.4. Sea f : I → R y sean x0, x ∈ I . La razón de cambio promedio (r.c.p.) de f entre
x0 y x es el número
r.c.p. f =
∆y
∆x
=
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Definición 10.5. Sea f : I → R, diferenciable en x0 ∈ I . La razón de cambio instantánea (r.c.i.)
de f en el punto x0, es el lı́mite
r.c.i. f = f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
La razón de cambio promedio de f se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta
secante que pasa por los puntos (x0, f(x0)) y (x, f(x)), y la razón de cambio instantánea de f se
interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto
(x0, f(x0)). En este contexto podemos dar la siguiente definición.
Definición 10.6. Con las notaciones anteriores, la razón de cambio relativo (r.c.r.) de f en x0 es
r.c.r. f =
f ′(x0)
f(x0)
.
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Podemos interpretar la razón de cambio relativo de f como una proporción que mide cómo es
la razón de cambio instántanea de una función f en el punto x0 con respecto al valor de la función
f en dicho punto x0.
Finalmente, tenemos la siguiente definición que expresa lo mismo que la razón de cambio
relativo, pero en foma porcentual (recordar que 100 % = 1).
Definición 10.7. La razón de cambio porcentual (r.c. %.) de f en x0 es
r.c.% f =
f ′(x0)
f(x0)
× 100 %.
Ejemplo 10.8. La utilidad U , en dólares, que un fabricante artesanal de juguetes obtiene con la
venta de q unidades de su producto está dada por
U (q) = 10q − 0, 01q2.
Determine y explique el significado de la razón de cambio promedio de la utilidad, en los siguientes
casos:
1. la venta aumenta de 400 a 450 unidades,
2. la venta aumenta de 500 a 600 unidades.
Además, obtenga las razones de cambio instantánea, relativa y porcentual cuando se vendan 400
unidades.
Solución. Para un aumento de las ventas de 400 a 450 unidades, tenemos que q0 = 400 (venta
inicial) y ∆q = 450− 400. En este caso ∆U = U(450)− U(400) y por tanto
r.c.p. U =
∆U
∆q
=
U(450)− U(400)
450− 400
,
=
[10(450)− 0.01(450)2]− [10(400)− 0.01(400)2]
50
,
=
75
50
= +1.5
$
unidad
.
Ası́, por cada aumento de una unidad en las ventas, entre las 400 y 450 unidades, la utilidad au-
mentará aproximadamente en $1.5.
Por otro lado, para un aumento de las ventas de 500 a 600 unidades, tenemos q0 = 500,
∆U = 100 y por lo tanto,
r.c.p. U =
∆U
∆q
=
U(600)− U(500)
600− 500
,
=
[10(600)− 0.01(600)2]− [10(500)− 0.01(500)2]
100
,
= −100
100
= −1 $
unidad
.
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Esto significa que, por cada aumento de una unidad en las ventas, entre las 500 y 600 unidades, la
utilidad disminuirá en $1, aproximadamente.
Calculemos ahora las razones de cambio instantánea, relativa y porcentual de U . Como U(q) =
10q − 0.01q2, tenemos que
U ′(q) = 10− 2(0.01)q = 10− 0.02q.
Luego, para q0 = 400, tenemos
r.c.i. U = 10− (0.02)(400) = 2,
r.c.r. U =
2
10(400)− 0.01(400)2
= 0.000833,
r.c.%. U = 0.000833× 100 % = 0.0833 %.
Ejemplo 10.9. De dos empresas competidoras M y P se conocen sus funciones de utilidad (en
miles de soles) respectivas UM(q) y UP (q), donde UM(20) = 20 y UP (20) = 15. Si se sabe
que ambas empresas tienen la misma razón de cambio instantánea r.c.i. = 2 soles/unidad, ¿Qué
empresa fue mas eficiente en la obtención de sus utilidades?
Solución. Se sabe que ambas empresas tienen la misma razón de cambio instantánea, es decir
r.c.i.M = U ′M(20) = 2 = U
′
P (20) = r.c.i. P
Obtengamos la razón de cambio relativo de cada empresa. En el caso de la empresa M :
r.c.r.M =
U ′M(20)
UM(20)
=
2
20
= 0.1
y para la empresa P :
r.c.r. P =
U ′P (20)
UP (20)
=
2
15
= 0.13333 . . .
Pese a que la empresa M tiene una mayor utilidad, como la razón de cambio relativo de la empresa
P es mayor, entonces la empresa P fue más eficiente en la obtención de sus utilidades.
10.2. Variación aproximada
Definición 10.10. Sea f : A → R, una función derivable en el punto x0 ∈ A. El diferencial de f
en el punto x0 es la función df(x0) : R→ R que a cada número ∆x ∈ R asocia[
df(x0)
]
(∆x) = f ′(x0)∆x.
Sobreentendido que el diferencial depende de los números x0 y ∆x, se escribe usualmente dy en
lugar de
[
df(x0)
]
∆x; es decir
dy = f ′(x0)∆x.
El número dy se denomina también variación aproximada de y asociada a la variación ∆x.
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Sea f : A → R una función derivable en el punto x0 ∈ A ∩ A′. Entonces para un incremento
pequeño ∆x, el diferencial dy = f ′(x0)∆x se aproxima al incremento ∆y = f(x + ∆x) − f(x).
Es decir:
∆y ≈ dy.
Observación. Consideremos la función identidad f : R → R, f(x) = x. Escribamos de manera
abreviada y = f(x) = x, entonces y′ = f ′(x) = 1 y
dx = f ′(x)∆x = ∆x.
Este es el llamado diferencial de la variable independiente x. Debido a esto, el diferencial de la
variable dependiente y se escribe como
dy = f ′(x)dx,
de donde, dividiendo entre dx, obtenemos la igualdad
dy
dx
= f ′(x).
Ejemplo 10.11. El diferencial de la función f : R→ R, f(x) = x2 es[
df(x)
]
(∆x) = 2x · dx.
Denotando y = x2, podemos escribir entonces dy = 2xdx.
Ejemplo 10.12. El costo total, en miles de dólares, de fabricar q cientos de unidades de cierto
artı́culo es
C(q) = 0.01q2 + 2.5q − 50.
Siendo el nivel actual de producción de 10000 unidades, se planea:
1. reducirlo en 500 unidades,
2. aumentarlo en 500 unidades.
Determine la variación aproximada del costo debida a tal cambio y compárela con la variación
real.
Solución. El nivel actual de producción es de q0 = 100 cientos de unidades. Observamos además
que C ′(q) = 0.02q + 2.5 y por tanto C ′(q0) = 4.5.
1. Reducir el nivel de producción en 500 unidades significa una variación de ∆q = −5 (indi-
cando el signo negativo la disminución) cientos de unidades. Luego, la variación aproximada
del costo asociada es
dC = C ′(q0)∆q = (4.5)(−5) = −22.5
y la variación real del costo,
∆C = C(q0 + ∆q)− C(q0) = C(95)− C(100)= −22.25.
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2. Por otro lado, un aumento de 500 unidades significa ∆q = 5 cientos de unidades, de donde
la variación aproximada del costo es
dC = C ′(q0)∆q = (4.5)(5) = 22.5,
mientras que la variación real es
∆C = C(q0 + ∆q)− C(q0) = C(105)− C(100) = 22.75.
Definición 10.13. Sean f : A → R, y = f(x) y x0 ∈ A. Con las condiciones y notaciones
anteriores, siendo y0 = f(x0), definimos:
la variación relativa (real) de y como
∆y
y0
;
la variación relativa aproximada de y como
dy
y0
;
la variación porcentual (real) de y como ∆ %y =
∆y
y0
· 100 %;
la variación porcentual aproximada de y como
dy
y0
· 100 %.
Ejemplo 10.14. El PBI de cierto paı́s está medido por la expresión
N(t) = t2 + 5t+ 200,
donde N está medida en miles de millones de dólares, y t es el tiempo medido en años después de
1990. Determine la variación porcentual aproximada del PBI durante el primer trimestre del 2008;
además compárela con la variación relativa.
Solución. El inicio del primer trimestre del 2008 corresponde al tiempo t0 = 18, mientras que el
tiempo transcurrido resulta ∆t = 1/4 de año, o ∆t = 0.25. Vemos además que N ′(t) = 2t + 5.
Luego, la variación porcentual aproximada del PBI en el periodo es
dN
N0
· 100 % = N
′(t0)∆t
N(t0)
· 100 % = 10.25
614
· 100 % ≈ 1.67 %.
Por otro lado, la variación porcentual (real) es
∆N
N0
· 100 % = N(t0 + ∆t)−N(t0)
N(t0)
· 100 % = 10.313
614
· 100 % ≈ 1.68 %;
de donde observamos que es bastante cercana al resultado anterior.
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Ejemplo 10.15. En un paı́s los ingresos nacionales brutos se comportan de acuerdo a la expresión
I(t) = 1863 − 45e−0.08t, donde t es el tiempo transcurrido, en años, después del año 1998 e I(t)
son los ingresos medidos en millones de dólares. Calcule la variación porcentual aproximada en
los ingresos durante el segundo trimestre del año 2006.
Solución. La fórmula para la variación porcentual aproximada en los ingresos es
dI
I
· 100 % = I
′(t)∆t
I(t)
· 100 %
para t+ ∆t = 8 + 0.5 se tiene que ∆t = 0.5 y t = 8, además
I ′(t) = 3.6e−0.08t
luego
I ′(8) = 3, 6e−0.08×8 ≈ 1.898
y
I(8) = 1863− 45e−0.08×8 ≈ 1839.27
por tanto, la variación porcentual aproximada pedida es
I ′(t)∆t
I(t)
· 100 % = 1.898 · 0.5
1839.27
· 100 % ≈ 0.052 %.
Ası́, durante el segundo trimestre de 2006, los ingresos nacionales brutos del paı́s cambiarán a una
tasa aproximada del 0.05 %.
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