clase11 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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CLASE 11
VALOR APROXIMADO Y APLICACIONES A
LA ECONOMÍA
11.1. Valor aproximado
Sea f : I → R una función, definida en un intervalo I , y sea x0 ∈ I . Si para cierto x ∈ I , sin
necesidad de calcular f(x), conocemos el valor de
∆f
∆x
=
f(x)− f(x0)
x− x0
,
entonces podemos calcular f(x) mediante
f(x) = f(x0) +
∆f
∆x
(x− x0) = f(x0) + ∆f.
Esto significa, que si de alguna manera podemos tener un valor aproximado de ∆f entonces po-
demos calcular un valor aproximado de f(x). En ciertos casos, cuando ∆x es pequeño, podemos
usar el diferencial de f para obtener un valor aproximado de f(x). En efecto, como ∆f ≈ df =
f ′(x)∆x, entonces
f(x) = f(x0) + ∆f ≈ f(x0) + df = f(x0) + f ′(x)∆x.
Esto tiene una aplicación interesante: si tanto la función f , como su derivada f ′, son fáciles de
calcular en el punto x0, entonces podemos calcular de manera aproximada f(x) para x suficiente-
mente cercano a x0.
Ejemplo 11.1. Calcule un valor aproximado de
√
65 usando el diferencial como una aproximación
al incremento de la función.
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Solución. Dada f : [0,∞[→ R, f (x) =
√
x = x1/2, su derivada es f ′ (x) = 1
2
x−1/2, x > 0.
Tomando x0 = 64 y ∆x = 1, podemos aproximar ∆y ≈ dy = f ′(x0)∆x = f ′(64) · 1 =
1
16
.
Entonces √
65 = f (64 + 1) ≈ f (64) + ∆y = 8 + 1
16
= 8.0625.
Si calculamos
√
65 con una calculadora, obtenemos
√
65 = 8.062257748 . . .. El error que obtene-
mos de calcular
√
65 usando el diferencial es de 0.000242252 . . ..
Ejemplo 11.2. El ingreso r (en dólares) que se obtiene con la venta de q unidades de un producto
está dada por:
r (q) = 250q + 45q2 − q3.
Determine la variación aproximada en el ingreso si el número de unidades se incrementa de q = 40
a q = 41 unidades. Compare con la variación real.
Solución. Tenemos que el diferencial del ingreso r es
dr = r′ (q) dq =
(
250 + 90q − 3q2
)
dq.
Cuando q = 40 y dq = 1,
dr =
Ä
250 + 90 (40)− 3 (40)2
ä
= −950.
El cambio verdadero ∆r = r (41) − r (40) = −1026. En esta ocasión no se tiene una buena
aproximación.
11.2. Aplicaciones a la economı́a
Análisis marginal
En economı́a, el uso de la derivada para aproximar el cambio producido en una función por un
cambio de una unidad en su variable se denomina análisis marginal.
Definición 11.3. Si C(x) es el costo total de producción en que incurre un fabricante cuando
produce x unidades e I(x) es el ingreso total obtenido de la venta de x unidades, entonces C ′(x)
se denomina costo marginal y I ′(x) se denomina ingreso marginal.
Si la producción (o ventas) se incrementa en 1 unidad, entonces ∆x = 1 y la fórmula de
aproximación
∆C = C(x+ ∆x)− C(x) ≈ C ′(x)∆x
se convierte en
∆C = C(x+ 1)− C(x) ≈ C ′(x),
de igual forma
∆I = I(x+ 1)− I(x) ≈ I ′(x).
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Es decir, el Costo Marginal C ′(x) es una aproximación al costo adicional C(x + 1) − C(x) de
producir la unidad adicional x+ 1; de igual forma, el Ingreso Marginal I ′(x) es una aproximación
del ingreso adicional obtenido al vender la unidad adicional x+ 1.
Ejemplo 11.4. Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de determinado artı́culo,
el costo total será C(x) =
x2
8
+ 3x + 98 dólares y que p(x) =
75− x
3
dólares por unidad es el
precio al cual se venderán las x unidades.
1. Determinar el costo adicional aproximado y real de producir la novena unidad.
2. Determinar el ingreso adicional aproximado y real de vender la novena unidad.
Solución. Determinamos el costo y el ingreso marginal
C(x) =
x2
8
+ 3x+ 98 =⇒ C ′(x) = x
4
+ 3,
I(x) = p(x) · x = 75x− x
2
3
=⇒ I ′(x) = 75− 2x
3
.
1. El costo adicional aproximado de producir la novena unidad será C ′(8) = $5 mientras que
el costo real es ∆C = C(9)− C(8) = $5.125.
2. El ingreso adicional aproximado de vender la novena unidad será I ′(8) = $19.67 mientras
que el ingreso real es ∆I = I(9)− I(8) = $19.33.
Definición 11.5. Si C(x) es el costo total de producir x unidades e I(x) es el ingreso total obtenido
de la venta de x unidades, entonces el costo medio por unidad es
C(x) =
C(x)
x
,
y el ingreso medio por unidad es
I(x) =
I(x)
x
.
Ejemplo 11.6. El costo medio C (en dólares) de un fabricante está dado por:
C(q) = 0.01q + 5 +
500
q
.
Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal cuando se producen 50 unidades.
Interprete el resultado obtenido.
Solución. Tenemos en primer lugar que:
C(q) = C(q) · q
51
y por tanto tendrı́amos que la función costo total es:
C(q) =
Å
0.01q + 5 +
500
q
ã
q = 0, 01q2 + 5q + 500.
Por consiguiente, el costo marginal es:
C ′(q) = 0.02q + 5.
El costo marginal cuando q = 50 es C ′(50) = 6 dólares/unidad. Es decir, el costo adicional de
producir la unidad 51 es aproximadamente de 6 dólares.
Ejemplo 11.7. Un vendedor estima que el precio al cual se venderán las x unidades de determinado
artı́culo será p(x) = 5
4
(4− x). Hallar el ingreso marginal.
Solución. El ingreso total está dado por I(x) = p(x) · x. Luego,
I(x) = p(x) · x = 5x− 5x
2
4
y el ingreso marginal
I ′(x) = 5− 5x
2
.
La función de utilidad, cuyo significado es el mismo de ganancia, es el beneficio que se obtiene
de producir algún bien o servicio. Si x son las unidades producidas y vendidas, en un caso ideal,
entonces la función de utilidad se define como
U(x) = I(x)− C(x)
de esta relación se concluye que si I(x) > C(x) la utilidad es positiva y hay ganancia; pero si los
ingresos son menores que los costos, hay pérdida.
Definición 11.8. La utilidad marginal se define como U ′(x) y es una aproximación a la ganancia
adicional de producir y vender la unidad x+ 1.
Elasticidad de la demanda
La elasticidad de la demanda es un concepto que en economı́a se utiliza para medir cómo un
cambio en el precio de un producto afecta la cantidad demandada. Esto es, se refiere a la respuesta
del consumidor frente al cambio del precio. En estos términos, la elasticidad de la demanda es la
razón del cambio porcentual en la cantidad demandada que resulta en un cambio porcentual dado
en el precio:
variación porcentual de la cantidad demandada
variación porcentual del precio
.
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Definición 11.9. La elasticidad de la función demanda es el cociente entre la variación porcentual
de la demanda y la variación porcentual en el precio, esto es
Ed =
∆ %q
∆ %p
=
∆q
q0
∆p
p0
=
∆q
∆p
· p0
q0
.
Además,
1. cuando |Ed| > 1, la demanda es elástica (la variación de la cantidad demandada es porcen-
tualmente superior a la del precio);
2. cuando |Ed| = 1, la demanda tiene elasticidad unitaria (la variación de la cantidad deman-
dada es porcentualmente igual a la del precio);
3. cuando |Ed| < 1, la demanda es inelástica (la variación de la cantidad demandada es por-
centualmente inferior a la del precio).
Observación. La elasticidad indica como varı́a q (en términos porcentuales) en respuesta a una
variación porcentual de p. Algunos autores colocan un signo negativo en la fórmula, sin embargo
lo importante es el valor absoluto de la elasticidad Ed.
Ejemplo 11.10. Si para una disminución de 20 % en el precio de un producto, la cantidad deman-
dada crece 4 %, entonces la elasticidad de la demanda es:
Ed =
∆ %q
∆ %p
=
4
100
− 20
100
= −1
5
.
Observe que en este caso, −20 % = ∆ %p = 0.8p0 − p0
p0
× 100 %, donde p0 es el precio siendo
disminuido.
Digamos ahora que se retira un impuesto del 20 % sobre el precio de un producto y que, en este
caso, la cantidad demandada crece 4 %. Tenemos que la variación porcentual del precio está dada
por
∆ %p =
p0 − 1.2p0
1.2p0
× 100 % = −1
6
× 100 %.
Este valor se debe a que si el precio sin impuesto es p0 entonces el precio con impuesto es 1.2p0.
Luego, la elasticidad de la demanda es:
Ed =
∆ %q
∆ %p
=
4 %
−1
6
× 100 %
=
4
100
−1
6
= − 24
100
= − 6
25
.
La definición de elasticidad de la demanda depende del valor inicial de las cantidades. En el
segundo ejemplo la cantidad inicial era un precio incluyendo un impuesto, por lo tanto el resul-
tado no coincide con el anterior ejemplo, a pesar que la cantidad demandada crece enel mismo
porcentaje. Veremos una forma de resolver esta asimetrı́a al definir una elasticidad por medio de
derivadas, la cual no necesita especificar dos puntos (inicial y final).
Observe que Ed = pq .
∆q
∆p
, y como podemos expresar q en función de p, haciendo ∆p → 0,
tenemos la siguiente definición.
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Definición 11.11. Si q = f(p) es una función de demanda derivable, la elasticidad puntual de la
demanda, denotada por la letra griega η, en (q, p) está dada por
η =
p
q
· dq
dp
.
Además,
1. cuando |η| > 1, la demanda es elástica;
2. cuando |η| = 1, la demanda tiene elasticidad unitaria;
3. cuando |η| < 1, la demanda es inelástica.
Recordemos que
∆q
q
≈ dq
q
=
p
q
· dq
dp
· dp
p
≈ η · ∆p
p
,
es decir, la variación relativa de q es aproximadamente igual al producto de la elasticidad η y la
variación relativa de p. Si la variación porcentual de p es del 1 %, entonces
∆p
p
= 1 % y por lo
tanto
∆q
q
≈ η.
Debido a esto, algunos autores definen la elasticidad como la variación porcentual aproximada de
la demanda asociada a una variación del precio de 1 %.
Observación. Si en lugar de tener q = f(p) se dispone de p = g(q), podemos utilizar la regla de
derivación de la función inversa
dq
dp
=
1
dp
dq
.
Ejemplo 11.12. Dado la ecuación de la demanda
p = 150− e
q
100 .
Determine la elasticidad puntual de la ecuación de la demanda cuando q = 100.
Solución. Observe que
dp
dq
= − 1
100
e
q
100 . La elasticidad puntual es:
η =
p
q
· dq
dp
=
p
q
· 1
dp
dq
=
150− e q100
q
· 1
− 1
100
e
q
100
.
Cuando q = 100 tenemos que
η =
150−e
100
100
100
− 1
100
e
100
100
= −54.18.
Por lo que la demanda es elástica.
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