Evaluaciones 2016-2 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Primera Práctica Calificada
Matemáticas II Sábado 7 de Setiembre de 2013
DURACIÓN: 110 Minutos
Verifique que son 5 preguntas, 20 puntos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo
de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija
el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario
se pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
Si el examen esta resuelto con lápiz se corregirá pero no tendrá derecho a reclamo.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
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1 2 3 4 5 NOTA
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1. (4 puntos)
a) Complete las siguientes definiciones:
Sea A ⊂ R, x0 es un punto de acumulación por la izquierda de A si:
Solución.-
Existe (xn)n∈N en A tal que xn < x para todo n ∈ N y ĺım
n→∞
xn = x.
Sean A ⊂ R, f : A → R, x0 punto de acumulación por la izquierda de A.
Decimos que f tiene ĺımite −∞ en x0 por la izquierda si:
Solución.-
∀N ∈ R ∃δ > 0, x ∈ A ∧ x0 − δ < x < δ → f(x) < N.
b) Use la definición de ĺımite para probar que ĺım
x→0−
1
x3
= −∞.
Solución.-
Primero observe que si x < 0 y N < 0,
1
x3
< N ⇔ 1
N
< x3 ⇔ 1
3
√
N
< x.
Ahora, dado N < 0, considere δ = − 1
3
√
N
> 0. Luego
x 6= 0 ∧ −δ < x < 0→ 1
3
√
N
< x < 0→ 1
x
<
3
√
N → 1
x3
< N.
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2. (4 puntos) Sea (an)n∈N una sucesión definida recursivamente por
an+1 =
√
1 + an y a1 = 1
a) Pruebe que la sucesión es estrictamente creciente.
Solución.-
Dado que a1 = 1 > 0 y an+1 =
√
1 + an > 0 se tiene por inducción que an > 0
para todo n ∈ N.
Usando inducción matemática, probaremos que an < an+1 para todo n ∈ N.
a2 =
√
1 + a1 =
√
1 + 1 =
√
2. Luego a1 < a2.
ak < ak+1 → 1 + ak < 1 + ak+1 →
√
1 + ak <
√
1 + ak+1 → ak+1 < ak+2.
b) Pruebe que an < 2, para todo n ∈ N.
Solución.-
Probaremos usando inducción matemática:
a1 = 1 < 2,
ak < 2→ ak + 1 < 3→
√
ak + 1 <
√
3 < 2→ ak+1 < 2
c) Justifique la convergencia de la sucesión y calcule dicha convergencia.
Solución.-
(an)n∈N es convergente por el Axioma de Completitud, pues la sucesión es
monótona (a) y acotada (b).
Sea L ∈ R tal que ĺım
n→∞
an = L. Por propiedad se sabe que ĺım
n→∞
an+1 = L.
Usando álgebra de ĺımites:
L2 = ĺım
n→∞
a2n+1 = ĺım
n→∞
1 + an = 1 + L→ L2 = L+ 1→ L2 − L− 1 = 0.
Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que L =
1±
√
5
2
.
El caso L =
1−
√
5
2
< 0 queda descartado pues L > 0. Por lo tanto
ĺım
n→∞
an =
1 +
√
5
2
.
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3. (4 puntos)
a) Sean f, g : [0,+∞[→ R, y a, b,M,L ∈ R donde a,M 6= 0. Si la gráfica de g posee
aśıntota obĺıcua de pendiente M y la gráfica de la función af + bg posee aśıntota
horizontal de ecuación y = L. Pruebe que la gráfica de f posee aśıntota obĺıcua y
determine la ecuación de dicha aśıntota.
Dato: El intercepto de la aśıntota oblicua de g es B = 0.
Solución.-
Dado que la gráfica de g posee aśıntota obĺıcua de pendiente M se tiene que:
ĺım
x→∞
g(x)
x
= M, y ĺım
x→∞
g(x)−Mx = 0,
y como la gráfica de la función af + bg posee aśıntota horizontal de ecuación
y = L, tenemos que
ĺım
x→∞
{af(x) + bg(x)} = L.
Usando álgebra de ĺımites, se obtiene:
m = ĺım
x→∞
f(x)
x
= ĺım
x→∞
1
a
af(x) + bg(x)
x
− b
a
g(x)
x
=
1
a
ĺım
x→∞
af(x) + bg(x)
x
− b
a
ĺım
x→∞
g(x)
x
= − b
a
M, (0,5 ptos.)
pues ĺım
x→∞
af(x) + bg(x)
x
= 0 debido a que L ∈ R. Del mismo modo
b = ĺım
x→∞
f(x)−mx = ĺım
x→∞
f(x) +
b
a
Mx
= ĺım
x→∞
1
a
(af(x) + bg(x))− b
a
g(x) +
b
a
Mx
=
1
a
ĺım
x→∞
(af(x) + bg(x))− b
a
ĺım
x→∞
(g(x)−Mx)
=
L
a
. (0,25 ptos.)
Aśı, la recta de ecuación y = − b
a
Mx+
L
a
es aśıntota oblicua de la gráfica de f .
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b) Si C : [0,∞[→ R es el costo total en dólares para producir q unidades de un pro-
ducto, entonces el costo promedio por unidad para una producción de q unidades
está dado por C : ]0,∞[→ R donde C = C/q. Aśı, si la función de costo total
es C(q) =
q2
q + 3
+ 5000, determine la tendencia del costo promedio cuando se
produce una gran cantidad de unidades.
Solución.-
Se pide calcular
ĺım
q→∞
C(q) = ĺım
q→∞
C(q)
q
= ĺım
q→∞
q2
q + 3
+ 5000
q
= ĺım
q→∞
 13
q
+ 1
+
5000
q
 = 1.
El costo promedio cuando se produce una gran cantidad de unidades es de 1 dólar
por unidad.
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4. (4 puntos) Grafique una función f : R− {1, 3} → R con las siguientes propiedades:
a) f es continua en R− {1, 3}, excepto en x = 2.
b) La ecuación f(x) = 0 posee únicamente 3 soluciones.
c) f es decreciente en el intervalo ]2, 3[.
d) f es creciente en los intervalos ]−∞, 1[, ]1, 2[ y ]3,∞[.
e) ĺım
x→1−
f(x) =∞, ĺım
x→1+
f(x) = −∞, ĺım
x→2
f(x) = 1, ĺım
x→3
f(x) = −∞.
f ) ĺım
x→∞
f(x) = 0, ĺım
x→−∞
f(x) = 0.
g) f(x) > 0 para todo x < 1.
h) f(x) < 0 para todo x > 3.
Solución.-
x
y
1
1
y = f(x)
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5. (4 puntos)
a) Determine los valores de a y b de modo que f : R→ R sea continua, donde
f(x) =

1
x+ 1
, x < −2
−ax+ 2b , |x| ≤ 2
3− x2 , x > 2
Solución.-
Notemos que
f(x) =

1
x+ 1
, x < −2
−ax+ 2b , −2 ≤ x ≤ 2
3− x2 , x > 2
Dado que f es continua en x = −2,
ĺım
x→−2−
f(x) = ĺım
x→−2+
f(x)→ ĺım
x→−2−
1
x+ 1
= ĺım
x→−2+
(−ax+ 2b)→ 2a+ 2b = −1.
(0.75 ptos.)
De igual manera, por ser f continua en x = 2,
ĺım
x→2−
f(x) = ĺım
x→2+
f(x)→ ĺım
x→2−
(−ax+ 2b) = ĺım
x→2+
(3− x2)→ −2a+ 2b = −1.
Resolviendo ambas ecuaciones, a = 0 y b = −1
2
.
b) Determine el valor de “a” para que se verifique ĺım
x→+∞
(√
x2 + ax+ 1− x
)
= 2.
Solución.-
Tenemos
2 = ĺım
x→+∞
(√
x2 + ax+ 1− x
)
= ĺım
x→+∞
(√
x2 + ax+ 1− x
) √x2 + ax+ 1 + x√
x2 + ax+ 1 + x
= ĺım
x→+∞
x2 + ax+ 1− x2√
x2 + ax+ 1 + x
= ĺım
x→+∞
ax+ 1√
x2 + ax+ 1 + x
= ĺım
x→+∞
a+
1
x√
1 + a
1
x
+
1
x2
+ 1
=
a
2
.
Luego a = 4.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Segunda Práctica Calificada
Matemáticas II Viernes 23 de setiembre de 2016
1. a) Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas(V) o falsas(F).
i) (1 punto) Sea g :]0,+∞[→ R una función diferenciable. Si ĺım
x→+∞
g′(x) = 0 entonces
g posee aśıntota horizontal. F
Solución La función definida por g(x) = ln(x) cumple que
ĺım
x→+∞
g′(x) = ĺım
x→+∞
1
x
= 0,
pero no posee aśıntota horizontal, pues
ĺım
x→+∞
g(x) = ĺım
x→+∞
ln(x) = +∞.
ii) (1 punto) Sean g, h, k : R → R funciones derivables. Si f = g · h · k entonces f es
derivable y cumple que f ′ = g′ · h · k + g · h′ · k + g · h · k′. V
Solución La función f es derivablepor ser el producto de funciones derivables.
Además
f ′(x) = (g(x) (h(x)k(x)))′ = g′(x)h(x)k(x) + g(x) (h′(x)k(x) + h(x)k′(x))
f ′(x) = g′(x)h(x)k(x) + g(x)h′(x)k(x) + g(x)h(x)k′(x)
b) (2 puntos) Sean a, b, c > 0, calcule ĺım
x→+∞
(a · x)b/(cx)
Solución Sabemos que
ĺım
x→+∞
(a · x)b/(cx) = e
ĺım
x→+∞
b
cx
ln (a · x)
.
Dado que ĺım
x→+∞
b ln (a · x) = +∞ y ĺım
x→+∞
cx = +∞, aplicamos la regla de L’Hôpital para
calcular el ĺımite:
ĺım
x→+∞
b ln (a · x)
cx
= ĺım
x→+∞
b
a
ax
c
= ĺım
x→+∞
b
cx
= 0
Luego
ĺım
x→+∞
(a · x)b/(cx) = e
ĺım
x→+∞
b
cx
ln (a · x)
= e0 = 1.
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2. (3 puntos) Sean f, g : R→ R definidas por
f(x) = eax sen (bx) y g(x) = eax (p sen (bx) + q cos (bx)) ,
donde a, b, p, q ∈ R tal que a2 + b2 6= 0. Determine p y q, en términos de a y de b, tal que
para todo x ∈ R, g′(x) = f(x).
Solución Derivando
g′(x) = e(ax)a [p sen (bx) + q cos (bx)] + e(ax) [bp cos (bx)− bq sen (bx)]
g′(x) = e(ax) [(ap− bq) sen (bx) + (aq + bp) cos (bx)] .
Dado que g′(x) = f(x), se tiene que
e(ax) [(ap− bq) sen (bx) + (aq + bp) cos (bx)] = eax sen (bx) ,
luego se tiene el siguiente sistema: {
ap− bq = 1
bp + aq = 0
,
del cual
p =
a
a2 + b2
y q = − b
a2 + b2
.
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3. (3 puntos) Sean a, b > 0, n ∈ N y f :]0,+∞[→ R definida por f (x) = a− bx
a + bx
. Determine una
expresión algebraica para la derivada n−ésima de f y pruebe su resultado usando inducción.
Solución Derivando e infiriendo:
f ′(x) = −2 · ab (a + bx)−2
f ′′(x) = 2 · 2 · ab2 (a + bx)−3
f ′′′(x) = −2 · 2 · 3 · ab3 (a + bx)−4
f (4)(x) = 2 · 2 · 3 · 4 · ab4 (a + bx)−5
...
f (n)(x) = (−1)n 2 · n! · abn (a + bx)−(n+1)
Probaremos por inducción:
n = 1: f (1)(x) = (−1)1 2 · 1! · ab1 (a + bx)−(1+1) = 2ab (a + bx)−2 = f ′(x).
n = k: Suponemos que
f (k)(x) = (−1)k 2 · k! · abk (a + bx)−(k+1) .
Aśı
f (k+1)(x) =
d
dx
f (k)(x)
=
d
dx
[
(−1)k 2 · k! · abk (a + bx)−(k+1)
]
= (−1)k 2 · k! · abk (−1) (k + 1) (a + bx)−(k+2) b
= (−1)k (−1) 2 · k! (k + 1) · abkb (a + bx)−(k+2)
= (−1)k+1 2 · (k + 1)! · abk+1 (a + bx)−(k+1+1)
Luego cumple para n = k + 1.
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4. a) (3 puntos) Determine el área del triángulo formado por el eje X, el eje Y y la recta
tangente a la curva de ecuación xy = 1, en el punto de abscisa positiva x0.
X
Y
x0
xy = 1
Solución
Determinamos la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x0.
Pendiente: y =
1
x
→ y′ = − 1
x2
→ m = − 1
x20
.
Ecuación: y − 1
x0
= − 1
x20
(x− x0)
Luego, los interceptos con los ejes son:
x = 2x0
y =
2
x0
Aśı, el área del triángulo es
A =
x · y
2
=
1
2
· 2x0 ·
2
x0
= 2.
b) (2 puntos) Sea f : R → R una función dos veces diferenciable para la cual f(0) = 0 y
f ′(0) 6= 0. Pruebe que
ĺım
x→0
f(ax)
f(bx)
=
a
b
.
Solución
Dado que ĺım
x→0
f (ax) = 0 y ĺım
x→0
f (bx) = 0, aplicamos la regla de L’Hôpital para calcular
el ĺımite:
ĺım
x→0
f(ax)
f(bx)
= ĺım
x→0
f ′(ax) · a
f ′(bx) · b
=
f ′(0) · a
f ′(0) · b
=
a
b
.
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5. Cuando el precio de cierto art́ıculo es p dólares por unidad, los clientes demandan q cientos
de unidades de dicho producto, donde
q2 + 3pq + p2 = 79.
También se ha estimado que en el t−ésimo mes, el precio del art́ıculo se regirá bajo la
siguiente ecuación:
t =
√
2p− 6 + p− 3.
a) (2 puntos) Determine la razón de cambio relativa de la demanda cuando el precio es de
5 dólares por unidad.Interprete el resultado.
Solución
Derivamos implicitamente: 2qq′ + 3q + 3pq′ + 2p = 0→ q′ = −2p + 3q
2q + 3p
.
Cuando p = 5, hallamos la cantidad demandada:
q2 + 15q + 25 = 79→ q2 + 15q − 54 = 0→ q = 3 ∨ q = −18→ q = 3.
Calculamos la razón de cambio relativa:
r.c.r.q =
q′(5)
q(5)
=
−19
21
3
= −19
63
.
Cuando el precio es de 5 soles, si el precio se incrementa en 1 dolar, la cantidad
demandada disminuye aproximadamente en su 19/63-ava parte.
b) (2 puntos) Determine la razón de cambio instantánea de la demanda en el cuarto mes.
Interprete el resultado.
Solución
Calculamos la razón de cambio instantánea: r.c.i.q = (q ◦ p)′ (4) = q′(p(4)) · p′(4).
Calculemos
dp
dt
=
1
dt
dp
=
1
1√
2p− 6
+ 1
Cuando t = 4 se tiene que p = 5, luego p′(4) = 2/3.
q′(p(4)) = q′(5) = −19
21
, luego
r.c.i.q = (q ◦ p)′ (4) = −19
21
· 2
3
= −38
63
.
Al pasar del cuarto al quinto mes la demanda disminuye en
38
63
cientos de unidades
aproximadamente.
c) (1 punto) Determine la variación aproximada del precio cuando el tiempo pasa del cuar-
to al quinto mes.
Solución
dp = p′(4)∆t = p′(4) · 1 = 2/3.
El precio aumenta aproximadamente en 2/3 dólares.
Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Tercera Práctica Calificada
Matemáticas II Viernes 28 de octubre de 2016
Verifique que son 4 preguntas, 20 puntos. Duración: 100 minutos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo
de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija
el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario
se pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 NOTA
SOLICITUD DE RE-CALIFICACIÓN
Motivos
1. Puntaje sumado erróneamente
2. Pregunta no corregida
3. La respuesta incluye aspectos
o perspectivas alternativas no
consideradas. (Explicar)
Reglamento de solicitud
Solo se aceptan solicitudes el d́ıa de entrega.
Si dos solicitudes son declaradas “No procedentes” en un mismo ciclo, el alumno no podrá
presentar solicitudes adicionales durante dicho ciclo.
Cualquier solicitud habilita al docente a realizar una revisión integral de la evaluación. Como
consecuencia, la nota puede mantenerse, subir o bajar.
Toda solicitud debe estar justificada adecuadamente en base a sus conocimientos del curso.
Se considera “No procedente” aquellas solicitudes donde el alumno sugiere el puntaje que
debe tener según su propio criterio.
Resultado
PROCEDENTE
NO PROCEDENTE NOTA ANTERIOR NUEVA NOTA
1. (5 puntos) Justifique por qué los siguientes enunciados son falsos.
a) (1 punto) El punto (0, 0) es mı́nimo absoluto para la función f : R2 → R definida
por f(x, y) = −x2 − y2.
Solución. Si (0, 0) fuera un mı́nimo absoluto de f se tendŕıa que f(x, y) ≥ f(0, 0) =
0, ∀(x, y) ∈ R2. Sin embargo f(1, 1) = −2 < f(0, 0).
b) (1 punto) Existe una función homogénea f : R2 → R con derivadas parciales
fx(x, y) = x
3y y fy(x, y) =
xy2
2
.
Solución. Si existiera tal función f, sus derivadas parciales debeŕıan ser homogéneas
del mismo orden, pero fx y fy son de grados 4 y 3, respectivamente. Por lo tanto
no puede existir una función f con esas caracteŕısticas.
c) (1 punto) Sean p1 y p2 los precios de los bienes A y B, respectivamente. Si las
funciones de demanda de estos bienes están dadas por DA(p1, p2) = 2e
p2−p1 y
DB(p1, p2) = 5e
p1−p2 , entonces los bienes son complementarios.
Solución. Al derivar se obtiene:
∂DA
∂p2
= 2ep2−p1 > 0.
Entonces los bienes no pueden ser complementarios.
d) (2 puntos) Las curvas de nivel de U(x, y) = |x|+ |y| son conjuntos abiertos.
Solución. Al resolver |x| + |y| = 0, se obtiene (x, y) = (0, 0). Luego NU(0) =
{(0, 0)}, el cual no es un conjunto abierto ya que dado r > 0, el conjunto
B
(
(0, 0), r
)
tiene al elemento
(
r
2
,
r
2
)
que no está en NU(0).
2. (5 puntos)
a) (3 puntos) Determine las primeras derivadas parciales de:
i) (2 puntos) La función f : R2 → R definida por
f(x, y) =

x2y
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0).
Solución. Aplicando la definición se tiene que
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= ĺım
h→0
h2(0)
h2 + 02
h
= ĺım
h→0
0
h3
= ĺım
h→0
0 = 0
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
k→0
f(0, k)− f(0, 0)
k
= ĺım
k→0
02(k)
02 + k2
k
= ĺım
k→0
0
k3
= ĺım
k→0
0 = 0
ii) (1 punto) La función f : R2 → R definida por f(x, y) = x4 sen(x)exy.
Solución.
∂f
∂x
(x, y) =
∂
∂x
[
x4 sen(x)
]
exy + x4 sen(x)
∂
∂x
[exy]
=
[
4x3 sen(x) + x4 cos(x)
]
exy + x4 sen(x)yexy
∂f
∂y
(x, y) = x4 sen(x)xexy
b) (2 puntos) Sean f : R2 → R definida por f(x, y) = ln(x2+y4+1), x(t) = (t2+1)2,
y(t) = et
2
y F (t) = f
(
x(t), y(t)
)
. Determine F ′(0).
Solución. Notar que cuando t = 0 se tiene (x, y) = ((02 +1)2, e0
2
) = (1, 1). Luego,
por la regla de la cadena se tiene que
F ′(t) =
∂f
∂x
(
x(t), y(t)
)
· x′(t) + ∂f
∂y
(
x(t), y(t)
)
· y′(t)
y cuando t = 0,
F ′(0) =
∂f
∂x
(1, 1) · x′(0) + ∂f
∂y
(1, 1) · y′(0)
Como fx =
2x
x2 + y4 + 1
, fy =
4y3
x2 + y4 + 1
, x′(t) = 2(t2 + 1)(2t) = 4t(t2 + 1),
y′(t) = 2tet
2
, se tiene que
∂f
∂x
(1, 1) =
2
3
,
∂f
∂y
(1, 1) =
4
3
, x′(0) = 0 e y′(0) = 0 .
Entonces reemplazando se tiene que
F ′(0) = 0.
3. (5 puntos) Si invertimos un capital C0 con un interés anual i, al cabo de un tiempo
t, tenemos un monto dado por la función M(C0, i, t) = C0(1 + i)
t. Suponga que se
invierten 1000 soles durante 5 años con una tasa de interés del 4 %.
(Considere (1.04)4 = 1.17 y (1.042)5 = 1.228.)
a) (1 punto) Calcule el monto final.
Solución. El monto final en soles es:
M(1000, 4 %, 5) = 1000(1 + 4 %)5 = 1216.8
b) (2 punto) Calcule la derivada
∂M
∂i
(1000, 0.04, 5) e interprétala.
Solución.
∂M
∂i
= C0t(1 + i)
t−1.
Al reemplazar tenemos
∂M
∂i
(1000, 0.04, 5) = 1000(5)(1.04)4 = 5849.3
Esto significa que por cada unidad que aumente el tipo de interés, con el mismo
monto inicial y el mismo plazo de tiempo, el monto final aumentará en 5849.3
soles aproximadamente, respecto al valor hallado en el ı́tem anterior.
c) (2 puntos) Calcule de forma exacta y aproximada en cuánto se modificaŕıa el
monto final si el tipo de interés aplicado no fuera del 4 % sino del 4.2 %.
Solución. El valor exacto seŕıa:
M(1000, 4.2 %, 5)−M(1000, 4 %, 5) = 1000(1 + 4.2 %)5 − 1000(1 + 4 %)5
= 1228− 1216.8
= 11.2
El valor aproximado seŕıa:
∂M
∂i
(1000, 0.04, 5)× 0.002 = (5849.3)(0.002) = 11.7.
4. (5 puntos) Suponga que la función de producción diaria Q de una fábrica depende
del capital K (medido en miles de soles) y de la fuerza laboral L (medido en horas-
trabajador). Si Q es homogénea de grado 2 y actualmente se cuenta con un capital de
2000 soles y con una fuerza laboral de 5 horas-trabajador.
a) (1 punto) ¿Por cuánto se multiplica la producción cuando se triplican las canti-
dades utilizadas de los factores productivos?
Solución. Como Q es homogénea de grado 2 se tiene
Q(3K, 3L) = 32Q(K,L) = 9Q(K,L).
Luego la producción se multiplica por 9.
b) (2 puntos) Si actualmente la productividad marginal respecto del capital es 441,
determine
∂Q
∂K
(4, 10).
Solución. Actualmente K = 2 y L = 5 y como Q es homogénea de grado 2
entonces sus derivadas parciales son homogéneas de grado 1. Luego se tiene:
∂Q
∂K
(4, 10) = 21
∂Q
∂K
(2, 5) = 2(441) = 882.
c) (2 puntos) Sabiendo que la productividad marginal respecto de la fuerza laboral,
cuando K = 4 y L = 10, es 100. ¿Cuánta es la producción diaria con un capital
de 4000 soles y una fuerza laboral de 10 horas-trabajador?.
Solución. Por el Teorema de Euler se tiene:
2Q(4, 10) = 4
∂Q
∂K
(4, 10) + 10
∂Q
∂L
(4, 10) = 4(882) + 10(100) = 4528.
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PREGUNTA INDICÁNDOLO DEBIDAMENTE]
SOLUCIONARIO DE LA CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA
Matemáticas II Viernes11 de Noviembre del 2016
Verifique que son 4 preguntas, 20 puntos. Duración: 100 Minutos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo de
materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija el
enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario se
pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 NOTA
1. (5 ptos) Una empresa que produce cremas para limpieza dental las fabrica en dos tamaños,
de 100 y 150 miligramos. El costo de producción de cada tubo es de 60 y 90 céntimos de
sol, respectivamente. Las demandas semanales q1 y q2 (en miles de unidades) para los dos
tamaños son de:
q1 = 30(p2 − p1), q2 = 32 + 30p1 − 50p2,
respectivamente. Donde p1 y p2 son los precios en soles de cada uno de los tubos de tamaño
100 y 150 miligramos.
i) (1 pto) Determine U = U(p1, p2), la regla de correspondencia de la utilidad.
Solución.
De los datos del problema se tiene como sigue el costo y el ingreso:
C(p1, p2) = 18(p2 − p1) + 0, 9(32 + 30p1 − 50p2)
I(p1, p2) = 30(p2 − p1)p1 + (32 + 30p1 − 50p2)p2.
Luego,
U(p1, p2) = I(p1, p2)− C(p1, p2) = −30p21 − 50p22 + 60p1p2 + 59p2 − 9p1 − 28, 8.
ii) (1pto) Determine el(los) punto(s) cŕıticos de U .
Solución.
Calculemos las derivadas parciales de primer orden de U respecto a p1 y p2,
Up1(p1, p2) = −60p1 + 60p2 − 9
Up2(p1, p2) = −100p2 + 60p1 + 59.
Sea p = (p1, p2) un punto cŕıtico de U , entonces Up1(p) = 0 y Up2(p) = 0. Luego
Up1(p1, p2) = −60p1 + 60p2 − 9 = 0
Up2(p1, p2) = −100p2 + 60p1 + 59 = 0.
Resolviendo el sistema anterior se obtiene p1 = 1, 10 y p2 = 1, 25. Por lo tanto, el único
punto cŕıtico es (1, 10; 1, 25).
iii) (3 ptos) Determine p1 y p2 que maximicen la utilidad. Justifique adecuadamente.
Solución.
De lo anterior tenemos el punto cŕıtico p = (1, 10; 1, 25) de U , analizaremos si este punto
es maximiza a U .
Up1p1(p1, p2) = −60, Up2p2(p1, p2) = −100, Up1p2(p1, p2) = 60
H(p1, p2) =
(
−60 60
60 −100
)
, ∆(p1, p2) =
∣∣∣∣ −60 6060 −100
∣∣∣∣ = 2400.
Como Up1p1(1, 10; 1, 25) = −60 < 0 y ∆(1, 10; 1, 25) = 2400 > 0, entonces cuando los
precios de los tubos de 100 miligramos es de $1, 10 y de 150 miligramos es de $1, 25 la
utilidad se maximiza.
2. (4 ptos) La función de utilidad del consumo de dos productos A y B está dada por U(x, y) =
x2y, donde x e y son las cantidades de los productos A y B adquiridos. El precio de una
unidad de A es S/ 2 000 y el de una unidad de B es S/ 3 000. Determine las cantidades
de cada producto que deberá adquirir el consumidor a fin de maximizar su utilidad si su
presupuesto de compra es de S/ 30 000.
Solución.
Sea x e y cantidades, x > 0 e y > 0. De los datos del problema tenemos que maximizar
x2y sujeto a 2000x + 3000y = 30000, φ(x, y) = 2000x + 3000y − 30000. De esto tenemos el
Lagrangiano
L(α, x, y) = x2y + α(2000x+ 3000y − 30000).
Luego
Lx(α, x, y) = 2xy + 2000α, Ly(α, x, y) = x
2 + 3000α, Lα(α, x, y) = 2000x+ 3000y − 30000
Calculemos el punto cŕıtico
Lx(α, x, y) = 0 ←→ α = −
xy
1000
(1)
Ly(α, x, y) = 0 ←→ α = −
x2
3000
(2)
Lα(α, x, y) = 0 ←→ 2000x+ 3000y = 30000 (3)
De (1) y (2) tenemos x2 = 3xy, entonces x(x− 3y) = 0. Luego,
Si x = 0, entonces en (3) y = 10 y α = 0. Aśı, (0, 0, 10) no cumple debido a que x > 0.
Si x = 3y, entonces en (3) y =
10
3
y α = − 1
30
. Aśı, (− 130 , 10,
10
3 ) se toma por condiciones
del problema.
Luego
H(α, x, y) =
 0 2000 30002000 2y 2x
3000 2x 0
 ,∆(− 1
30
, 10,
10
3
)
= 106
∣∣∣∣∣∣
0 2 3
2 203 20
3 20 0
∣∣∣∣∣∣ = 106(180) > 0.
Por lo tanto, la cantidad de 10 de A y
10
3
de B maximizan la utilidad.
3. (5 ptos) Las funciones de costo e ingreso marginales de cierto producto están dadas por
CM(q) =
dC
dq
(q) =
12√
2q + 66
, IM(q) =
dI
dq
(q) =
500− q√
1000q − q2 + 100
,
respectivamente, cuando se producen y venden q unidades.
a) (2 ptos) Determine la regla de correspondencia del costo, sabiendo que cuando se pro-
ducen 17 unidades el costo es de 140 soles.
Solución.
C(q) = 12
∫
1√
2q + 66
dq,
haciendo el cambio de variable u = 2q + 66 se tiene du = 2dq. Luego,
12
∫
u−
1
2
2
du = 12u
1
2 + k.
Aśı, C(q) = 12
√
2q + 66 + k. Tenemos que C(17) = 140, 140 = 120 + k entonces k = 20.
Por lo tanto, C(q) = 12
√
2q + 66 + 20.
b) (3 ptos) Determine la regla de correspondencia de la utilidad.
Solución.
I(q) =
∫
(500− q)(100q − q2 + 100)−
1
2dq,
haciendo el cambio de variable u = 100q − q2 + 100 se tiene du
2
= (500− q)dq. Luego,
∫
u−
1
2
2
du = u
1
2 + k.
Aśı, I(q) =
√
100q − q2 + 100 + k. Tenemos que I(0) = 0, entonces k = −10. Por lo
tanto, I(q) =
√
100q − q2 + 100− 10. De esto,
U(q) =
√
100q − q2 + 100− 12
√
2q + 66− 30.
4. a) (2 ptos) Justifique por qué los siguientes enunciados son falsos.
a1) (1 pto) Sea f : R2 → R. Si (a, b) es un punto cŕıtico de f , entonces f posee un
máximo o mı́nimo local en (a, b).
Solución.
Sea f : R2 → R una función definida por f(x, y) = x2 − y2, entonces (0, 0) es un
punto cŕıtico de f el cual es un punto silla.
a2) (1 pto) Sea f : R3 → R tal que f(x, y, z) = x4y12z. Entonces el único punto cŕıtico
de f es (0, 0, 0).
Solución.
fx(x, y, z) = 4x
3y12z, fy(x, y, z) = 12x
4y11z, fz(x, y, z) = x
4y12.
Tenemos
4x3y12z = 0, 12x4y11z = 0, x4y12 = 0.
El punto (1, 0, 0) satisface el sistema. Por lo tanto, (0, 0, 0) no es el único punto
cŕıtico.
b) (4 ptos) Calcule las siguientes integrales:
b1) (2 ptos)
∫
ln(x)
x2
dx.
Solución.
Usando integración por partes, u = ln(x), du =
1
x
dx, dv =
1
x2
dx, v = −1
x
.∫
ln(x)
x2
dx = ln(x) · −1
x
+
∫
1
x2
dx = − ln(x)
x
− 1
x
+ k.
b2) (2 ptos)
∫
ex
√
ex + 2
ex + 6
dx.
Solución.
Hacemos cambio de variable u2 = ex + 2, 2udu = exdx.∫
ex
√
ex + 2
ex + 6
dx =
∫
2u2
u2 + 4
du∫
ex
√
ex + 2
ex + 6
dx = 2
∫ (
1− 4
u2 + 4
)
du∫
ex
√
ex + 2
ex + 6
dx = 2[u− 2 arctan(u
2
)] + k∫
ex
√
ex + 2
ex + 6
dx = 2
[√
ex + 2− 2 arctan
(√
ex + 2
2
)]
+ k.
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EXAMEN PARCIAL
Matemáticas II 5 de octubre de 2016
DURACIÓN: 120 Minutos
Verifique que son 5 preguntas, 20 puntos en total.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo de
materiales.
No se aceptará reclamos de las preguntas resueltas con laṕız o con lapiceros de tinta de gel
termocromático.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija el
enunciado y justifique su proceder.
Justifique cada respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario se
pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
Puede utilizar el reverso de la carátula y la última hoja para responder o como hoja de
borrador, indicándolo claramente.
1 2 3 4 5 NOTA
1. a) (2 puntos) Dada la gráfica de la función dos veces derivable f :]0,+∞[→ R.
X
Y
2 4
f
Ordene las siguientes expresiones reales
f ′(2) f ′(4) 0 f ′′(2)
1
2
[f(4)− f(2)]
en forma creciente. No necesita justificación.
f ′′(2) 0 f ′(4) 1
2
[f(4)− f(2)] f ′(2)
b) Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique su
respuesta.
i) (1 punto) Sean a > 0 y b < 0 constantes reales. Si la ecuación de la demanda es
q = apb entonces η = b. V
Solución
η =
p
q
dq
dp
=
p
q
· abpb−1 = p
apb
· abpb−1 = b
ii) (1 punto) Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que
0 < |x| < δ entonces 0 <
∣∣∣∣∣sen(x)− xx
∣∣∣∣∣ < ε. V
Solución
La proposición es verdadera pues se puede expresar en la forma:
∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x| < δ → 0 <
∣∣∣∣∣sen(x)x − 1
∣∣∣∣∣ < ε,
la cual proviene de la definición del siguiente resultado: ĺım
x→0
sen(x)
x
= 1.
2. En algunos modelos económicos se estudia la función U : R→ R definida por
U(x) = −Ae−x −Bex,
donde A y B son constantes positivas tales que A > B.
a) (2puntos) Determine el punto cŕıtico de U.
Solución
U ′(x) = Ae−x −Bex = 0→ e2x = A
B
→ x0 =
1
2
ln
(
A
B
)
b) (1 punto) Determine si el punto hallado en a) es máximo o mı́nimo relativo para U .
Solución
Segunda derivada: U ′′(x) = −Ae−x −Bex.
Criterio de la segunda derivada:
U ′′(x0) = − A︸︷︷︸
+
e−x0︸︷︷︸
+
− B︸︷︷︸
+
ex0︸︷︷︸
+
< 0
Concluimos que x0 es máximo para U.
c) (1 punto) Determine los intervalos donde U es cóncava y los intervalos donde es convexa.
Solución
Dado que U ′′ es siempre negativa, se deduce que U es cóncava en R y es convexa en ∅.
3. (3.5 puntos) Determine los valores de a y b para que f : R→ R sea derivable en x = 2, donde
f(x) =

ax2 + a si x < 2
b si x = 2
5a+ |2− x| si x > 2
Solución
Continuidad en x = 2 : Dado que los ĺımites laterales deben ser iguales, se deduce que
ĺım
x→2
f(x) = 5a.
Por la continuidad de f en x = 2, se tiene que:
ĺım
x→2
f(x) = f(2)→ 5a = b.
Derivable en x = 2 :
• ĺım
x→2+
f(x)− f(2)
x− 2
= ĺım
x→2+
5a+ |2− x| − b
x− 2
= ĺım
x→2+
5a+ x− 2− b
x− 2
= ĺım
x→2+
x− 2
x− 2
= 1
• ĺım
x→2−
f(x)− f(2)
x− 2
= ĺım
x→2−
ax2 + a− 5a
x− 2
= ĺım
x→2−
ax2 − 4a
x− 2
= ĺım
x→2−
a (x+ 2) = 4a
• Por ser derivable, los ĺımites laterales deberán ser iguales:
4a = 1→ a = 1
4
Dado que b = 5a, se obtiene que b =
5
4
.
4. (4 puntos) Dada la gráfica de la derivada f ′ de cierta función continua f : R→ R.
X
Y
−6 −4 −1 1 5
f ′
Complete lo siguiente. No necesita justificación.
f es decreciente en los intervalos : ]−∞,−6] , [1, 5]
f es convexa en los intervalos : ]−∞,−4] , [−1, 1] , [1,+∞[
Los mı́nimos locales de f son : x = −6, x = 5.
Los máximos locales de f son : x = 1.
Los puntos de inflexión de f son : x = −4, x = −1.
Grafique f en el siguiente sistema de coordenadas.
X
Y
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
5. a) (2 puntos) En un monopolio, el costo marginal del monopolista es CMg(q) = 3q2 + 4. La
ecuación de la demanda para dicho producto es p+ q = 20. Determine la utilidad marginal
cuando el número de unidades es 1 e interprete el resultado.
Solución
Ingreso: I = pq = (20− q) q → I(q) = 20q − q2.
Ingreso Marginal: IMg(q) = 20− 2q.
Utilidad Marginal: UMg(q) = IMg(q)−CMg(q) = 20−2q−(3q2 + 4) = −3q2−2q+16.
UMg(1) = 11.
La utilidad ganada por producir y vender la unidad 2 es aproximadamente 11 u.m.
b) (2.5 puntos) Sea f : R→ R una función para la cual existen sus derivadas hasta de tercer
orden. Sea a ∈ R, considere la función g : R→ R definida por
g(x) = f(a)− f(x)− f ′(x)(a− x)− 1
2
f ′′(x)(a− x)2.
i) Calcule la derivada de g y simplifique su resultado.
Solución Derivando g obtenemos:
g′(x) = 0−f ′(x)−[f ′′(x)(a− x) + f ′(x)(−1)]−1
2
[
f ′′′(x)(a− x)2 + f ′′(x)2(a− x)(−1)
]
.
Luego
g′(x) = −1
2
f ′′′(x)(a− x)2.
ii) Si b ∈ R es tal que a < b y g(b) = 0, pruebe que existe c ∈]a, b[ tal que f ′′′(c) = 0.
Solución Aplicamos el teorema del valor medio para g restringida al intervalo [a, b].
Luego, existe c ∈]a, b[ tal que
g′(c) =
g(b)− g(a)
b− a
→ g′(c) = 0→ −1
2
f ′′′(c)(a− c)2 = 0→ f ′′′(c) = 0.
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EXAMEN FINAL - Solucionario
Matemáticas II Miércoles 30 de Noviembre del 2016
1. Sean f, g : R→ R funciones dos veces derivables, donde x = 1 es punto máximo de f ,
x = −2 es punto mı́nimo de g y, además, sus gráficas se muestran a continuación
x
y
1
1
−2
f
g
Si la función F : R2 → R es definida por F (x1, x2) = f(x1)g(x2),
a) (2 puntos) Determine los puntos cŕıticos de F .
Solución: 
Fx1(x1, x2) = f
′(x1)g(x2) = 0
Fx2(x1, x2) = f(x1)g
′(x2) = 0
(f ′(x1) = 0 ∨ g(x2) = 0) ∧ (f(x1) = 0 ∨ g′(x2) = 0)
De la gráfica de ambas funciones, se sigue que los puntos cŕıticos son (1,−2), (0, 2)
y (3, 2).
b) (3 puntos) Clasifique los puntos cŕıticos calculados en a).
Solución:
H(x1, x2) =
[
f ′′(x1)g(x2) f
′(x1)g
′(x2)
f ′(x1)g
′(x2) f(x1)g
′′(x2)
]
entonces 4(x1, x2) = f ′′(x1)g(x2)f(x1)g′′(x2)− (f ′(x1)g′(x2))2.
Luego,
4(1,−2) = (−)(−2)(2)(+)−(0)2 > 0 y Fx1x1(1,−2) = (−)(−2) > 0, entonces
(1,−2) es punto mı́nimo relativo de F .
4(0, 2) = (−)(0)(0)(+)− ((+)(+))2 < 0, entonces (0, 2) es punto silla de F .
4(3, 2) = (−)(0)(0)(+)− ((−)(+))2 < 0, entonces (3, 2) es punto silla de F .
2. a) (3 puntos) Determine el área de la región limitada por las gráficas de las funciones
f(x) = 4e−2x, g(x) = 4e−x − 1, y la recta x = 0.
Solución: Punto de intersección entre f y g:
4e−2x = 4e−x − 1
(2e−x − 1)2 = 0
x = ln(2)
El área solicitada es∫ ln(2)
0
|f(x)− g(x)| dx =
∫ ln(2)
0
(4e−2x − (4e−x − 1)) dx
=
∫ ln(2)
0
(4e−2x − 4e−x + 1) dx
=
[
−2e−2x + 4e−x + x
]∣∣∣∣ln(2)
0
=
[(
−1
2
+ 2 + ln(2)
)
− (−2 + 4)
]
= ln(2)− 1
2
b) (1 puntos) Demuestre la siguiente desigualdad.∫ 5
2
1
x3 + 1
dx ≤ 1
3
Solución:
Si 2 ≤ x ≤ 5 entonces 1
126
≤ 1
x3 + 1
≤ 1
9
,
luego, por el TVM para integrales, existe c ∈ [2, 5] tal que∫ 5
2
1
x3 + 1
dx = (5− 2)f(c) ≤ 1
3
3. Calcule las siguientes integrales impropias:
a) (2 puntos)
∫ +∞
1
(1− x)e−xdx.
Solución:∫ +∞
1
(1 − x)e−xdx = ĺım
b→+∞
∫ b
1
(1 − x)e−xdx. Usando integración por partes, u =
1− x, du = −dx, dv = e−xdx, v = −e−x.
ĺım
b→+∞
[(1−x)e−x−e−x] | b1 = ĺım
b→+∞
 b− 1eb︸ ︷︷ ︸
L’hôpital
− 1
eb
+ e−1
 = ĺımb→+∞
(
1
eb
− 1
eb
− e−1
)
.
Por lo tanto,
∫ +∞
1
(1− x)e−xdx = −e−1
b) (2 puntos)
∫ π
2
0
cos(x)√
1− sen(x)
dx.
Solución. ∫ π
2
0
cos(x)√
1− sen(x)
dx = ĺım
t→0+
∫ π
2
−t
0
(1− sen(x))−
1
2 cos(x)dx
= ĺım
t→0+
−2
√
1− sen(x)|
π
2
−t
0
= ĺım
t→0+
−2
√
1− sen
(π
2
− t
)
+ 2 = 2.
Por lo tanto,
∫ π
2
0
cos(x)√
1− sen(x)
dx = 2.
4.
a) (1 punto) Complete
L = ĺım
n→∞
n∑
k=1
kπ2
n2
sen
(
kπ
n
)
=
∫ π
0
x sen(x) dx
b) (2 puntos) Utilice el segundo teorema fundamental del cálculo para determinar el
valor de L.
Solución:
Para calcular la primitiva de la función f(x) = x sen(x), considere
u = x y dv = sen(x) dx, entonces du = dx y v = − cos(x), luego∫
x sen(x) dx = −x cos(x) +
∫
cos(x) dx
= −x cos(x) + sen(x) + C
Por lo tanto
L =
∫ π
0
x sen(x) dx
= [−x cos(x) + sen(x)]
∣∣∣∣π
0
= π
5. El beneficio marginal de una empresa durante un periodo de 15 años ha sido:
Bm(t) =
{
200te0.1t
2−0.4, si 0 ≤ t ≤ 2,
4t3 − 80t2 + 400t− 112, si 2 < t ≤ 15.
a) (3 puntos) Calcule el beneficio promedio de los primeros cuatro años.
Solución. El beneficio promedio viene dado por
B(4)−B(0)
4− 0
=
∫ 4
0
Bm(t) dt
4
=
1252.3
4
= 313.1,
ya que∫ 4
0
Bm(t) dt =
∫ 2
0
Bm(t) dt+
∫ 4
2
Bm(t) dt
=
∫ 2
0
200 · t · e0.1t
2 − 0.4 dt+
∫ 4
2
(4t3 − 80t2 + 400t− 112) dt
= 1000e0.1t
2 − 0.4
∣∣∣∣2
0
+
[
t4 − 80
3
t3 + 200t2 − 112t
]∣∣∣∣4
2
= 1000(1− e−0.4) + (44 − 24)− 80
3
· (43 − 23) + 200 · 12− 112 · 2
= 1252.3
b) (1 punto) Interprete económicamente la integral calculada en el item anterior.
Solución. Económicamente es, en promedio, el beneficio obtenido cada año du-
rante los primeros cuatro años.